数学理卷·2018届山西省晋中市榆社中学高三11月月考（2017 9页

山西省榆社中学2018届高三11月月考 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设，为虚数单位，且，则（ ）‎ A． B．1 C. D．2‎ ‎2.设集合，则中整数元素的个数为（ ）‎ A．3 B．4 C. 5 D．6‎ ‎3．已知向量，则“”是“与反向”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问提:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗栗.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗升，升，升，1斗为10升，则下列判断正确的是（ ）‎ A. 依次成公比为2的等比数列，且 B. 依次成公比为2的等比数列，且 C. 依次成公比为的等比数列，且 D. 依次成公比为的等比数列，且 ‎5.若函数在上递减，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，其中每个视图中的四个小正方形的边长都相等，若该几何体的体积为，则该几何体的表面积为（ ）‎ A．36 B．42 C. 48 D．64‎ ‎7.定义在上的奇函数的一个零点所在区间为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 设变量满足约束条件则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.在正四棱锥中，已知异面直线与所成的角为，给出下面三个命题:‎ ‎:若，则此四棱锥的侧面积为；‎ ‎：若分别为的中点，则平面；‎ ‎:若都在球的表面上，则球的表面积是四边形面积的倍. ‎ 在下列命题中，为真命题的是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.设，定义运算:，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11．设为数列的前项和，，且.记 为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D． 1‎ ‎12.当 时，恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 设向量满足，，则 ．‎ ‎14. 函数的值域为 ．‎ ‎15. 若函数的图象相邻的两个对称中心为，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则 ．‎ ‎16. 如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段的中点，，与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，已知，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求.‎ ‎18.设为数列的前项和，，数列满足.‎ ‎（1）求及；‎ ‎（2）记表示的个位数字，如，求数列的前20项和.‎ ‎19.已知向量，函数.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）求在上的值域；‎ ‎（3）将的图象向左平移个单位得到的图象，设，判断的图象是否关于直线对称，请说明理由.‎ ‎20. 如图，在三棱锥中，，底面，，‎ 且.‎ ‎（1）若为上一点，且，证明:平面平面.‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21.已知函数的图象与轴相切，且切点在轴的正半轴上.‎ ‎（1）求曲线与轴，直线及轴围成图形的面积；‎ ‎（2）若函数在上的极小值不大于，求的取值范围.‎ ‎22. 已知函数，.‎ ‎（1）当时，比较与的大小；‎ ‎（2）设，若函数在上的最小值为，求的值.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: BBCDB 6-10: CCDAB 11、12：AA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，从而.‎ ‎（2）∵，∴为锐角，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）当时，. ‎ 由于也满足，则. ‎ ‎∵，∴，∴是首项为3，公差为 2 的等差数列，∴.‎ ‎（2）∵，∴的前 5 项依次为 1，3，5，7，9. ‎ ‎∵，∴的前 5 项依次为 3，5，7，9，1.‎ 易知，数列与的周期均为5， ‎ ‎∴的前20项和为 ‎.‎ ‎19.解：（1）∵，∴.‎ 又，‎ ‎∴或.‎ ‎（2）‎ ‎.‎ ‎∵，∴，∴.‎ 故在上的值域为.‎ ‎（3）∵，∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴的图象关于直线对称. ‎ ‎20. （1）证明：由底面，得.‎ 又，，故平面.‎ ‎∵平面，∴平面平面. ‎ ‎（2）解：∵,‎ ‎∴，则 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎.‎ 设是平面的法向量，则即 令，得.‎ 设是平面的法向量，则 即 令，得.‎ ‎∴，‎ 由图可知，二面角为钝角，故二面角的余弦值为.‎ ‎21. （1）解：∵，∴令得，‎ 由题意可得，∴ .‎ 故，.‎ ‎（2），，‎ 当，即时，无极值.‎ 当，即时，令得；‎ 令得或得.‎ ‎∴在处取得极小值.‎ 当，即时，在上无极小值，‎ 故当时，在上有极小值，‎ 且极小值为，‎ 即.‎ ‎∵，∴，∴.‎ 又，故.‎ ‎22.解：（1），‎ 构造函数，，‎ 当时，，∴在上单调递减，‎ ‎∴，‎ 故当时，，‎ 即，即.‎ ‎（2）由题可得，则，‎ 由得到，设，，‎ 当时，；当时，.‎ 从而在上递减，在上递增.∴.‎ 当时，，即（或，设，证明亦可得到 ‎）.‎ 在上，，递减；‎ 在上，，递增.‎ ‎∴，‎ ‎∴，解得.‎