江苏省南通市如皋一中2020届高三年级原创押题卷数学试题（含附加题） Word版 4页

2020 高考数学原创押题卷 数学 I 参考公式： 球的体积 V 球= πR3，其中 R 为球的半径. 一、填空题：本大题共 14 小题. 请把答案填写在答题卡相应位置上. 1. 已知集合 A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x＜0，x∈R}，则 A∩B=________. 2. 已知复数 z 的实部为 0，且满足（1+i）z=a-4i，其中 i 为虚数单位，则实数 a 的值是________. 3. 下图是根据某学校 1000 位学生的身高（单位：厘米）制成的频率分布直方图，则所调查 的学生中身高在[165，185）内的学生人数是________. 4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 I 的值是________. 5. 函数 y= = ⸲㌴ （2-x）的定义域是________. 6. 在区间（0，6）中任取一个数 x，则能使 2，3，x 是某个三角形三边长的概率是________. 7. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=（x3+ax）ex 在点（0，0）处的切线方程为 3x-y=0（e 是自然对数的底数），则实数 a 的值是________. 8. 在正方体内有一个球，该球与正方体的六个面均相切. 记正方体的体积为 V1，球 O 体积 为 V2，则 的值是________. 9. 设三个等差数列{an}，{bn}，{cn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，Un. 已知 a2+b2+c2=-98， a7+b7+c7=-88，则 S101+T101+U101 的值是________. 10. 已知函数 f（x）=x2+2x，g（x）= ， x ≥ = ， = ， x ＜ = . 则不等式 f（x）≤3g（x）的解集是 ________. 11. 已知 是单位向量，向量 满足 · =4，且| |2≤10| |对任意实数 t 恒成立，则| |的取 值范围是________. 12. 在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 （a＞3）与为双曲线 = 有公共焦点 F1，F2. 设 P 是椭圆与双曲线的一个交点，则△PF1F2 的面积是________. 13. 已知 sin（2α+β）=3sin（2α-β），tan（α-β）=3 ，则 tanα的值是________. 14. 已知二次函数 f（x）=x2+bx+c，当 x∈[α，β]时，|f（x）|≤1，则β-α的最大值是________. 二、解答题：本大题共 6 小题. 请在答题卡指定区域内作答. 解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 15. 在平面直角坐标系中，设向量 =（cosA，sinA）， =（sinB，cosB）. 其中 A，B 分别 是△ABC 的两个内角. （1）若 // ，求 C 的值； （2）若 · =sin2C，AB=2，求△ABC 的面积的最大值. 16. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA⊥平面 ABC，AB=BC，AF=2FP，D 为 AC 的中点，E 为 BC 中点. 求证： （1）BD⊥PC； （2）PE//平面 FBD. 17. 为防止新冠肺炎病毒的传播，净化空气，确保医务人员的安全，某医院决定喷洒一种消 毒剂，每天 2 次. 根据实验知，每喷洒该消毒剂 1 个单位，空气中释放出有效杀毒成份浓度 y（毫克/立方米）随时间 x（小时）的变化近似为 y= = ， 0 ＜ x ≤ ， = ， ＜ x ≤ . 当空气中的 有效杀毒浓度不少于 4（毫克/立方米）时，才能起到杀死新冠肺炎病毒的作用. 若第一次喷 洒时间为 6：00，且喷洒 4 个单位的消毒剂. （1）问第一次喷洒后多少小时内有效杀毒？ （2）若第二次喷洒时间为当日 22：00，则第二次至少喷洒多少个单位的消毒剂，使一天内 （6：00 到次日 6：00）都能有效杀毒. 18. 如图在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1： ，C2： （a＞b＞0）， 椭圆 C2 的右顶点和上顶点分别为 A 和 B，过 A，B 分别引椭圆 C1 的切线ι1，ι2，切点为 C，D. （1）若 a=2，b=1，求直线ι1 的方程； （2）若直线ι1 与ι2 的斜率之积为 = ，求椭圆 C1 的离心率. 19. 已知函数 f（x）= ⸲㌴ ，g（x）=k（x-1）（k＞0）. （1）求 f（x）的单调区间； （2）证明：f（ ）≤g（ ）； （3）若关于 x 的方程 f（x）=g（x）有唯一解，求 k 的值. 20. 数列{an}满足：a1=1，a2=2，an+1an-1=an2+（-1）n（n=1，2，3，…）. （1）当 n≥3 时，求 ㌴=㌴= ㌴= 的值； （2）设 bn=an+1-（ +1）an，cn=an+12+an2-a2n+1，证明： ①数列{bn}是等比数列； ②数列{cn}是等差数列. 数学 II（附加题） 21. 【选做题】本题包括 A，B，C 三小题. 请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答. 若多做，则按作答的前两小题评分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. [选修 4—2：矩阵与变换] 已知矩阵 A= . （1）求 A 的逆矩阵 A-1； （2）求矩阵 A 的特征值. B. [选修 4—4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，已知点 A（2， ），B（1， ），C（2， ）. （1）求直线 BC 的极坐标方程； （2）求△ABC 的面积. C. [选修 4—5：不等式选讲] 已知 a，b，c 是非负实数，满足 a+b+c=1. 求（a+2b+3c）（a+ ）的最小值. 【必做题】第 22 题、第 23 题. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤. 22. 如图，在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=4，AB=2，E，F 分别是 BC，BB1 的中点. （1）求直线 AF 与平面 C1DE 所成角的正弦值； （2）求二面角 A-A1F-D 的余弦值. 23. 设 a1，a2，…，an 的值分别独立地从集合{1，2，…，n}中随机选取，记由 a1，a2，…， an 组成的数集的元素个数为 X. （1）当 n=3 时，求 X=2 的概率； （2）求 X 的数学期望 EX.