专题09+指数与指数函数、幂函数（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习 21页

本专题特别注意：‎ ‎1.指数幂运算陷阱；‎ ‎2.指数函数与幂函数定义陷阱；‎ ‎3.隐含条件陷阱；‎ ‎4.数形结合和陷阱；‎ ‎5．参数讨论陷阱；‎ ‎6.根据指数函数图象判断底数大小判断 ‎7.比较大小时指数函数与幂函数的选取 ‎【学习目标】‎ ‎1．了解指数幂的概念、掌握有理数指数幂的运算性质．‎ ‎2．掌握指数函数的概念、图象和性质及其应用．‎ ‎3．了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝ 的图象和性质解决有关问题．‎ ‎【知识要点】‎ ‎1．根式 ‎(1)概念：如果一个数的n次方等于a(n>1且n∈N*)，那么这个数就叫做a的n次方根，即若xn＝a(n>1，n∈N*)，则x＝．式子叫做根式，n叫根指数，a叫被开方数．‎ ‎(2)根式的性质：‎ ‎①a的n(n>1，n∈N*)次方根，当n为奇数时，有一个n次方根为；当n为偶数时，若a>0，有两个互为相反数的n次方根为，若a＝0，其n次方根为0，若a<0，则无实数根．‎ ‎②当n为奇数时，＝a；‎ 当n为偶数时，＝|a|＝．‎ ‎2．指数幂的概念 ‎(1)正整数指数幂：an＝ (n∈N*)．‎ ‎ (2)零指数幂：a0＝1 (a≠0)．‎ ‎ (3)负指数幂：a－b＝ (a≠0)．‎ ‎(4)正分数指数幂根式：a＝ (a>0，m，n∈N*，n>1)．‎ ‎(5)负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)．‎ ‎3．有理指数幂的运算性质 (注意逆用)‎ ‎(1)ar·as＝__________(r，s∈Q，a>0)．‎ ‎(2)ar÷as＝__________(r，s∈Q，a>0)．‎ ‎(3)(ar)s＝__________(r，s∈Q，a>0)．‎ ‎(4)(ab)r＝__________(r∈Q，a>0，b>0)．‎ ‎4．指数函数的概念、图象和性质 定义 形如y＝ax(a>0且a≠1)的函数叫指数函数 图象 性质 ‎(1)定义域：________‎ ‎(2)值域：_______________‎ ‎(3)过点____________，即x＝0时，y＝1‎ ‎(4)在R上是________‎ 在R上是________‎ ‎(5)x>0时，________‎ x<0时，________‎ x>0时，________‎ x<0时，________‎ ‎5．幂函数 ‎(1)一般地，形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．‎ ‎(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象的比较如下．‎ 熟记α＝1，2，3，，－1时幂函数的图象是解决有关幂函数问题的基础．‎ ‎(3)幂函数的性质 y＝x y＝x2‎ y＝x3‎ y＝x y＝x－1‎ 定义域 R R R ‎________‎ ‎{x|x∈R且x≠0}‎ 值域 R ‎[0，＋∞)‎ R ‎[0，＋∞)‎ ‎{y|y∈R且y≠0}‎ 奇 偶 奇 奇 奇偶性 ‎_________‎ 单调性 增 x∈[0，＋∞)时，增；x∈(－∞，0]时，减 增 增 x∈(0，＋∞)时，减；x∈(－∞，0)时，减 定点 ‎(1，1)‎ 一、单选题 ‎1．若，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：首先确定a的范围，然后结合指数函数的单调性整理计算即可求得最终结果.‎ 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．‎ 在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．‎ ‎2．设集合,集合,则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：解指数不等式可得集合A，求出函数的定义域可得集合B，然后再求出即可．‎ 详解：由题意得，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查指数函数单调性的应用，对数函数的定义域及集合的运算，考查学生的运算能力及应用所学知识解决问题的能力，属基础题．‎ ‎3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由，，，可得，，则，利用做差法结合基本不等式可得结果.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ‎ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎4．已知，，若，，使得则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意得若满足条件，只需即可，故将问题转化为求函数的最小值即可．‎ 详解：∵，，使得，‎ ‎∴．‎ ‎∵在上单调递增，‎ ‎∴．‎ 又在上单调递减，‎ ‎∴．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 故选A．