【数学】辽宁省部分重点高中2021届高三上学期12月联考试题（解析版） 17页

辽宁省部分重点高中 2021 届高三上学期 12 月联考数学试题 第Ⅰ卷 一、选择题 1．设集合  2 1A x x   ∣ ，  2 3 4 0B x x x     ，则 A B  （ ） A． 4,1 B． 2,1 C． 1, D． 2,1 2．“ xQ ”是“ xZ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．复数 2 1 2 (1 ) iz i   的虚部为（ ） A． 1 2 B． 1 2  C． 1 2 i D． 1 2 i 4．若 tan 3  ，则 sin 2cos 3sin cos       （ ） A． 1 10 B． 4 5  C． 2 5 D． 3 10  5．已知向量 (2,4)a  ， (1, )b n ，若 //a b   ，则 3a nb   （ ） A．8 B．12 C． 4 5 D． 5 6．函数   2ln 2 xf x x   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 7．朱载堉是明太祖朱元璋的九世孙，虽然贵为藩王世子，却自幼俭朴敦本，聪颖好学，遂 成为明代著名的律学家，历学家、音乐家．朱载堉对文艺的最大贡献是他创建下十二平均律， 亦称“十二等程律”．十二平均律是将八度的音程按频率比例分成十二等份，也就是说，半单 比例应该是 1 122 ，如果 12 音阶中第一个音的频率是 F ，那么第二个音的频率就是 1 122 F ，第 三个单的频率就是 2 122 F ，第四个音的频率是 3 122 F ，……，第十二个音的频率是 11 122 F ，第 十三个音的频率是 12 122 F ，就是 2F ．在该问题中，从第二个音到第十三个音，这十二个音 的频率之和为（ ）． A． 2F B． 12 12 1 2 11 2 F  C． 1 12 1 2 1 F  D． 1 12 1 12 2 2 1 F  8．如图，在四面体 ABCD 中， 3AB CD  ， 11AC BD  ， 2 3AD BC  ， ABC△ 的重心为O ，则 DO  （ ）． A．2 B． 4 3 C． 8 3 D．3 二、选择题 9．已知命题 : 0p x  ， ln 0x  ，则（ ）． A． p 是真命题 B． : 0p x   ， ln 0x  C． p 是真命题 D． : 0p x   ， ln 0x  10．已知函数 2( ) 2cos 3sin 2 ( 0)f x x x     ，若 ( )f x 的最小正周期为 ，则下列 说法正确的有 A． ( )f x 图象的对称中心为  ,012 2 k k       Z B．函数 ( ) 2y f x  在 0, 上有且只有两个零点 C． ( )f x 的单调递增区间为  ,3 6k k k         Z D．将函数 2sin 2 1y x  的图象向左平移 12  个单位长度，可得到 ( )f x 的图象 11．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2， E ， F 分别是 1AA ， 1CC 的中点，过 E ， F 的平面 与该正方体的每条棱所成的角均相等，以平面 截该正方体得到的截面为底面， 以 1B 为顶点的棱锥记为棱锥  ，则（ ） A．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的体积为 4 3 B．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的内切球的表面积为 4 3  C．棱锥  的体积为 3 D．棱锥  的体积为 3 2 12．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     与直线 y kx 交于 A ， B 两点，点 P 为C 上 一动点，记直线 PA ， PB 的斜率分别为 PAk ， PBk ， C 的左、右焦点分别为 1 2,F F ．若 1 4PPA Bk k  ，且C 的焦点到渐近线的距离为 1，则下列说法正确的是（ ） A． 2a  B．C 的离心率为 6 2 C．若 1 2PF PF ，则 1 2PF F△ 的面积为 2 D．若 1 2PF F△ 的面积为 2 5 ，则 1 2PF F△ 为钝角三角形 第Ⅱ卷 三、填空题 13．已知函数 2 , 0( ) ( 3), 0 x xf x f x x      ，则 (6)f  ______． 14．已知直线 l 与直线 2 0x y   平行，且与曲线 2ln 1y x x    相切，则直线 l 的方程 是______． 15．若 0m  ， 0n  ， 3 1m n mn   ，则 m n 的最小值为______ 16．