2017届高考文科数学（全国通用）二轮适考素能特训：专题2-3-2三角恒等变换与解三角形 10页

一、选择题 ‎1．[2016·合肥质检]sin18°sin78°－cos162°cos78°＝(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　D 解析　sin18°sin78°－cos162°cos78°＝sin18°sin78°＋cos18°·cos78°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝，故选D.‎ ‎2．[2016·广西质检]已知<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　由3sin2α＝2cosα得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝ ＝.‎ ‎3．[2016·郑州质检]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　由正弦定理知＝＝1，即tanB＝，所以B＝，所以cosB＝cos＝，故选B.‎ ‎4．[2016·武汉调研]据气象部门预报，在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动，距风暴中心300 km以内的地区为危险区，则该码头处于危险区内的时间为(　　)‎ A．9 h B．10 h C．11 h D．12 h 答案　B 解析　记码头为点O，热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴到达B点位置，在△OAB中，OA＝400，AB＝20t，∠OAB＝45°，根据余弦定理得4002＋400t2－2×20t×400×≤3002，即t2－20t＋175≤0，解得10－5≤t≤10＋5，所以所求时间为10＋5－10＋5＝10(h)，故选B.‎ ‎5．[2016·云南统测]已知△ABC的内角A、B、C对的边分别为a、b、c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S ‎△ABC＝absinC＝××3×＝.‎ ‎6．[2016·郑州质量预测]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，且c＝，C＝，则△ABC的面积是(　　)‎ A. B. C. D.或 答案　D 解析　sin(B＋A)＝sinBcosA＋cosBsinA，sin(B－A)＝sinBcosA－cosBsinA，sin2A＝2sinAcosA，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin2A，即2sinBcosA＝6sinAcosA.当cosA＝0时，A＝，B＝，又c＝，得b＝.由三角形面积公式知S＝bc＝；当cosA≠0时，由2sinBcosA＝6sinAcosA可得sinB＝3sinA，根据正弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cosC＝＝＝cos＝，可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝absinC＝.综上可得三角形的面积为或，所以选D.‎ 二、填空题 ‎7．已知tanα，tanβ是lg (6x2－5x＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.‎ 答案　1‎ 解析　lg (6x2－5x＋2)＝0⇒6x2－5x＋1＝0，∴tanα＋tanβ＝ ‎，tanα·tanβ＝，∴tan(α＋β)＝＝＝1.‎ ‎8．[2016·贵阳监测]在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．‎ 答案　直角三角形 解析　由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．‎ ‎9．[2016·西安质检]已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a∶b∶c＝7∶5∶3，若△ABC的面积为45，则△ABC外接圆的半径为________．‎ 答案　14‎ 解析　因为a∶b∶c＝7∶5∶3，所以可设a＝7k，b＝5k，c＝3k(k>0)，由余弦定理得，cosA＝＝＝－.因为A是△ABC的内角，所以sinA＝ ＝，因为△ABC的面积为45，所以bcsinA＝45，即×5k×3k×＝45，解得k＝2.由正弦定理＝2R(R为△ABC外接圆的半径)，即2R＝＝，解得R＝14，所以△ABC外接圆半径为14.‎ 三、解答题 ‎10．[2016·重庆测试]在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且2cos2＋sin2A＝1.‎ ‎(1)求A；‎ ‎(2)设a＝2－2，△ABC的面积为2，求b＋c的值．‎ 解　(1)由2cos2＋sin2A＝1可得，2＋2sinAcosA＝1，‎ 所以1＋cos(π－A)＋2sinAcosA＝1，故2sinAcosA－cosA＝0.‎ 因为△ABC为锐角三角形，所以cosA≠0，故sinA＝，‎ 从而A＝.‎ ‎(2)因为△ABC的面积为bcsinA＝bc＝2，所以bc＝8.‎ 因为A＝，故cosA＝，由余弦定理可知，b2＋c2－a2＝2bccosA＝bc.‎ 又a＝2－2，所以(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝(2＋)bc＋a2＝8×(2＋)＋(2－2)2＝32.‎ 故b＋c＝＝4.‎ ‎11．[2016·武汉调研]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cosB＝1－cosAcosC.‎ ‎(1)求证：a，b，c成等比数列；‎ ‎(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．‎ 解　(1)证明：在△ABC中，cosB＝－cos(A＋C)．‎ 由已知，得(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cosAcosC，‎ ‎∴－sin2B－(cosAcosC－sinAsinC)＝－cosAcosC，‎ 化简，得sin2B＝sinAsinC.由正弦定理，得b2＝ac，‎ ‎∴a，b，c成等比数列．‎ ‎(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.‎ 则cosB＝＝≥＝，‎ 当且仅当a＝c时，等号成立．‎ ‎∵0