【推荐】专题4-1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学 22页

真题回放 ‎1. 【2017课标3，文4】已知，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】 .‎ 所以选A.‎ ‎【考点】二倍角正弦公式 ‎【考点解读】应用三角公式解决问题的三个变换角度 ‎(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.‎ ‎(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.‎ ‎(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.‎ ‎2. 【2017山东，文4】已知,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【考点】二倍角公式 ‎【考点解读】(1)三角函数式的化简与求值要遵循“三看”原则,一看角,二看名,三看式子结构与特征．(2)三角函数式化简与求值要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ ‎3.【2015高考上海，文17】已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎4.【2016高考新课标Ⅲ文数】若 ，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：．‎ 考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、二倍角．‎ ‎【考点解读】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．‎ ‎5. 【2016高考四川文科】= .‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由三角函数诱导公式.‎ 考点：三角函数诱导公式 ‎【考点解读】本题也可以看作是一个来自于课本的题，直接利用课本公式解题，这告诉我们一定要立足于课本．有许多三角函数的求值问题一般都是通过三角函数的公式把函数化为特殊角的三角函数值而求解．‎ ‎6. 【2015高考福建，文6】若，且为第四象限角，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由，且为第四象限角，则，则，故选D．‎ ‎【考点定位】同角三角函数基本关系式．‎ ‎【考点解读】本题考查同角三角函数基本关系式，在、、三个值之间，知其中的一个可以求剩余两个，但是要注意判断角的象限，从而决定正负符号的取舍，属于基础题．‎ ‎7.【2017课标1，文15】已知，tan α=2，则=__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】三角函数求值 ‎【考点解读】三角函数求值的三种类型 ‎（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．‎ ‎（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．‎ ‎（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎8.【2017北京，文9】在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若sin=，则sin=_________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】诱导公式 ‎【考点解读】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 ，‎ ‎9.【2017江苏，5】 若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】．故答案为．‎ ‎【考点】两角和正切公式 ‎【考点解读】三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.‎ ‎10. 【2016高考新课标1文数】已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ–)= .‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ 试题分析：由题意,‎ 因为,所以,‎ 从而,因此．故填．‎ ‎【考点】三角变换 ‎11. 【2015高考四川，文13】已知sinα＋2cosα＝0，则2sinαcosα－cos2α的值是______________.‎ ‎【答案】－1‎ ‎【考点】本意考查同角三角函数关系式、三角函数恒等变形等基础知识，考查综合处理问题的能力.‎ ‎【考点解读】同角三角函数(特别是正余弦函数)求值问题的通常解法是：结合sin2α＋cos2α＝1，解出sinα与cosα的值，然后代入计算，但这种方法往往比较麻烦，而且涉及符号的讨论.利用整体代换思想，先求出tanα的值，对所求式除以sin2α＋cos2α(＝1)是此类题的常见变换技巧，通常称为“齐次式方法”，转化为tanα的一元表达式，可以避免诸多繁琐的运算.属于中档题. ‎ 考点分析 ‎1.了解任意角的概念；‎ ‎2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；‎ ‎3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ 知识链接 ‎1．角的概念的推广 ‎(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．‎ ‎(2)分类 ‎(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎2．弧度制的定义和公式 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°＝ rad；②1 rad＝°‎ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ Ⅱ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ Ⅲ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ Ⅳ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 融会贯通 题型一 象限角与终边相同的角 典例1. 已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由角（）终边上一点的坐标为，即 ，此点在第四象限，由可知 ，选C 典例2. 若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．‎ ‎【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.‎ ‎（2），当时，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴的终边在第一象限．‎ 当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴的终边在第三象限．‎ 综上所述，的终边在第一象限或第三象限．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.已知角的终边在上，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为角 的终边与单位圆交于点 ‎ ，故选B.‎ ‎2.终边在直线y＝x上的角的集合为________．‎ ‎【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z}‎ ‎【解析】终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．‎ ‎3. （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，故选A．‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．终边在某直线上角的求法步骤 ‎(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。‎ ‎(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。‎ ‎(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。‎ ‎(4)求并集化简集合。‎ ‎2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。‎ 题型二 三角函数的定义 典例1.已知角的终边与单位圆交于点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 典例2.