2019高三数学理北师大版一轮课时分层训练13　变化率与导数、计算导数 7页

课时分层训练(十三)　变化率与导数、计算导数 ‎(对应学生用书第226页)‎ A组　基础达标 一、选择题 ‎1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(　　)‎ A．2(x2－a2)　　　　 B．2(x2＋a2)‎ C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)‎ C　[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，‎ ‎∴f′(x)＝3(x2－a2)．]　‎ ‎2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于(　　)‎ A．－e　　 B．－1 C．1　　　　D．e B　[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋，‎ 所以f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.]　‎ ‎3．曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为(　　)‎ A．y＝3x－1 B．y＝－3x－1‎ C．y＝3x＋1 D．y＝－3x－1‎ A　[由题意得y′＝(x＋1)ex＋2，则曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线的斜率为(0＋1)e0＋2＝3，故曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为y＋1＝3x，即y＝3x－1.]‎ ‎4．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)若直线y＝kx＋1是函数f(x)＝ln x图像的一条切线，则k＝(　　)‎ ‎【导学号：79140073】‎ A. B. C．e D．e2‎ A　[由f(x)＝ln x，得f′(x)＝.设切点为(x0，ln x0)，则解得x0＝e2，则k＝＝，故选A.]‎ ‎5．已知y＝f(x)是可导函数，如图2101，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝(　　)‎ 图2101‎ A．－1 B．0‎ C．2 D．4‎ B　[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－.‎ ‎∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，‎ ‎∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，‎ ‎∴g′(3)＝1＋3×＝0.]‎ 二、填空题 ‎6．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.‎ ‎1－ln 2　[分别求出两个对应函数的导数，设出两个切点坐标，利用导数得到两个切点坐标之间的关系，进而求出切线斜率，求出b的值．‎ 求得(ln x＋2)′＝，[ln(x＋1)]′＝.‎ 设曲线y＝ln x＋2上的切点为(x1，y1)，曲线y＝ln(x＋1)上的切点为(x2，y2)，‎ 则k＝＝，所以x2＋1＝x1.‎ 又y1＝ln x1＋2，y2＝ln(x2＋1)＝ln x1，‎ 所以k＝＝2，‎ 所以x1＝＝，y1＝ln＋2＝2－ln 2，‎ 所以b＝y1－kx1＝2－ln 2－1＝1－ln 2.]‎ ‎7．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. ‎ ‎【导学号：79140074】‎ ‎1　[∵f′(x)＝3ax2＋1，‎ ‎∴f′(1)＝3a＋1.‎ 又f(1)＝a＋2，‎ ‎∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．‎ ‎∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.]‎ ‎8．曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.‎ ‎8　[∵y＝aln x，∴y′＝，‎ ‎∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，故切点为(1,0)，‎ ‎∴切线方程为y＝a(x－1)．‎ 令y＝0，得：x＝1；令x＝0，y＝－a.‎ ‎∴三角形面积S＝×a×1＝4，‎ ‎∴a＝8.]‎ 三、解答题 ‎9．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝x·tan x；‎ ‎(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；‎ ‎(3)y＝.‎ ‎[解]　(1)y′＝(x·tan x)′＝x′tan x＋x(tan x)′‎ ‎＝tan x＋x·＝tan x＋x· ‎＝tan x＋.‎ ‎(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，‎ ‎∴y′＝3x2＋12x＋11.‎ ‎(3)y′＝＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ ‎10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ ‎[解]　(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5.∴f′(2)＝1，‎ 又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，‎ 即x－y－4＝0.‎ ‎(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ ‎∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，‎ ‎∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)·(x－2)，‎ 又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，‎ ‎∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，‎ 解得x0＝2或1，‎ ‎∴经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.‎ B组　能力提升 ‎11．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　)‎ A.e2 B．4e2‎ C．2e2 D．e2‎ D　[易知曲线y＝e在点(4，e2)处的切线斜率存在，设其为k.∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.]‎ ‎12．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)‎ A．－1 B．－3‎ C．－4 D．－2‎ D　[∵f′(x)＝，‎ ‎∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，‎ 又f(1)＝0，‎ ‎∴切线l的方程为y＝x－1.‎ g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，‎ 则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，‎ y0＝x＋mx0＋，m＜0，‎ 解得m＝－2.]‎ ‎13．设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．‎ ‎(1,1)　[∵函数y＝ex的导函数为y′＝ex，‎ ‎∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1.‎ 设P(x0，y0)(x0＞0)，∵函数y＝的导函数为y′＝－，∴曲线y＝(x＞0)在点P处的切线的斜率k2＝－.‎ 易知k1k2＝－1，即1·＝－1，解得x＝1，又x0＞0，∴x0＝1.又∵点P在曲线y＝(x＞0)上，∴y0＝1，故点P的坐标为(1,1)．]‎ ‎14．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图像为曲线C.‎ ‎(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；‎ ‎(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围. ‎ ‎【导学号：79140075】‎ ‎[解]　(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，‎ 则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，‎ 即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．‎ ‎(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，‎ 解得－1≤k＜0或k≥1，‎ 故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，‎ 得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪[2＋，＋∞)．‎