‎ 点睛：解答本题的关键是正确理解“若，，使得”的含义，然后将问题转化为求函数的最值的问题处理．‎ ‎5．若定义在上的偶函数在区间上单调递减，设，，，则的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由对数函数的性质可得 ‎，由指数函数的性质可得，然后结合函数的单调性即可得结果.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6．已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出的导数，得到函数的在上递增，利用对数函数与指数函数的性质可得，，从而比较函数值的大小即可.‎ 点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. ‎ ‎7．已知数列满足，且，则（ ）‎ A. -3 B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列是等差数列，且公差为2．‎ ‎∵，‎ ‎∴，.‎ ‎∴．选A． ‎ ‎8．已知，则、、的大小排序为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 为正实数，且， 可得： 即 ‎ 因为函数 单调递增，∴.‎ 故选A.‎ ‎9．已知a＝，b＝，c＝，则实数a，b，c的大小关系是(　　)‎ A. a>c>b B. b>a>c C. a>b>c D. c>b>a ‎【答案】C ‎ ‎ ‎10．10．函数的图象的大致形状是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数的定义域为．‎ 当时，由题意可得，故可排除B,D；‎ 又当时，由于，故，故排除C．‎ 选A．‎ 点睛：由函数的解析式判断图象的形状时，主要利用排除法进行．解题时要注意以下几点：‎ ‎（1）先求出函数的定义域，根据定义域进行排除；‎ ‎（2）利用函数的性质进行判断，即根据函数的单调性、奇偶性、对称性进行排除；‎ ‎（3）根据函数图象上的特殊点的函数值进行判断或根据函数的变化趋势进行判断．‎ ‎11．设，，均为实数，且，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎12．已知函数既是二次函数又是幂函数，函数是上的奇函数，函数，则 ‎（ ）‎ A. 0 B. 2018 C. 4036 D. 4037‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数既是二次函数又是幂函数，所以，‎ 因此，‎ 因此 ‎ 选D.‎ ‎13．已知an=（n∈N*），则在数列{an}的前30项中最大项和最小项分别是（　　）‎ A. a1，a30 B. a1，a9 C. a10，a9 D. a10，a30‎ ‎【答案】C ‎14．已知幂函数，若在其定义域上为增函数，则等于（ ）‎ A. 1， B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，解得。故选C。‎ ‎15．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，则，即，当时， ，又当时， ，∴，解得，故选D．‎ 点睛：设在定义域上的值域为，函数在定义域上的值域为，命题“对于任意的，总存在，使得”等价于．‎ ‎16．已知f(x)=a﹣b+1是幂函数,则a+b=‎ A. 2 B. 1 C. D. 0‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为f(x)=a﹣b+1是幂函数,所以a=1, ,‎ 即：，则a+b=2.‎ 本题选择A选项. ‎ ‎17．函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且， ，则的值（ ）‎ A. 恒大于0 B. 恒小于0 C. 等于0 D. 无法判断 ‎【答案】A 点睛：本题考查函数值和的符号的判断，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ 二、填空题 ‎18．函数（且）所过的定点坐标为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：利用a0=1（a≠0），即可求函数f（x）的图象所过的定点．‎ 详解：：当x=2015时，f（2015）=a2015﹣2015+2017=a0+2017=2018，‎ ‎∴f（x）=ax﹣2015+2017（a＞0且a≠1）过定点A（2015，2018）．‎ 故答案为：（2015，2018）．‎ 点睛：本题考查了指数函数的图象和性质，必过点.‎ ‎19．函数的定义域为_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，根据对数函数的概念及其定义域可得，，即，由指数函数与的图象可知，如图所示，当时，恒成立，所以正确答案为.‎ ‎20．已知函数则__________．‎ ‎【答案】‎ 答案： ‎ ‎21．已知函数的图象关于点对称，则__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由已知，得，，‎ 整理得，所以当时，等式成立，即.