高中数学选修2-2教案第四章 1_1 8页

‎1．1　定积分的背景——面积和路程问题 明目标、知重点 ‎1．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法．‎ ‎2．会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．‎ ‎1．曲边梯形的概念 曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)．‎ ‎2．求曲边梯形面积的步骤 ‎①分割，②近似替代，③求和，④逼近．‎ ‎[情境导学]‎ 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？‎ 探究点一　求曲边梯形的面积 思考1　如何计算下列两图形的面积？‎ ‎　‎ 答　①直接利用梯形面积公式求解．②转化为三角形和梯形求解．‎ 思考2　如图，为求由抛物线y＝x2与直线x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？‎ 答　已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．‎ 思考3　能否将求曲边梯形的面积问题转化为求“直边图形”的面积问题？求曲边梯形的面积有哪几个主要步骤，其中体现了什么数学思想？‎ 答　可以通过将区间分割，得到一些小矩形，计算曲边梯形面积的过剩估计值和不足估计值，然后将区间分得更细，过剩估计值和不足估计值都会趋于曲边梯形的面积．(如图)‎ 求曲边梯形面积可以通过四个主要步骤完成，它们是：分割、近似替代、求和、逼近，其中体现了“以直代曲”和“无限逼近”的数学思想．‎ 例1　求由曲线f(x)＝2x，直线x＝1，直线x＝0及x轴所围成的平面图形的面积S，并写出估计值的误差．‎ 解　(1)分割：将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；‎ ‎(2)近似替代：若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2，f(1)·0.2.‎ 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，分别得到每个小曲边梯形的面积f(0)·0.2，f(0.2)·0.2，f(0.4)·0.2，f(0.6)·0.2，f(0.8)·0.2；‎ ‎(3)求和：由上述方法得曲边梯形面积的过剩估计值为 S1＝(20.2＋20.4＋20.6＋20.8＋21)×0.2≈1.55，‎ 不足估计值为s1＝(20＋20.2＋20.4＋20.6＋20.8)×0.2≈1.35.‎ ‎(4)逼近：在这种情况下，无论过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.20.如果需要，我们可以将区间分得更细，得到更精确的估计值．‎ 反思与感悟　通过求曲边梯形面积的四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近可以理解定积分的基本思想．‎ 跟踪训练1　求抛物线f(x)＝1＋x2与直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积S，并写出估计值的误差．‎ 解　(1)分割：将区间[0,1]5等分，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成五个小曲边梯形．‎ ‎(2)近似替代：用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)表示这5个小曲边梯形的高，则可得到曲边梯形的过剩近似值；‎ 用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)表示这5个小曲边梯形的高，可得到曲边梯形面积的不足近似值．‎ ‎(3)求和：曲边梯形面积的过剩近似值S＝(f(0.2)＋f(0.4)＋f(0.6)＋f(0.8)＋f(1))×0.2＝1.44.‎ 曲边梯形面积的不足近似值为s＝(f(0)＋f(0.2)＋f(0.6)＋f(0.8))×0.2＝1.24.‎ ‎(4)逼近：在这种情况下，无论过剩近似值还是不足近似值，误差都不会超过0.20，如果需要，可将区间分得更细，得到更精确的估计值．‎ 探究点二　求变速运动的路程 思考　求变速运动的路程问题解法和曲边梯形的面积有什么联系？‎ 答　求变速直线运动的路程问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，仍然利用以直代曲的思想，将变速直线运动问题转化为匀速直线运动问题，求解过程为：分割、近似替代、求和、逼近．‎ 例2　一辆汽车的司机猛踩刹车，汽车滑行5 s后停下，在这一过程中，汽车的速度v(单位：m/s)是时间t的函数：‎ v(t)＝t2－10t＋25(0≤t≤5)．‎ 请估计汽车在刹车过程中滑行的距离s.‎ 解　将滑行时间5 s平均分成5份．‎ 分别用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)近似替代汽车在0～1 s,1～2 s,2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出滑行距离s1：s1＝[v(0)＋v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)]×1＝55(m)，‎ 由于v是下降的，所以显然s1大于s，我们称它为汽车在5 s内滑行距离的过剩估计值．‎ 如果用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代汽车在0～1 s，1～2 s,2～3 s,3～4 s,4～5 s内的平均速度，求出汽车在5 s内滑行距离的不足估计值s1′：‎ s1′＝[v(1)＋v(2)＋v(3)＋v(4)＋v(5)]×1＝30(m)．‎ 不论用过剩估计值s1还是不足估计值s1′表示s，误差都不超过：s1－s1′＝55－30＝‎ ‎25(m)．‎ 为了得到更加精确的估计值，可以将滑行时间分得更细些．‎ 跟踪训练2　物体在力F的作用下从静止开始运动，力F的大小与位移s(m)的关系是：F(s)＝3s＋1，试估计物体运动5 m的过程中力F所做的功，并写出估计值的误差．‎ 解　将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功．‎ 若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为 W1＝[(3×1＋1)＋(3×2＋1)＋(3×3＋1)＋(3×4＋1)＋(3×5＋1)]×1＝50(J)．‎ 若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为 W1＝[(3×0＋1)＋(3×1＋1)＋(3×2＋1)＋(3×3＋1)＋(3×4＋1)]×1＝35(J)．‎ 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.‎ ‎1．