• 1.06 MB
  • 2021-06-16 发布

人教版高中数学选修1-1课件:3_3_2函数的极值与导数

  • 26页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
3.3.2 函数的极值与导数 判断函数单调性的常用方法: ( 1 )定义法 ( 2 )导数法 f `(x)>0 增函数 f `(x)<0 减函数 1) 如果恒有 f′(x)>0 ,那么 y=f ( x) 在这个区间( a,b) 内单调递增; 2) 如果恒有 f′(x)<0 ,那么 y=f ( x )在这个区间 (a,b) 内单调递减。 一般地,函数 y = f ( x )在某个区间 (a,b) 内 注、 单调区间不能以 “ 并集 ” 出现 。 t h a o h ’ (a)=0 单调递增 h ’ (t)>0 单调递减 h ’ (t)<0 观察高台跳水运动图象 探究、 如图,函数 y=f(x) 在 a,b,c,d,e,f,g,h 等点的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x) 在这些点的导数值是多少? 在这些点附近, y=f(x) 的导数的符号有什么规律? a b c d e f o g h x y y=f(x) y=f(x) 2) 函数 y=f(x) 在 x=b 处的函数值 f(b) 比它在点 x=b 附近其它各点的函数值都大,我们就说 f(b) 是函数的一个 极大值 ,点 b 叫做 极大值点. 函数极值的定义 4) 极大值与极小值统称为极值 . 1) 函数 y=f(x) 在 x=a 处的函数值 f(a) 比它在点 x=a 附近 其它各点的函数值都小,我们就说 f(a) 是函数的一个 极小值 . 点 a 叫做 极小值点 . 3) 极大值点 , 极小值点统称为极值点 . 注 : 函数的极大值、极小值未必是函数的最大值、最小值 . 即 : 极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值 f(a) f(b) ( 1 ) 极值是对某一点附近的小区间而言的 , 是函数的局部性质 , 不是整体的最值 ; ( 2 ) 函数的极值不一定唯一 , 在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值; ( 3 ) 极大值与极小值没有必然关系,极大值可能比极小值还小 . 学生活动 o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x y P ( x 1 , f ( x 1 )) y=f ( x ) Q ( x 2 , f ( x 2 )) 观察图像并类比函数的单调性与导数关系的研究方法 , 看极值与导数之间有什么关系 ? o a x 0 b x y x x 0 左侧 x 0 x 0 右侧 f  ( x ) f ( x ) o a x 0 b x y x x 0 左侧 x 0 x 0 右侧 f  ( x ) f ( x ) 增 f  ( x ) >0 f  ( x ) =0 f  ( x ) <0 极大值 减 f  ( x ) <0 f  ( x ) =0 增 减 极小值 f  ( x ) >0 请问如何判断 f ( x 0 ) 是极大值或是极小值? 左正右负为极大,右正左负为极小 可导函数 y = f ( x ) 的导数 y / 与函数值和极值之间的关系为 ( ) A 、导数 y / 由负变正 , 则函数 y 由减变为增 , 且有极大值 B 、导数 y / 由负变正 , 则函数 y 由增变为减 , 且有极大值 C 、导数 y / 由正变负 , 则函数 y 由增变为减 , 且有极小值 D 、导数 y / 由正变负 , 则函数 y 由增变为减 , 且有极大值 D 学生活动 探索 : x =0 是否为函数 f ( x )= x 3 的极值点 ? x y O f ( x )  x 3 若寻找可导函数极值点 , 可否只由 f  ( x ) = 0 求得即可 ? 而 x =0 不是 该函数的极值点 . f  ( x 0 ) =0 x 0 是 可导 函数 f ( x ) 的极值点 x 0 左右侧导数异号 x 0 是函数 f(x) 的极值点 f  (x 0 ) =0 注意: f / ( x 0 )=0 是可导函数取得极值的必要不充分条件 f  ( x ) =3 x 2 当 f  ( x ) =0 时, x =0 , 解 : ∵ f  ( x ) 的定义域为 R 又 ∵ f  ( x ) =2 x - 1 , 由 f  ( x ) =0 解得 x =1/2 f ( x ) f  ( x ) x ∴ 当 x =1/2 时 , f(x) 极小值 = f(1/2) =- 9/4 . - 0 + 极小值 f(1/2) 当 x 变化时 , f  ( x) 、 f ( x ) 的变化情况如下表: 解 : ∵ f  ( x ) = x 2 - 4 , 由 f  ( x ) =0 解得 x 1 =2, x 2 =-2. 