人教版高中数学选修1-1课件：3_3_2函数的极值与导数 26页

3.3.2 函数的极值与导数 判断函数单调性的常用方法： （ 1 ）定义法 （ 2 ）导数法 f `(x)>0 增函数 f `(x)<0 减函数 1) 如果恒有 f′(x)>0 ，那么 y=f （ x) 在这个区间（ a,b) 内单调递增； 2) 如果恒有 f′(x)<0 ，那么 y=f （ x ）在这个区间 (a,b) 内单调递减。 一般地，函数 y ＝ f （ x ）在某个区间 (a,b) 内 注、 单调区间不能以 “ 并集 ” 出现 。 t h a o h ’ (a)=0 单调递增 h ’ (t)>0 单调递减 h ’ (t)<0 观察高台跳水运动图象 探究、 如图，函数 y=f(x) 在 a,b,c,d,e,f,g,h 等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x) 在这些点的导数值是多少？ 在这些点附近， y=f(x) 的导数的符号有什么规律？ a b c d e f o g h x y y=f(x) y=f(x) 2) 函数 y=f(x) 在 x=b 处的函数值 f(b) 比它在点 x=b 附近其它各点的函数值都大，我们就说 f(b) 是函数的一个 极大值 ，点 b 叫做 极大值点． 函数极值的定义 4) 极大值与极小值统称为极值 . 1) 函数 y=f(x) 在 x=a 处的函数值 f(a) 比它在点 x=a 附近 其它各点的函数值都小，我们就说 f(a) 是函数的一个 极小值 . 点 a 叫做 极小值点 ． 3) 极大值点 , 极小值点统称为极值点 . 注 : 函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值 . 即 : 极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值 f(a) f(b) （ 1 ） 极值是对某一点附近的小区间而言的 , 是函数的局部性质 , 不是整体的最值 ; （ 2 ） 函数的极值不一定唯一 , 在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值； （ 3 ） 极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小 . 学生活动 o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x y P ( x 1 , f ( x 1 )) y=f ( x ) Q ( x 2 , f ( x 2 )) 观察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究方法 , 看极值与导数之间有什么关系 ? o a x 0 b x y x x 0 左侧 x 0 x 0 右侧 f  ( x ) f ( x ) o a x 0 b x y x x 0 左侧 x 0 x 0 右侧 f  ( x ) f ( x ) 增 f  ( x ) >0 f  ( x ) =0 f  ( x ) <0 极大值 减 f  ( x ) <0 f  ( x ) =0 增 减 极小值 f  ( x ) >0 请问如何判断 f ( x 0 ) 是极大值或是极小值？ 左正右负为极大，右正左负为极小 可导函数 y = f ( x ) 的导数 y / 与函数值和极值之间的关系为 ( ) A 、导数 y / 由负变正 , 则函数 y 由减变为增 , 且有极大值 B 、导数 y / 由负变正 , 则函数 y 由增变为减 , 且有极大值 C 、导数 y / 由正变负 , 则函数 y 由增变为减 , 且有极小值 D 、导数 y / 由正变负 , 则函数 y 由增变为减 , 且有极大值 D 学生活动 探索 : x =0 是否为函数 f ( x )= x 3 的极值点 ? x y O f ( x )  x 3 若寻找可导函数极值点 , 可否只由 f  ( x ) = 0 求得即可 ? 而 x =0 不是 该函数的极值点 . f  ( x 0 ) =0 x 0 是 可导 函数 f ( x ) 的极值点 x 0 左右侧导数异号 x 0 是函数 f(x) 的极值点 f  (x 0 ) =0 注意： f / ( x 0 )=0 是可导函数取得极值的必要不充分条件 f  ( x ) =3 x 2 当 f  ( x ) =0 时， x =0 ， 解 : ∵ f  ( x ) 的定义域为 R 又 ∵ f  ( x ) =2 x - 1 , 由 f  ( x ) =0 解得 x =1/2 f ( x ) f  ( x ) x ∴ 当 x =1/2 时 , f(x) 极小值 = f(1/2) =- 9/4 . - 0 + 极小值 f(1/2) 当 x 变化时 , f  ( x) 、 f ( x ) 的变化情况如下表： 解 : ∵ f  ( x ) = x 2 - 4 , 由 f  ( x ) =0 解得 x 1 =2, x 2 =-2. 