把区间[1,3] n等分，所得n个小区间的长度均为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　区间[1,3]的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.‎ ‎2．函数f(x)＝x2在区间上(　　)‎ A．f(x)的值变化很小 B．f(x)的值变化很大 C．f(x)的值不变化 D．当n很大时，f(x)的值变化很小 答案　D 解析　当n很大，即Δx很小时，在区间[，]上，可以认为f(x)＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数．‎ ‎3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于(　　)‎ A．只能是左端点的函数值f(xi)‎ B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)‎ C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])‎ D．以上答案均正确 答案　C ‎4．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．‎ 答案　1.02‎ 解析　将区间5等分所得的小区间为[1，]，[，]，[，]，[，]，[，2]，‎ 于是所求平面图形的面积近似等于 (1＋＋＋＋)＝×＝1.02.‎ ‎[呈重点、现规律]‎ 变速直线运动的路程、变力做功问题都可以归结为求曲边梯形的面积；求曲边梯形面积可分为四个步骤：分割、近似替代、求和、逼近．‎ 一、基础过关 ‎1．当n很大时，函数f(x)＝x2在区间[，]上的值，可以近似替代为(　　)‎ A．f() B．f()‎ C．f() D．f(0)‎ 答案　C ‎2．对于以v＝v(t)在[0，t]内汽车作直线运动经过的路程S，下列叙述正确的是(　　)‎ A．将[0，t]n等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s是S的不足估计值 B．将[0，t]n等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s是S的过剩估计值 C．将[0，t]n等分，n越大，求出的s近似替代S的精确度越高 D．将[0，t]n等分，当n很大时，求出的s就是S的准确值 答案　C 解析　每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n→＋∞时，估计值才是准确值．‎ ‎3．在等分区间的情况下f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　将区间[0,2]进行n等分，每个区间长度为.‎ ‎4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为(　　)‎ A. B. C．1 D. 答案　B 解析　曲线v(t)＝t与直线t＝0，t＝1，横轴围成的三角形面积S＝即为这段时间内物体所走的路程．‎ ‎5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的的近似值(取每个区间的右端点)是________．‎ 答案　 解析　将区间[0,1]四等分，得到4个小区间：[0，]，[，]，[，]，[，1]，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值 S＝()3×＋()3×＋()3×＋13×＝.‎ ‎6．在区间[0,8]上插入9个等分点，则第5个小区间是________．‎ 答案　[，4]‎ 解析　第5个小区间的左端点×8＝，右端点＋＝4，即[，4]．‎ ‎7．试估计由曲线y＝，x＝1及x轴所围成的平面图形的面积，并写出估计值的误差．‎ 解　首先画出图像：‎ 将区间[0,1]5等分，即插入4个分点，在每个分点处作与y轴平行的直线段，将整个曲边梯形分成5个小曲边梯形；‎ 若用f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)，f(1)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的过剩估计值为 S1＝(＋＋＋＋)×0.2≈0.75.‎ 若用f(0)，f(0.2)，f(0.4)，f(0.6)，f(0.8)分别表示这5个小曲边梯形的高，则得出曲边梯形的不足估计值为 S2＝(＋＋＋＋)×0.2≈0.55.‎ 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过0.20.‎ 二、能力提升 ‎8. ＝________.‎ 答案　 解析　＝(1＋2＋…＋n)‎ ‎＝·＝.‎ ‎9．在求由抛物线y＝x2＋6与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个区间为________．‎ 答案　[，]‎ ‎10．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．‎ 答案　55‎ 解析　∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.‎ ‎∴物体运动的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.‎ ‎11．弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即为：F(x)＝3x(x是伸长量，单位：m，力的单位：N)．试估计弹簧从平衡位置拉长5 m所做的功，并写出估计值的误差．‎ 解　将[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个功分成5个小位移段内的功；‎ 若用F(1)，F(2)，F(3)，F(4)，F(5)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的过剩估计值为W1＝[3×1＋3×2＋‎ ‎3×3＋3×4＋3×5]×1＝45(J)；‎ 若用F(0)，F(1)，F(2)，F(3)，F(4)分别近似替代F引起的物体在0～1 m,1～2 m,2～3 m,3～4 m,4～5 m段内运动时所受的力的平均大小，则得出功的不足估计值为W2＝[3×0＋3×1＋3×2＋3×3＋3×4]×1＝30(J)‎ 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过15 J.‎ 三、探究与拓展 ‎12．如果汽车在某一段时间内的速度函数为v(t)＝10t,0≤t≤5，试估计汽车在这段时间走过的路程，并写出估计值的误差．‎ 解　将区间[0,5]5等分，即插入4个分点，则将整个路程分成5个时间段内的路程．‎ 若用v(1)，v(2)，v(3)，v(4)，v(5)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的过剩估计值为 S＝(10×1＋10×2＋10×3＋10×4＋10×5)×1＝150.‎ 若用v(0)，v(1)，v(2)，v(3)，v(4)分别近似替代这5个时间段内的平均速度，则得出所求路程的不足估计值为 s＝(10×0＋10×1＋10×2＋10×3＋10×4)×1＝100.‎ 无论是过剩估计值还是不足估计值，误差都不超过50 m.‎