寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题10 命题及其关系、充分必要条件（解析）x 7页

专题 10 命题及其关系、充分必要条件 1．命题及其关系 2．充分条件与必要条件 (1)p⇒q，p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件． (2)既有 p⇒q，又有 q⇒p，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件记作 p⇔q. 如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件． 例 1 已知 a，b，c∈R，命题“若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( ) A．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2<3 B．若 a＋b＋c＝3，则 a2＋b2＋c2<3 C．若 a＋b＋c≠3，则 a2＋b2＋c2≥3 D．若 a2＋b2＋c2≥3，则 a＋b＋c＝3 变式 1 设 a，b 是向量，命题“若 a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是( ) A．若 a≠－b，则|a|≠|b| B．若 a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则 a≠－b D．若|a|＝|b|，则 a＝－b 例 2 设 a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a1 或 x<－1，则 x2>1 D．如果 x≥1 或 x≤－1，则 x2≥1 3．原命题为“若an＋an＋1 2 2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 9．设 x，y∈R，则“x≥2 且 y≥2”是“x2＋y2≥4”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝π 2 ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 11．“x＞1”是“log1 2(x＋2)＜0”的( ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．已知 p：α≠β，q：cos α≠cos β，则 p 是 q 的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．给出下列命题： ①命题“若 b2－4ac<0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题； ②命题“在△ABC 中，AB＝BC＝CA，那么△ABC 为等边三角形”的逆命题； ③命题“若 a>b>0，则3 a>3 b>0”的逆否命题； ④“若 m>1，则 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R”的逆命题． 其中真命题的序号为________． 详解答案 典型例题 例 1 A 变式 1 D 例 2 A [由(a－b)a2<0⇒a≠0 且 ab>0，则3 a>3 b>0”是真命题，故其逆否命题为真； ④逆命题：若 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R，则 m>1，假命题， 因为 m>0， [－2m＋1]2－4mm－3<0， 得 m∈∅. 所以应填①②③.