当 x 变化时 , f  ( x) 、 f ( x ) 的变化情况如下表： ∴ 当 x =2 时 , y 极小值 =28/3 ； 当 x = -2 时 , y 极大值 =-4/3 . f ( x ) f  ( x ) x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 0 - + 极大值 28/3 极小值 - 4/3 请思考求可导函数的极值的步骤 : ③ 检查 在方程 ＝ 0 的根的左右两侧的 符号，确定极值点。 ( 最好通过列表法 ) ① 求导数 ② 求方程 =0 的根 , 这些根也称为 可能 极值点； 强调 : 要想知道 x 0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f  ( x 0 ) =0 左右侧导数的符号 . 注：导数等于零的点不一定是极值点． 求下列函数的极值 案例分析 函数 在 时有极值 10 ，则 a ， b 的值为（ ） A 、 或 B 、 或 C 、 D 、 以上都不对 A 解 : 由题设条件得： 解之得 通过验证， a=3,b=-3 不合要求，故应选择 C 。 注意： f / ( x 0 )=0 是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 2.( 2006 年 北京卷 ) 已知函数 在点 处取得极大值 5, 其导函数 的图像 ( 如图 ) 过点（ 1,0 ） , （ 2,0 ） , 求： （ 1 ） 的值；（ 2 ） a,b,c 的值； . 略解： (1) 由图像可知： (2) 注意： 数形结合以及函数与方程思想的应用 （ 2006 年天津卷 ) 函数 的定义域为开区间 导函数 在 内的图像如图所示，则函数 在开区间 内有（ ）个极小值点。 A .1 B .2 C .3 D. 4 A f  ( x ) <0 f  ( x ) >0 f  ( x ) =0 注意： 数形结合以及原函数与导函数图像的区别 变式训练 函数 f ( x ) =x 3 +3 ax 2 +3( a +2) x +3 既有极大值，又有极小值，则 a 的取值范围为 。 注意： 导数与方程、不等式的结合应用 本节课主要学习了哪些内容？ 请想一想？ 1 、极值的判定方法 2 、极值的求法 注意点： 1 、 f / ( x 0 )= 0 是可导函数取得极值的必要不充分条件 2 、数形结合以及函数与方程思想的应用 3 、 要想知道 x 0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f  ( x 0 ) =0 左右侧导数的符号 . 2021/1/13 22 作业 1 、课本Ｐ 99 习题 3.3 ： 5 2 、 思考题 极值 和 最值 的区别与联系 谢谢 注、 单调区间不能以 “ 并集 ” 出现 。 利用导数讨论函数单调的步骤 : (2) 求导数 (3) 解不等式组 得 f(x) 的单调递增区间 ; 解不等式组 得 f(x) 的单调递减区间 . (1) 求 的定义域 D 观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、 P 点的函数值以及点 P 位置的特点 o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x y P ( x 1 , f ( x 1 )) y=f ( x ) Q ( x 2 , f ( x 2 )) 函数图像在 P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”（函数由单调递增变为单调递减），在 P 点 附近 ， P 点的位置最高，函数值最大 一般地，设函数 f ( x ) 在 点 x 0 附近有定义 ， 如果对 x 0 附近的所有的点 , 都有 f ( x )﹤ f ( x 0 ) , 我们就说 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值 , 记作 y 极大值 = f ( x 0 ) ； 如果对 x 0 附近的所有的点 , 都有 f ( x )﹥ f ( x 0 ) ， 我们就说 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极小值，记作 y 极小值 = f ( x 0 ) . 极大值与极小值同称为极值 . 函数极值的定义