已知，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得：‎ ‎ ‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tan α的最小值为(　　)‎ A．1　　　　　 B．2 C. D. ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件得tan α＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tan α取得最小值2.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值。先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解。‎ ‎(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。‎ ‎(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。‎ 题型三 利用诱导公式化简求值 典例1.若，是第三象限的角，则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】由题意，因为是第三象限的角，所以，‎ 因此.‎ 典例2. 已知，求 ‎【答案】18‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的诱导公式可知，显然，所以有，可求得，故正确选项为D.‎ ‎2.化简 ‎【答案】当时，原式 当时，原式 ‎【知识链接】‎ 六组诱导公式 ‎　角 函数　‎ ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin_α ‎－sin_α ‎－sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α ‎－cos_α cos_α[来源:]‎ ‎－cos_α sin_α ‎－sin_α 正切 tan_α tan_α ‎－tan_α ‎－tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”‎ ‎【方法技巧】‎ ‎(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．‎ ‎(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．‎ ‎(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．‎ 题型四 扇形的弧长及面积公式 典例1. 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。‎ ‎【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，‎ 则⇒(舍)故扇形圆心角为。‎ 典例2. 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？‎ 典例3．已知一扇形所在圆的半径为扇形的周长是那么这个扇形的圆心角为__________ ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为一扇形所在圆的半径为扇形的周长是，所以该扇形的弧长为，则这个扇形的圆心角为.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 (　　)‎ A. 2　 B. sin2 C. 　 D. 2sin1‎ ‎【答案】C ‎【解析】　∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝，故选C. ‎ ‎2. (1)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，试求这两个角的大小(用弧度表示). ‎ ‎(2)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；‎ ‎(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？‎ ‎【解析】(1)设所求两角分别为α，β(α＞β). 因为1°＝ rad，所以由题意可得解得 所以所求两角的弧度数分别为＋，－. ‎ ‎(2)设圆心角是θ，半径是r，则 解得(舍去)或 所以扇形的圆心角为. ‎ ‎(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. ‎ 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. ‎ 当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ‎ 所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大. ‎ ‎【方法总结】‎ ‎(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．‎ ‎(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．‎ 知识交汇 若是纯虚数，则的值为 ．‎ ‎【答案】‎ 考点：复数的基本概念. 同角三角函数之间的关系 ‎【交汇技巧】本题考查复数的基本概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件，根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为，虚部不为，解出关于的正弦的值和余弦不等于的值，根据三角恒等式 从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系 ，得到正切值．‎ 练习检测 ‎1．【广西桂林市第十八中学2017届高三下学期适应性考试数学（文）】已知是第二象限角，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎2．【江西师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试数学（文）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以 ，可得 ，故选C. ‎ ‎3．【山东省日照市2017届高三校际联合模拟考试（三模）数学（文）】若，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】则,故选B.‎ ‎4．【福建省泉州市2017届高三（5月）第二次质量检查数学（文）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. -‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为所以 ，因为，所以，选C.‎ ‎5．【河北省石家庄市2017届高三冲刺模考数学（文）】已知， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知=，所以=。选D.‎ ‎6． 【重庆市巴蜀中学2017届高三下学期期中（三模）考试数学（文）】 已知角满足，则的值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分子分母同时除以得，原式 ‎7．【四川省泸州市2017届高三四诊（临考冲刺模拟）数学（文）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎8．【四川省泸州市2017届高三四诊（临考冲刺模拟）数学（文）】已知函数的一个对称中心是，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎9．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2017届高三第三次模拟考试数学（文）】已知，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C. ‎ ‎10．【河南省豫北重点中学2017届高三4月联考数学（文）】已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，所以， ‎ ‎，故选D.‎ ‎11．【吉林省吉林大学附属中学2017届高三第八次模拟考试数学（文）】已知， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎12．【重庆市巴蜀中学2017届高三三诊考试文科数学试卷】已知，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ ‎13．【山西省孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）数学（文）】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】角的终边与单位圆的交点为，所以， ，‎ 所以．‎ ‎14．【山东省日照市2017届高三下学期第二次模拟考试数学（文）试题】设为锐角，若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为为锐角，所以为第四象限角，则，所以 ‎ ‎