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- 2021-06-16 发布
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典型高考数学试题解读与变式2018版
考点42 圆锥曲线中的综合性问题
【考纲要求】
应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系.会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数),会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题.
【命题规律】
圆锥曲线中的综合性问题一般在解答题中考查.难度较大.
【典型高考试题变式】
(一)探究直线与曲线的公共点
例1.【2016新课标卷】在直角坐标系中,直线l:y=t(t≠0)交y轴于点M,交抛物线C:于点P,M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.
(1)求;
(2)除H以外,直线MH与C是否有其它公共点?说明理由.
【解析】(1)由已知得,.
又为关于点的对称点,故,的方程为,
代入整理得,解得,,因此.
所以为的中点,即.
(2)直线与除以外没有其它公共点.理由如下:
直线的方程为,即.代入得,
解得,即直线与只有一个公共点,所以除以外直线与没有其它公共点.
【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成;解析几何中的证明问题通常有以下几类:证明点共线或直线过定点;证明垂直;证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.
【变式1】【2017陕西省咸阳市二模】已知动点到定点和定直线的距离之比为,设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点作斜率不为0的任意一条直线与曲线交于两点,试问在轴上是否存在一点(与点不重合),使得,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
(2)存在.
设直线,
则,即,
,
由得,即,
整理得,
∴,解得,
综上知, 在轴上是存在点满足题意.
【变式2】【2017湖南省常德市一模】已知椭圆的离心率为,过左焦点F且垂直于x轴的直线与椭圆相交,所得弦长为1,斜率为 ()的直线过点,且与椭圆相交于不同的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)在轴上是否存在点,使得无论取何值, 为定值?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)由题意可知椭圆过点,则,
又,
解得,则椭圆方程.
(2)设在x轴上存在点M(t,0)满足题意,
直线过点(1, 0)且斜率为k,则直线的方程可设为,
由,可知 ,
,
易知,设,则 ,
由题可设,
对任意实数恒成立;
,解得 ,
存在点M(2,0)满足题意,且常数为0.
(二)探求参数值
例2.【2016年高考四川卷】已知椭圆E:的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线与椭圆E有且只有一个公共点T.
(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;
(2)设O是坐标原点,直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B,且与直线l交于点P.证明:存在常数,使得,并求的值.
【分析】(1)由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得,从而可得,椭圆的标准方程中可减少一个参数,再利用直线和椭圆只有一个公共点,联立方程,方程有两个相等实根,解出b的值,从而得到椭圆的标准方程;(Ⅱ)首先设出直线方程为,由两直线方程求出点坐标,得,同时设交点,把方程与椭圆方程联立后消去得的二次方程,利用根与系数关系,得,再计算,比较可得值.
【解析】(1)由已知,,即,所以,则椭圆E的方程为.
由方程组 得.①
方程①的判别式为,由,得,
此方程①的解为,
所以椭圆E的方程为,点T坐标为(2,1).
方程②的判别式为,由,解得.
由②得.
所以 ,
同理,
所以
.
故存在常数,使得.
【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质,考查学生的分析问题解决问题的能力和数形结合的
思想.在涉及到直线与椭圆(圆锥曲线)的交点问题时,一般都设交点坐标为,同时把直线方程与椭圆方程联立,消元后,可得,再把用表示出来,并代入刚才的,这种方法是解析几何中的“设而不求”法.可减少计算量,简化解题过程.
【变式1】【2016湖南省师大附中、长沙一中、长郡中学、雅礼中学四校联考】如图,在平面直角坐标系中,已知、分别是椭圆的左、右焦点,分别是椭圆的左、右顶点,为线段的中点,且.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆上的动点(异于点、),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点,,连接,设直线、的斜率存在且分别为、.试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1)∵,∴,
∵,化简得,点为线段的中点,
∴,从而,,左焦点,故椭圆的方程为;
(2)存在满足条件的常数,,设,,,,
则直线的方程为,代入椭圆方程,整理得,,
∵,∴,从而,故点,
同理,点,∵三点共线,∴,
从而,从而
,故,从而存在满足条件的常数,.
【变式2】【2016洛阳市考试】已知,动点满足,.
(1)求的值,并写出的轨迹曲线的方程;
(2)动直线与曲线交于两点,且,是否存在圆使得恰好是该圆的切线,若存在,求出;若不存在,说明理由.
【答案】(1),(2)存在圆
∴.
(2)设,将代入得
,
∵,∴,且,,
.
∵,∴,即,∴,
由和,得即可,
因为与圆相切,∴,
存在圆符合题意.
【数学思想】
①数形结合思想.
②分类讨论思想.
③转化与化归思想.
【温馨提示】
解决探索性问题的注意事项:
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法.
【典例试题演练】
1. 【2016江西师大附中一联】已知抛物线C的标准方程为,M为抛物线C上一动
点,为其对称轴上一点,直线MA与抛物线C的另一个交点为N.当A为抛物线C的焦点且直线MA与其对称轴垂直时,△MON的面积为18.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)记,若t值与M点位置无关,则称此时的点A为“稳定点”,试求出所有“稳定点”,若没有,请说明理由.
【解析】(1)由题意,, ,
抛物线C的标准方程为.
(2)设,
设直线MN的方程为,联立得,
∴, , ,
由对称性,不妨设,
(ⅰ)时,, 同号,
又,
,
不论a取何值,t均与m有关, 即时,A不是“稳定点”;
(ⅱ)时,, 异号.
又,
,
仅当,即时,t与m无关,
2. 【2016广东广州测试】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,左顶点为,左焦点为,
点在椭圆上,直线与椭圆交于,两点,直线,分别与轴交于点,.
(1)求椭圆的方程;
(2)以为直径的圆是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.
