2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第8章 第6节 抛物线 11页

第六节　抛物线 ‎[考纲传真]　1.了解抛物线的实际背影，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线方程).3.理解数形结合的思想.4.了解抛物线的简单应用．‎ ‎(对应学生用书第123页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．抛物线的概念 ‎ 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的集合叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ ‎2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦半径|PF|‎ x0＋ ‎－x0＋ y0＋ ‎－y0＋ ‎[知识拓展]‎ ‎1．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎3．设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，‎ ‎ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎ (1)x1x2＝，y1y2＝－p2.‎ ‎ (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎ (3)以弦AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎ (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的集合一定是抛物线．(　　)‎ ‎ (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，准线方程是x＝－.(　　)‎ ‎ (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)‎ ‎ (4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)若抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　‎ ‎ C．　　　　 D．0‎ ‎ B　[M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y＝－，设M(x，y)，则y＋＝1，∴y＝.]‎ ‎3．抛物线y＝x2的准线方程是(　　)‎ ‎ A．y＝－1 B．y＝－2‎ ‎ C．x＝－1 D．x＝－2‎ ‎ A　[∵y＝x2，∴x2＝4y，∴准线方程为y＝－1.]‎ ‎4．(2018·大同模拟)已知抛物线y2＝2px(p ‎>0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)‎ ‎ A．(－1,0) B．(1,0)‎ ‎ C．(0，－1) D．(0,1)‎ ‎ B　[抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2，所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．]‎ ‎5．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．‎ ‎ 9　[设点M的横坐标为x0，则点M到准线x＝－1的距离为x0＋1，由抛物线的定义知x0＋1＝10，∴x0＝9，‎ ‎∴点M到y轴的距离为9.]‎ ‎(对应学生用书第124页)‎ 抛物线的定义及应用 ‎　(1)(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，点A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)‎ ‎ A．1 B．2　　　　　‎ ‎ C．4　　　　　 D．8‎ ‎ (2)已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．‎ ‎ 【导学号：00090304】‎ ‎ (1)A　(2)2　[(1)由y2＝x，知2p＝1，即p＝，‎ ‎ 因此焦点F，准线l的方程为x＝－.‎ ‎ 设点A(x0，y0)到准线l的距离为d，则由抛物线的定义可知d＝|AF|.‎ ‎ 从而x0＋＝x0，解得x0＝1.‎ ‎ (2)由y2＝4x，知p＝2，焦点F(1,0)，准线x＝－1.‎ ‎ 根据抛物线的定义，|AF|＝|AC|＋1，|BF|＝|BD|＋1.‎ ‎ 因此|AC|＋|BD|＝|AF|＋|BF|－2＝|AB|－2.‎ ‎ 所以|AC|＋|BD|取到最小值，当且仅当|AB|取得最小值，‎ ‎ 又|AB|＝2p＝4为最小值．‎ ‎ 故|AC|＋|BD|的最小值为4－2＝2.]‎ ‎ [规律方法]　1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．如本例充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快．‎ ‎ 2．若P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)上一点，由定义易得|PF|＝x0＋；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2可由根与系数的关系整体求出．‎ ‎[变式训练1]　(1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________．‎ ‎ (2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________．‎ ‎ (1)　(2)(2,2)[(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．‎ ‎ 连接AF交抛物线于点P，此时最小值为 ‎ |AF|＝＝.‎ ‎ (2)将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.‎ ‎ ∵＞2，∴A在抛物线内部，如图．‎ ‎ 设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．]‎ 抛物线的标准方程与几何性质 ‎　(1)点M(5,3)到抛物线y＝ax2的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是(　　)‎ ‎ A．x2＝y B．x2＝y或x2＝－y ‎ C．x2＝－y D．x2＝12y或x2＝－36y ‎ (2)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k>0)与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝(　　)‎ ‎ A． B．1‎ ‎ C． D．2‎ ‎ (1)D　(2)D　[(1)将y＝ax2化为x2＝y.‎ ‎ 当a>0时，准线y＝－，则3＋＝6，∴a＝.‎ ‎ 当a<0时，准线y＝－，则＝6，∴a＝－.‎ ‎ ∴抛物线方程为x2＝12y或x2＝－36y.‎ ‎ (2)由抛物线C：y2＝4x知p＝2.‎ ‎ ∴焦点F(1,0)．‎ ‎ 又曲线y＝(k>0)与曲线C交于点P，且PF⊥x轴．‎ ‎ ∴P(1,2)，‎ ‎ 将点P(1,2)代入y＝，得k＝2]‎ ‎ [规律方法]　1.求抛物线的标准方程的方法：‎ ‎ (1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．‎ ‎ (2)抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．‎ ‎ 2．由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2018·郑州模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4 ‎，则抛物线的方程为 (　　) 【导学号：00090305】‎ ‎ A．y2＝6x B．y2＝8x ‎ C．y2＝16x D．y2＝ ‎ (2018·西安模拟)过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为________．‎ ‎ (1)B　(2)　[(1)设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，‎ ‎ 由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，‎ ‎ 所以y＝±p.‎ ‎ 又△MFO的面积为4，‎ ‎ 所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．‎ ‎ 所以抛物线的方程为y2＝8x.‎ ‎ (2)如图，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知，点A到准线x＝－1的距离为3，所以点A的横坐标为2，将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点A的纵坐标为y＝2，所以A(2,2)，所以直线AF的方程为y＝2(x－1)，‎ 联立直线与抛物线的方程 解得或由图知B，‎ 所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝.]‎ 直线与抛物线的位置关系 角度1　直线与抛物线的交点问题 ‎　(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连接ON并延长交C于点H.‎ ‎ (1)求；‎ ‎ (2)除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？说明理由．‎ ‎ [解]　(1)如图，由已知得M(0，t)，P.‎ ‎ 又N为M关于点P的对称点，故N， 2分 ‎ 故直线ON的方程为y＝x，‎ ‎ 将其代入y2＝2px，整理得px2－2t2x＝0, ‎ ‎ 解得x1＝0，x2＝.因此H.‎ ‎ 所以N为OH的中点，即＝2. 5分 ‎ (2)直线MH与C除H以外没有其他公共点．理由如下：‎ ‎ 直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t). 8分 ‎ 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，‎ ‎ 即直线MH与C只有一个公共点，‎ ‎ 所以除H以外，直线MH与C没有其他公共点. 12分 ‎ [规律方法]　1.(1)本题求解的关键是求出点N，H的坐标．(2)第(2)问将直线MH的方程与抛物线C的方程联立，根据方程组的解的个数进行判断．‎ ‎ 2．(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧．‎ 角度2　与抛物线弦长或中点有关的问题 ‎　(2017·泰安模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎ (1)求抛物线C的方程；‎ ‎ (2)不过原点的直线l2与l1的垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．‎ ‎ [解]　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 2分 ‎ ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x. 5分 ‎ (2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M. 6分 ‎ 由得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.‎ ‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2. 8分 ‎ 由题意可知OA⊥OB，‎ ‎ 即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，‎ ‎ ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8,0). 10分 ‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|‎ ‎ ＝3＝24. 12分 ‎ [规律方法]　1.抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎ 2．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等方法．‎ ‎ 3．涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．‎