已知直线 3 7 0x y   与椭圆 2 2 2 1(0 3)9 x y bb     相交于 ,A B 两点，椭圆的两个焦 点分别是 1 2,F F ，线段 AB 的中点为 (1,2)C ，则 1 2CF F△ 的面积为______ 四、解答题 17．（1）化简： 01 1 3 2 43 4 9 2 18 log 8 log 27 0.064 16 817           （2）已知 2 3m  ， 2 5n  ，求 12log 20（用 ,m n 表示）． 18．在① 3a c b  且 22sin 3sin sinB A C ，② 2 2(sin sin ) sin sin sinA C B A C   ， ③ ABC△ 的面积  2 2 23 4 a c b S    这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并作 答． 问题：在 ABC△ 中，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且______． （1）求sin B ； （2）若 2a c ，且 ABC△ 的面积为 2 3 ，求 ABC△ 的周长． 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分． 19．设正项数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 1a  ，且 1 2 1n n nS S S    ． （1）证明：数列 nS 是等差数列并求数列 na 的通项公式； ⑵已知 1 4 1n n b S   ，数列 nb 的前 n 项的和为 nT ，若 4 4 n n n n T ST S          对一切 *nN 恒成立，求  的取值范围． 20．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 PAD 是边长为 2 的正三 角形， PD CD ，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是 AB 上的点． （1）当 F 为 AB 中点时，证明：平面 DEF  平面 PCD （2）当 1 3AF AB  时，求二面角C DF E  的余弦值． 21．已知函数 ( ) ( 1)e xf x x  （1）求 ( )f x 的最值； （2）若 ( ) e lnxf x x x a    对 (0, )x  恒成立，求 a 的取值范围． 22．抛物线 2: 2 ( 0)C x py p  的焦点为 F ，过 F 且垂直于 y 轴的直线交抛物线 C 于 ,M N 两点，O 为原点， OMN△ 的面积为 2． （1）求拋物线 C 的方程． （2） P 为直线  0 0: 0l y y y  上一个动点，过点 P 作拋物线的切线，切点分别为 ,A B ， 过点 P 作 AB 的垂线，垂足为 H ，是否存在实数 0y ，使点 P 在直线 l 上移动时，垂足 H 恒 为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出 0y 的值，并求定点 H 的坐标． 参考答案 1．D 因为  4 1B x x   ∣ ，所以  2 1A B x x    ∣ ． 2．B 因为有理数包括整数和分数，所以“ xQ ”是“ xZ ”的必要不充分条件． 3．B 2 1 2i 1 2i 11(1 ) 2i 2z ii       ，则 z 的虚部为 1 2  ． 4．A sin 2cos tan 2 1 3sin cos 3tan 1 10           5．C 因为 //a b   ，所以 2 1 4n   ， 2n  ， 所以3 (4,8)a nb   ，故 3 4 5a nb   ． 6．A 2 2( ) ln ln ( )2 2 x xf x f xx x         ， ( )f x 为奇函数． 2 4( ) ln ln 12 2 xf x x x         ， ( )f x 在定义域内为减函数，故选 A． 7．D 由题意知，第二个音到第十三个音的频率分别为 1 2 3 12 12 12 12 122 ,2 ,2 , ,2F F F F ，显然 以 上 12 个 数 构 成 了 以 1 122 F 为 首 项 ， 以 1 122 为 公 比 的 等 比 数 列 ， 故 其 和 为 121 12 1 12 1 1 12 12 1 122 1 2 2 1 2 2 1 F F            ． 8．C 如图，将四面体 ABCD 还原到长方体 AEBH GCFD 中，易知四面体 ABCD 的棱 是长方体 AEBH GCFD 的面对角线， 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 ( 11) (2 3) 42 2 AB AC BCDE EA EB EC          连接 EF 交 BC 于 M ，连接 AM ，则 AM 为 BC 边的中线， ABC△ 的重心 O 为 AM 靠近 M 的三等分点．