当 x 变化时 , f  ( x) 、 f ( x ) 的变化情况如下表: ∴ 当 x =2 时 , y 极小值 =28/3 ; 当 x = -2 时 , y 极大值 =-4/3 . f ( x ) f  ( x ) x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) + 0 0 - + 极大值 28/3 极小值 - 4/3 请思考求可导函数的极值的步骤 : ③ 检查 在方程 = 0 的根的左右两侧的 符号,确定极值点。 ( 最好通过列表法 ) ① 求导数 ② 求方程 =0 的根 , 这些根也称为 可能 极值点; 强调 : 要想知道 x 0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f  ( x 0 ) =0 左右侧导数的符号 . 注:导数等于零的点不一定是极值点. 求下列函数的极值 案例分析 函数 在 时有极值 10 ,则 a , b 的值为( ) A 、 或 B 、 或 C 、 D 、 以上都不对 A 解 : 由题设条件得: 解之得 通过验证, a=3,b=-3 不合要求,故应选择 C 。 注意: f / ( x 0 )=0 是函数取得极值的必要不充分条件 注意代入检验 2.( 2006 年 北京卷 ) 已知函数 在点 处取得极大值 5, 其导函数 的图像 ( 如图 ) 过点( 1,0 ) , ( 2,0 ) , 求: ( 1 ) 的值;( 2 ) a,b,c 的值; . 略解: (1) 由图像可知: (2) 注意: 数形结合以及函数与方程思想的应用 ( 2006 年天津卷 ) 函数 的定义域为开区间 导函数 在 内的图像如图所示,则函数 在开区间 内有( )个极小值点。 A .1 B .2 C .3 D. 4 A f  ( x ) <0 f  ( x ) >0 f  ( x ) =0 注意: 数形结合以及原函数与导函数图像的区别 变式训练 函数 f ( x ) =x 3 +3 ax 2 +3( a +2) x +3 既有极大值,又有极小值,则 a 的取值范围为 。 注意: 导数与方程、不等式的结合应用 本节课主要学习了哪些内容? 请想一想? 1 、极值的判定方法 2 、极值的求法 注意点: 1 、 f / ( x 0 )= 0 是可导函数取得极值的必要不充分条件 2 、数形结合以及函数与方程思想的应用 3 、 要想知道 x 0 是极大值点还是极小值点就必须判断 f  ( x 0 ) =0 左右侧导数的符号 . 2021/1/13 22 作业 1 、课本P 99 习题 3.3 : 5 2 、 思考题 极值 和 最值 的区别与联系 谢谢 注、 单调区间不能以 “ 并集 ” 出现 。 利用导数讨论函数单调的步骤 : (2) 求导数 (3) 解不等式组 得 f(x) 的单调递增区间 ; 解不等式组 得 f(x) 的单调递减区间 . (1) 求 的定义域 D 观察下图中 P 点附近图像从左到右的变化趋势、 P 点的函数值以及点 P 位置的特点 o a x 1 x 2 x 3 x 4 b x y P ( x 1 , f ( x 1 )) y=f ( x ) Q ( x 2 , f ( x 2 )) 函数图像在 P 点附近从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减),在 P 点 附近 , P 点的位置最高,函数值最大 一般地,设函数 f ( x ) 在 点 x 0 附近有定义 , 如果对 x 0 附近的所有的点 , 都有 f ( x )﹤ f ( x 0 ) , 我们就说 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极大值 , 记作 y 极大值 = f ( x 0 ) ; 如果对 x 0 附近的所有的点 , 都有 f ( x )﹥ f ( x 0 ) , 我们就说 f ( x 0 ) 是函数 f ( x ) 的一个极小值,记作 y 极小值 = f ( x 0 ) . 极大值与极小值同称为极值 . 函数极值的定义

相关文档