【解析】(1) 设椭圆的方程为,
因为椭圆的左焦点为,所以.
因为点在椭圆上,所以.
由①②解得,,.所以椭圆的方程为.
因为直线,分别与轴交于点,,
令得,即点.
同理可得点.
所以.
设的中点为,则点的坐标为.
则以为直径的圆的方程为,
即.
令,得,即或.
故以为直径的圆经过两定点,.
3.【2017山东省实验中学一诊】已知椭圆:的右焦点,过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于,两点,当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设为坐标原点,线段上是否存在点,使得?若存在,求出实数的取值范围;若不存在,说明理由.
【解析】(1)由题意知,又,所以,
,所以椭圆的方程为: ;
(2)设直线的方程为:,代入,
得:,设,线段的中点为,
则 ,
由 得: ,
所以直线为直线的垂直平分线,
直线的方程为: ,
令得:点的横坐标,
因为, 所以,所以.
所以线段上存在点 使得,其中.
4. 已知双曲线2x2-y2=2.
(1)求以M(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线的方程;
(2)过点N(1,1)能否作直线l,使直线l与所给双曲线交于P1,P2两点,且点N是弦P1P2的中点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
5.【2018山西省名校模拟】已知圆,某抛物线的顶点为原点,焦点为圆心,经过点的直线交圆于, 两点,交此抛物线于, 两点,其中, 在第一象限, , 在第二象限.
(1)求该抛物线的方程;
(2)是否存在直线,使是与的等差中项?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)可化为,
根据已知抛物线的方程为().
∵圆心的坐标为,∴,解得.
∴抛物线的方程为.
(2)∵是与的等差中项,圆的半径为2,∴.
∴.
由题知,直线的斜率存在,故可设直线的方程为,
设, ,由,得, ,
故, .
∵,
∴,
由,解得.
∴存在满足要求的直线,其方程为或.
6.【2017河北省定州中学月考】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为, , 是椭圆的长轴的两个端点(位于右侧),是椭圆在轴正半轴上的顶点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)是否存在经过点且斜率为的直线与椭圆交于不同两点和,使得向量与共线?如果存在,求出直线方程;如果不存在,请说明理由.
【解析】(1)设椭圆的方程为,
依题意得解得, .所以椭圆的方程为.
(2)假设存在过点且斜率为的直线适合题意,则因为直线的方程为: ,于是联立方程, .
由直线与椭圆交于不同两点和知,
, .
令, , ,
, ,
,
由题知, , .
从而,根据向量与共线,可得, ,这与矛盾.
故不存在符合题意的直线.
7. 【2016年济宁市模拟】已知曲线上的任意点到点的距离比它到直线的距离小1,
(1)求曲线的方程;
(2)点的坐标为,若为曲线上的动点,求的最小值;
(3)设点为轴上异于原点的任意一点,过点作曲线的切线,直线分别与直线及轴交于,以为直径作圆,过点作圆的切线,切点为,试探究:当点在轴上运动(点与原点不重合)时,线段的长度是否发生变化?请证明你的结论.
【解析】(1)设为曲线上的任意一点,依题意,点到点的距离与它到直线的距离相等,所以曲线是以为焦点,直线为准线的抛物线,
所以曲线的方程为.
(2)设,则
,
因为,所以当时,有最小值2
(3)当点在轴上运动(与原点不重合)时,线段的长度不变,证明如下:
依题意,直线的斜率存在且不为0,设,代入得,
由得,
将代入直线的方程得,又,故圆心,
所以圆的半径为
当点在轴上运动(点与原点不重合)时,线段的长度不变,为定值 .
8.【2016湖南省四大名校联考】如图,在平面直角坐标系中, 已知分别是椭圆的左、右焦点分别是椭圆的左、右顶点,为线段的中点, 且.
(1)求椭圆的方程;
(2)若为椭圆上的动点(异于点),连接并延长交椭圆于点,连接、并分别延长交椭圆于点连接,设直线、的斜率存在且分别为、,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
【解析】(1),
化简得,点为线段的中点,, 从而,左焦点,
故椭圆的方程为.
(2)存在满足条件的常数.设,
则直线的方程为,代入椭圆方程整理得,.
,从而,故点.
理,点.因为三点、、共线,所以,从而.
从而,
故,从而存在满足条件的常数.
9.【2017湖南省长沙市模拟】已知椭圆()的离心率为, 分别是它的左、右焦点,且存在直线,使关于的对称点恰好是圆()的一条直线的两个端点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与抛物线()相交于两点,射线, 与椭圆分别相交于点,试探究:是否存在数集,当且仅当时,总存在,使点在以线段为直径的圆内?若存在,求出数集;若不存在,请说明理由.
(2)因为产于的对称点恰好是圆的一条直径的两个端点,
所以直线是线段的垂直平分线(是坐标原点),故方程为,与,联立
得: ,由其判别式得①.
设, ,则, ,
从而, .
因为的坐标为,
所以, ,
注意到与同向, 与同向,所以
点在以线段为直径的圆内,
所以即
代入整理得②
当且仅当即时,总存在,使②成立.
又当时,由韦达定理知方程的两根均为正数,
故使②成立的,从而满足①.
故存在数集,当且仅当时,总存在使点在以线段为直径的圆内.
10.已知椭圆:()的焦距为,且过点.
(1)求椭圆的方程和离心率;
(2)设()为椭圆上一点,过点作轴的垂线,垂足为. 取点,连结,过点作的垂线交轴于点,点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系,并证明你的结论.
【解析】(1)由题设,得,
解得,故椭圆的方程为, 离心率;
∵点在椭圆上,故,即,
∴直线的斜率为,其方程为,
联立方程组 ,代入消元得 ,
利用,化简得, 12分
∴,故方程组有两组相同的实数解,∴直线与椭圆相切.