把长方体的对角面 AEFD 单独画出，如图，记 P 为 AM 和 ED 的交点． 因为 ADP△ ∽ MEP△ ，且 2PD AP AD PE MP EM    ，所以 P 为 AM 靠近 M 的三等分点， 即重心O 与 P 点重合，故 2 8 3 3OD PD ED   9．AD 当 1x  时，ln 0x  ；当 0 1x  时，ln 0x  ．全称量词命题的否定是存在量词 命题，故 AD 10．CD 2( ) 2cos 3sin 2 cos2 3sin 2 1 2sin 2 16f x x x x x x                因为 2 2T    ，所以 1  ， 所以 ( ) 2sin 2 16f x x       令 2 ( )6x k k   Z ，得 ( )12 2 kx k    Z ， 则 ( ) f x 图象的对称中心为 ,1 ( )12 2 k k       Z ，故 A 错误． 由 ( ) 2 0f x   ，可得 1sin 2 6 2x      ， 则 2 26 6x k     或 52 2 ( )6 6x k k     Z ， 即 x k 或 ( )3x k k   Z ． 所以函数 ( ) 2 0f x   在 0, 上有三个零点 0， 3  ， ，故 B 错误． 令 2 2 2 ( )2 6 2k x k k        Z ，得 ( )3 6k x k k       Z ， 所以 ( )f x 的单调递增区间为  ,3 6k k k         Z ，故 C 正确． 将 2sin 2 1y x  的图象向左平移 12  个单位长度后， 得到曲线 2sin 2 1 2sin 2 112 6y x x                   ，故 D 正确． 11．AC 因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2， 所以正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的直径为 4 4 4 2 3   ， 内切球的半径为 1， 所以正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的外接球的体积为 34 ( 3) 4 33    ， 内切球的表面积为 24 1 4   ，故 A 正确，B 错误． 如图， , , ,M N S T 分别是棱 1 1 1 1, , ,AB BC C D A D 的中点． 因为 EMNFST 在同一个平面内， 并且该平面与正方体的各条棱所成的角均相等， 所以平面 被此正方体所截得的截面图形为正六边形 EMNFST ， 边长为 2 ． 因为正六边形 EMNFST 的面积 1 2 2 sin 6 3 32 3S      ， 1B 到平面 的距离为 4 4 4 32    ， 所以棱锥  的体积为 1 3 33  3 3  ．故 C 正确． 12．AD 设点  1 1,A x y ，  1 1,B x y  ，  0 0,P x y ， 则 2 2 1 1 2 2 1x y a b   ，且 2 2 0 0 2 2 1x y a b   ，两式相减得 2 2 0 1 2 x x a   2 2 0 1 2 y y b  ， 所以 2 2 2 0 1 2 2 2 0 1 y y b x x a   ． 因为         0 1 0 1 0 1 0 1 1 4PA PB y y y yk k x x x x       ， 所以 2 2 1 4 b a  ， 1 2 b a  故双曲线C 的渐近线方程为 1 2y x  ． 因为焦点 ( ,0)c 到渐近线 1 2y x 的距离为 1， 所以 1 5 c  ， 5c  ， 所以 2a  ， 1b  ，离心率为 5 2 ，故 A 正确，B 错误． 对于 C，不妨设 P 在C 的右支上， 记 2PF t ，则 1 4PF t  ． 因为 1 2PF PF ，所以 2 2( 4) 20t t   ， 解得 6 2t   或 6 2t    （舍去）， 所以 1 2PF F△ 的面积为 1 2 1 1 ( 6 2)( 6 2) 12 2PF PF     ， 故 C 不正确． 对于 D，设  0 0,P x y ， 因为 1 2 0 0 1 2 5 2 52PF FS c y y    △ ，所以 0 2y  ， 将 0 2y  代入 2 2: 14 xC y  ， 得 2 0 20x  ，即 0 2 5x  ． 由对称性，不妨取 P 的坐标为 (2 5,2) ， 则 2 2 2 (2 5 5) 2 3PF     ， 2 2 1 (2 5 5) 2 7PF     因为 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 20 49cos 02 2 3 2 5 PF F F PFPF F PF F F          所以 2 1PF F 为钝角，所以 1 2PF F△ 为钝角三角形，故 D 正确． 