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  • 2021-06-16 发布

高中数学 第一章 导数及其应用 综合检测 新人教A版选修2-2

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第一章 导数及其应用综合检测 时间120分钟,满分150分。‎ 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(2010·全国Ⅱ文,7)若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(  )‎ A.a=1,b=1      ‎ B.a=-1,b=1‎ C.a=1,b=-1 ‎ D.a=-1,b=-1‎ ‎[答案] A ‎[解析] y′=2x+a,∴y′|x=0=(2x+a)|x=0=a=1,‎ 将(0,b)代入切线方程得b=1.‎ ‎2.一物体的运动方程为s=2tsint+t,则它的速度方程为(  )‎ A.v=2sint+2tcost+1 ‎ B.v=2sint+2tcost C.v=2sint ‎ D.v=2sint+2cost+1‎ ‎[答案] A ‎[解析] 因为变速运动在t0的瞬时速度就是路程函数y=s(t)在t0的导数,S′=2sint+2tcost+1,故选A.‎ ‎3.曲线y=x2+3x在点A(2,10)处的切线的斜率是(  )‎ A.4 ‎ B.5‎ C.6 ‎ D.7‎ ‎[答案] D ‎[解析] 由导数的几何意义知,曲线y=x2+3x在点A(2,10)处的切线的斜率就是函数y=x2+3x在x=2时的导数,y′|x=2=7,故选D.‎ ‎4.函数y=x|x(x-3)|+1(  )‎ A.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=1‎ B.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1‎ C.极大值为f(2)=5,极小值为f(0)=f(3)=1‎ D.极大值为f(2)=5,极小值为f(3)=1,f(-1)=-3‎ ‎[答案] B ‎[解析] y=x|x(x-3)|+1‎ ‎= ‎∴y′= x变化时,f′(x),f(x)变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ ‎3‎ ‎(3,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎  无极值  极大值5‎  极小值1‎  ‎∴f(x)极大=f(2)=5,f(x)极小=f(3)=1‎ 故应选B.‎ ‎5.(2009·安徽理,9)已知函数f(x)在R上满足f(x)=‎2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是(  )‎ A.y=2x-1 ‎ B.y=x C.y=3x-2 ‎ D.y=-2x+3‎ ‎[答案] A ‎[解析] 本题考查函数解析式的求法、导数的几何意义及直线方程的点斜式.‎ ‎∵f(x)=‎2f(2-x)-x2+8x-8,‎ ‎∴f(2-x)=‎2f(x)-x2-4x+4,‎ ‎∴f(x)=x2,∴f′(x)=2x,‎ ‎∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,切线方程为y-1=2(x-1),∴y=2x-1.‎ ‎6.函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于(  )‎ A.2 ‎ B.3‎ C.4 ‎ D.5‎ ‎[答案] D ‎[解析] f′(x)=3x2+2ax+3,‎ ‎∵f(x)在x=-3时取得极值,‎ ‎∴x=-3是方程3x2+2ax+3=0的根,‎ ‎∴a=5,故选D.‎ ‎7.设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数.当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是(  )‎ A.(-3,0)∪(3,+∞)‎ B.(-3,0)∪(0,3)‎ C.(-∞,-3)∪(3,+∞)‎ D.(-∞,-3)∪(0,3)‎ ‎[答案] D ‎[解析] 令F(x)=f(x)·g(x),易知F(x)为奇函数,又当x<0时,f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,即F′(x)>0,知F(x)在(-∞,0)内单调递增,又F(x)为奇函数,所以F(x)在(0,+∞)内也单调递增,且由奇函数知f(0)=0,∴F(0)=0.‎ 又由g(-3)=0,知g(3)=0‎ ‎∴F(-3)=0,进而F(3)=0‎ 于是F(x)=f(x)g(x)的大致图象如图所示 ‎∴F(x)=f(x)·g(x)<0的解集为(-∞,-3)∪(0,3),故应选D.‎ ‎8.下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象,其中一定不正确的序号是(  )‎ A.①② ‎ B.③④‎ C.①③ ‎ D.①④‎ ‎[答案] B ‎[解析] ③不正确;导函数过原点,但三次函数在x=0不存在极值;④不正确;三次函数先增后减再增,而导函数先负后正再负.故应选B.‎ ‎9.(2010·湖南理,5)dx等于(  )‎ A.-2ln2 ‎ B.2ln2‎ C.-ln2 ‎ D.ln2‎ ‎[答案] D ‎[解析] 因为(lnx)′=,‎ 所以 dx=lnx|=ln4-ln2=ln2.‎ ‎10.已知三次函数f(x)=x3-(‎4m-1)x2+(‎15m2‎-‎2m-7)x+2在x∈(-∞,+∞)是增函数,则m的取值范围是(  )‎ A.m<2或m>4 ‎ B.-4f(b)g(b)‎ B.f(x)g(a)>f(a)g(x)‎ C.f(x)g(b)>f(b)g(x)‎ D.f(x)g(x)>f(a)g(x)‎ ‎[答案] C ‎[解析] 令F(x)= 则F′(x)=<0‎ f(x)、g(x)是定义域为R恒大于零的实数 ‎∴F(x)在R上为递减函数,‎ 当x∈(a,b)时,> ‎∴f(x)g(b)>f(b)g(x).故应选C.‎ 二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.将正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.=________.‎ ‎[答案]  ‎[解析] 取F(x)=-,‎ 从而F′(x)= 则=F(-1)-F(-2)‎ ‎=-+=-=.‎ ‎14.