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- 2021-06-16 发布
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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．T1＝，T2＝，T3＝，则下列关系式正确的是( )
A．T1，
即T2m>0 D．m>n>0
解析： 由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m<0，n<0.
取x＝2，则有2m>2n，知m>n，
故n0，所以，第一个图象对应函数y＝x－，第二个图象对应y＝x－，第三个图象对应y＝x－，后四个图象都通过(0,0)和(1,1)两点，故知α>0，第四个图象关于y轴对称，第五个图象关于原点对称，定义域都是R，所以，第四个图象对应函数y＝x，第五个图象对应y＝x.由最后两个图象知函数定义域为{x|x≥0}，而第六个图象呈上凸状，α应小于1，第七个图象呈下凸状，α应大于1，故第六个图象对应y＝x，第七个图象对应y＝x.
答案： ⑥④③②⑦①⑤
6．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如表：
x
1
4
f(x)
1
2
则f(8)＝________.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求出m的值，并画出它的图象．
解析： (1)由已知，得m2－2m－3≤0，∴－1≤m≤3.
又∵m∈Z，∴m＝－1,0,1,2,3.
当m＝0或m＝2时，y＝x－3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不合题意；
当m＝－1或m＝3时，有y＝x0，适合题意；
当m＝1时，y＝x－4，适合题意．
∴所求m的值为－1,3或1.
(2)画出函数y＝x0及y＝x－4的图象，
函数y＝x0的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，其图象是一条直线，故取点A(－1,1)，B(1,1)，过A，B作直线(除去(0,1)点)即为所求．如图①所示．
函数y＝x－4的定义域为{x|x∈R，且x≠0}，列出x，y的对应值.[来源:学科网]
x
…
－2
－1
－
－
1
2
…
y
…
1
16
81
81
16[来源:Zxxk.Com]
1
…
描出各点，连线，可得此函数的图象如图②所示．
8．已知幂函数y＝f(x)＝x(m∈N*)．若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．
解析： ∵函数f(x)经过点(2, )，
∴＝2，即2＝2，
∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.∴m＝1或m＝－2.
又∵m∈N*，∴m＝1.∴f(x)＝x
由f(2－a)＞f(a－1)，得，
解得1≤a＜.
故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.
☆☆☆
9．(10分)已知f(x)＝ax3＋b(a≠0)是R上的奇函数，
(1)试比较f()与f()的大小；
(2)用单调性的定义证明：当a<0时，f(x)在(－∞，0)上是减函数(提示：x3－y3＝(x－y)(x2＋xy＋y2))．
解析： (1)f(x)是R上的奇函数，
则有f(－x)＋f(x)＝0在R上恒成立，
即(－ax3＋b)＋(ax3＋b)＝0，∴b＝0.∴f(x)＝ax3.
又f()－f()＝a( 3－ 3)．
∵幂函数y＝x3递增，∴ 3> 3，
故当a>0时，f()>f()，
当a<0时，f()0，x＋x1x2＋x>0.
又∵x10，即f(x1)>f(x2)，
∴当a<0时，f(x)在(－∞，0)上是减函数．
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