‎ ‎22．定义某种运算，运算原理如流程图所示，则式子的值为______. ‎ ‎【答案】12‎ ‎ ‎ ‎23．设集合，‎ ‎ ，若，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ， ， 在 上恒为正，设 ，则，即，得，即，实数的取值范围是，故答案为.‎ ‎24．对于函数定义域中任意， 有如下结论：‎ ‎（）．‎ ‎（）．‎ ‎（）．‎ ‎（）．‎ 其中正确结论的序号是__________．‎ ‎【答案】（）（）（）‎ ‎【点睛】函数判断题是常见的函数问题，要熟悉一些陌生函数表达符号，函数f(x)在某区间上满足说明函数在某区间上为增函数，函数f(x)满足说明函数f(x)的图像是下凹的，函数f(x0‎ ‎25．若幂函数（且互素）的图象如下图所示,则下列说法中正确的是___________.‎ ‎ m、n是奇数且 m是偶数，n是奇数，且 m是偶数，n是奇数，且 m、n是偶数，且 ‎【答案】①③‎ ‎【解析】由图像知，函数为偶函数， 为偶数， 为奇数，又在第一象限向上凸，所以,选③. ‎ ‎26．已知函数是定义在上的幂函数,则的解集为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ ‎27．已知且，函数的图象恒过定点，若在幂函数的图象上，则__________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】， ， ，即，设，则， ，即，∴．‎ ‎28．如图，矩形ABCD的三个顶点A，B，C分别在函数y＝logx，y＝x，y＝()x的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A的纵坐标为2，则点D的坐标为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得， ， ， ，则。‎ 三、解答题 ‎29．已知函数(其中为常量且且）的图象经过点,.‎ ‎(1)试求的值；‎ ‎(2)若不等式在时恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1） ；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由函数(其中为常数且，）的图象经过点,，知，由此能求出；（2）设，则在上是减函数，故当时，，由此能求出实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎30．已知函数. ‎ ‎（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的最小值为，求实数的值；‎ ‎（3）若对任意的，均存在以，，为三边长的三角形，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ ‎【解析】分析：（1）问题等价于恒成立，分类参数后转化为求函数的最值即可；‎ ‎（2）由，令，分 三种情况进行讨论求出的最小值，令其为，即可求出的值.‎ ‎（3）由题意对任意恒成立，当时容易判断，当时转化为函数的最值问题即可求解. ‎ 详解：（1）‎ ‎（2），令，则，‎ 当时，无最小值，舍去；‎ 当时，最小值不是，舍去；‎ 当时， ，最小值为，‎ 综上所述，.‎ 点睛：本题考查了复合函数额单调性、函数的恒成立问题、函数的最值等问题的综合应用，着重考查了转化思想方法和函数性质的综合应用，试题综合性强，难度较大，同时主要函数恒成立问题求解方法中，通常利用分类参数转化为函数的最值求解.‎ ‎31．函数定义在上，且不恒为零.对任意任意有恒成立.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若且求证： .‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）令， ， ，因为，所以 ；‎ ‎（2）设 ‎，可证明，利用以上结论，结合且，可证明.‎ 试题解析：（1）令， ， ，‎ 因为，所以 ；‎ ‎ ‎ ‎32．已知幂函数在(0,+∞)上单调递增，函数g(x)=2x-k.‎ ‎(Ⅰ)求实数m的值；‎ ‎(Ⅱ)当x∈(1，2]时，记ƒ(x)，g(x)的值域分别为集合A.B,若A∪B=A，求实数k的值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)m=0. (Ⅱ)[0.1]. ‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)根据幂函数的定义和性质即可求出的值；(Ⅱ)先求出的值域，再根据若，得到关于的不等式组，解得即可.‎ 试题解析：(Ⅰ)依题意得.‎ ‎∴或 ‎ 当时，在(0,+∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去.‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当时，函数和均单调递增.‎ ‎∴集合，‎ 又∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围是. ‎