若函数f(x)=的单调增区间为(0,+∞),则实数a的取值范围是________.‎ ‎[答案] a≥0‎ ‎[解析] f′(x)=′=a+,‎ 由题意得,a+≥0,对x∈(0,+∞)恒成立,‎ ‎∴a≥-,x∈(0,+∞)恒成立,∴a≥0.‎ ‎15.(2009·陕西理,16)设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+…+a99的值为________.‎ ‎[答案] -2‎ ‎[解析] 本小题主要考查导数的几何意义和对数函数的有关性质.‎ k=y′|x=1=n+1,‎ ‎∴切线l:y-1=(n+1)(x-1),‎ 令y=0,x=,∴an=lg,‎ ‎∴原式=lg+lg+…+lg ‎=lg××…×=lg=-2.‎ ‎16.如图阴影部分是由曲线y=,y2=x与直线x=2,y=0围成,则其面积为________.‎ ‎[答案] +ln2‎ ‎[解析] 由,得交点A(1,1)‎ 由得交点B.‎ 故所求面积S=dx+dx ‎=x+lnx=+ln2.‎ 三、解答题(本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本题满分12分)(2010·江西理,19)设函数f(x)=lnx+ln(2-x)+ax(a>0).‎ ‎(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)若f(x)在(0,1]上 的最大值为,求a的值.‎ ‎[解析] 函数f(x)的定义域为(0,2),‎ f ′(x)=-+a,‎ ‎(1)当a=1时,f ′(x)=,所以f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,2);‎ ‎(2)当x∈(0,1]时,f ′(x)=+a>0,‎ 即f(x)在(0,1]上单调递增,故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)=a,因此a=.‎ ‎18.(本题满分12分)求曲线y=2x-x2,y=2x2-4x所围成图形的面积.‎ ‎[解析] 由得x1=0,x2=2.‎ 由图可知,所求图形的面积为S=(2x-x2)dx+|(2x2-4x)dx|=(2x-x2)dx-(2x2-4x)dx.‎ 因为′=2x-x2,‎ ′=2x2-4x,‎ 所以S=-=4.‎ ‎19.(本题满分12分)设函数f(x)=x3-3ax+b(a≠0).‎ ‎(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;‎ ‎(2)求函数f(x)的单调区间与极值点.‎ ‎[分析] 考查利用导数研究函数的单调性,极值点的性质,以及分类讨论思想.‎ ‎[解析] (1)f′(x)=3x2-‎3a.‎ 因为曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,‎ 所以即 解得a=4,b=24.‎ ‎(2)f′(x)=3(x2-a)(a≠0).‎ 当a<0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.‎ 当a>0时,由f′(x)=0得x=±.‎ 当x∈(-∞,-)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增;‎ 当x∈(-,)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;‎ 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.‎ 此时x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.‎ ‎20.(本题满分12分)已知函数f(x)=x2+lnx.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)求证:当x>1时,x2+lnx0},‎ ‎∵f′(x)=x+,故f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)的单调增区间为(0,+∞).‎ ‎(2)设g(x)=x3-x2-lnx,‎ ‎∴g′(x)=2x2-x-,‎ ‎∵当x>1时,g′(x)=>0,‎ ‎∴g(x)在(1,+∞)上为增函数,‎ ‎∴g(x)>g(1)=>0,‎ ‎∴当x>1时,x2+lnx0;当12时f′(x)>0.‎ 所以当x=1时,f(x)取极大值f(1)=-a,‎ 当x=2时,f(x)取极小值f(2)=2-a.‎ 故当f(2)>0或f(1)<0时,方程f(x)=0仅有一个实根,解得a<2或a>.‎ ‎22.(本题满分14分)已知函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R).‎ ‎(1)若函数y=f(x)在区间上递增,在区间上递减,求a的值;‎ ‎(2)当x∈[0,1]时,设函数y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为θ,若给定常数a∈,求θ的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,是否存在实数m,使得函数g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m∈R)的图象与函数y=f(x)的图象恰有三个交点.若存在,请求出实数m的值;若不存在,试说明理由.‎ ‎[解析] (1)依题意f′=0,‎ 由f′(x)=-3x2+2ax,得-32+‎2a·=0,即a=1.‎ ‎(2)当x∈[0,1]时,tanθ=f′(x)=-3x2+2ax=-32+.‎ 由a∈,得∈.‎ ‎①当∈,即a∈时,f′(x)max=,‎ f(x)min=f′(0)=0.‎ 此时0≤tanθ≤.‎ ‎②当∈(1,+∞),即a∈(3,+∞)时,f′(x)max=f′(1)=‎2a-3,f′(x)min=f′(0)=0,‎ 此时,0≤tanθ≤‎2a-3.‎ 又∵θ∈[0,π),∴当3时,θ∈[0,arctan(‎2a-3)].‎ ‎(3)函数y=f(x)与g(x)=x4-5x3+(2-m)x2+1(m∈R)的图象恰有3个交点,等价于方程-x3+x2+1=x4-5x3+(2-m)x2+1恰有3个不等实根,‎ ‎∴x4-4x3+(1-m)x2=0,‎ 显然x=0是其中一个根(二重根),‎ 方程x2-4x+(1-m)=0有两个非零不等实根,则 ‎∴m>-3且m≠1‎ 故当m>-3且m≠1时,函数y=f(x)与y=g(x)的图象恰有3个交点.‎

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