13．1 (6) (3) (0) 1f f f   ． 14． ln 2 2y x   （或 ln 2 2 0x y    ） 2 1 2y x x    ，令 2 1 2 1y x x     ， 解得 2x  或 1x   （舍去）， 所以切点的坐标为 (2,ln 2) ． 故直线 l 的方程为 ln 2 2y x   ， 即 ln 2 2.y x   15．2 因为 2 2 m nmn      ，所以 2 3 1 3 12 m nmn       ． 因为 3 1m n mn   ，所以 2 3 12 m nm n       ， 即 23( ) 4( ) 4 0m n m n     ， 所以  3( ) 2 ( ) 2 0m n m n     因为 0m  ， 0n  ，所以 2m n  ， 即 m  n 的最小值为 2， 当且仅当 m n 时取等号，此时 1.m n  16． 2 3 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 则 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 19 19 x y b x y b       两式相减，得     2 1 21 2 1 2 1 29 b x xy y x x y y     因为直线 AB 的斜率为 1 3  ，线段 AB 的中点为 (1,2)C 所以 22 1 9 4 3 b   ，得 2 6b  ． 因为 3a  ，所以 3c  ， 故 1 2CF F△ 的面积为 1 2 2 3 2 32    ． 17．解：（1）     1 1 3 4 443 3 4 3 2 364 log 2 3log 3 0.4 2 1 32         原式 194 0.4 2 1 3 72        （2）因为 2 3m  ， 2 5n  ， 所以 2log 3m  ， 2log 5n  ． 因为 2 2 2 2 12 2 2 2 2 log 20 log 4 log 5 2 log 5log 20 log 12 log 3 log 4 2 log 3      所以 12 2log 20 2 n m   ． 18．解：（1）若选①， 22sin 3sin sinB A C ， 22 3b ac  ． 3a c b  ， 2 2 22 3a c ac b    ， 2 2 2 2 2 23 2 2 2 1cos 2 2 2 2 a c b b ac b b acB ac ac ac          ， 0 B   ， 3sin 2B  若选②， 2 2(sin sin ) sin sin sinA C B A C   ， 2 2( )a c b ac    ， 2 2 2b a c ac    2 2 2 cos 2 a c bB ac   ， 1cos 2 2 acB ac    ， 故 3sin 2B  ． 若选③，  2 2 23 1 sin4 2 a c b S ac B     ，  2 2 23 2 sina c b ac B    ， 2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 2 2 2 2 cosa c b a B    ， 3 2 cos 2 sinac B ac B   ， tan 3B  ，故 3sin 2B  ． （2） ABC△ 的面积为 1 sin 2 32 ac B  ， 8ac  ， 2a c ， 2c  ， 4a  2 2 2 2 cosb a c ac B   ， 2 116 4 2 2 4 122b        ， 即 2 3b  故 ABC△ 的周长为 2 4 2 3 6 2 3a b c       ． 19．解：（1） 1 2 1n n nS S S    ，  2 1 1n nS S   ． 0nS  ， 1 1n nS S   1 1 1S a  ， 数列 nS 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， 1 1nS n n     ， 2 nS n  ． 当 2n  时， 2 2 1 ( 1) 2 1n n na S S n n n       ， 当 1n  时， 12 1 1n a   ．故 2 1.na n  （2） 2 1 1 1 1 1 1 4 1 4 1 (2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n b S n n n n n              ， 1 1 1 1 1 1 1 11 12 3 3 5 2 1 2 1 2 2 1 2 1n nT n n n n                        ． 4 4 n n n n T ST S           对一切 *n N 恒成立 4(2 1) 4 2 1 n n nn n n          ， 22 17 8 n n n     2 1 1 1 82 17 8 2582 17 2 2 17 n n n n nn n          ， 当且仅当 2n  时取等号， 1 25   ，故  的取值范围是 1 ,25    ． 20．（1）证明：取 PD 中点G ，连接 AG ， EG ．  点 E 为 PC 的中点， //EG CD 且 1 2EG CD ． F 为 AB 的中点， 1 2AF AB   四边形 ABCD 是正方形， //AF EG 且 AF EG ，四边形 AFEG 为平行四边形， //EF AG AD CD 且 PD CD ， AD PD D  CD  平面 PAD ， CD AG  ． PAD△ 为等边三角形， AG PD  ． CD PD D  ， AG 平面 PCD， EF  平面 PCD EF  平面 DEF ，平面 DEF  平面 PCD （2）解：取 AD 的中点 O ， BC 的中点Q ， 连接 OP 和OQ ，则OP AD 且 //OQ CD 由（1）知，CD  平面 PAD ， OQ  平面 PAD ， OQ AD  且 .OQ OP 以O 为原点，以 , ,OA OQ OP 所在直线分别为 , ,x y z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ， 则  1,0,0D  ， 1 3,1,2 2E      ， 21, ,03F      22, ,03DF       ， 3 1 3, ,2 3 2EF         设平面 DEF 的法向量为  , ,m x y z ， 则 22 03 3 1 3 02 3 2 m DF x y m EF x y z                ， 令 1x  ，则 51, 3, 3 m      ． 取平面CDF 的一个法向量  0,0,1n  ， 则 5 553cos , 11| || | 251 1 9 3 m nm n m n              由图可知二面角C DF E  为锐角， 故二面角C DF E  的余弦值为 55 11 ． 21．解：（1） ( ) exf x x  令 ( ) 0f x  ，得 0x  ； 令 ( ) 0f x  ，得 0x  ． 所以 ( )f x 在 0, 上单调递减，在 0  , 上单调递增， 所以 ( )f x 的最小值为 (0) 1f   ，无最大值． （2）由题知， e lnxa x x x   在 (0, ) 上恒成立， 令 ( ) e lnxg x x x x   ， 则 1( ) ( 1) exg x x x        ， 因为 0x  ，所以 1 0x   ． 设 1( ) exh x x   ，易知 ( )h x 在 (0, ) 上单调递增． 因为 1 e 2 02h       ， (1) e 1 0h    所以存在 1 ,12t     ，使得 ( ) 0h t  ，即 1et t  ． 当 (0, )x t 时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 (0, )t 上单调递减； 当 ( , )x t  时， ( ) 0g x  ， ( )g x 在 ( , )t  上单调递增． 所以 min( ) ( ) e ln 1 1tg x g t t t t t t        ，从而 1a  ， 故 a 的取值范围为  ,1 22．解：（1）由题意得，点 ,M N 的纵坐标均为 2 p ， 由 2 2 2 px p  ，解得 x p  ， 则| | 2MN p ． 由 21 1 1| | | | 2 22 2 2 2CMN pS MN OF p p       △ ， 解得 2p  ， 故抛物线C 的方程为 2 4x y ． （2）设      1 1 2 2 0 0, , , , ,A x y B x y P x y ， 直线 AP 的方程为  1 1y y k x x   将抛物线方程变形为 2 4 xy  ，则 2 xy  ， 所以 1 2 xk  ， 所以 AP 的方程为  1 1 12 xy y x x   ． 因为 2 1 14x y ，所以直线 AP 的方程为 1 1 2 x xy y  ． 把  0 0,P x y 代入 AP 的方程得 1 0 0 1 2 x xy y  ． 同理可得 2 0 0 2 .2 x xy y  构造直线方程为 0 0 2 x xy y  ， 易知 ,A B 两点均在该直线上， 所以直线 AB 的方程为 0 0 2 x xy y  ． 故 AB 恒过点  00, y ． 因为 PH AB ， 所以可设 PH 方程为  0 0 02 xx x y y    ， 化简得  0 0 22 xx y y    所以 PH 恒过点 00, 2y  ． 当 0 0 2y y   ，即 0 1y   时， AB 与 PH 均恒过 (0,1) ， 故存在这样的 0y ，当 0 1y   时， H 坐标为 (0,1) ．