【推荐】专题4-1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式-2018年高三数学（理）一轮总复习名师伴学 20页

真题回放 ‎1. 【2017课标II，理14】函数（）的最大值是 。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【考点】 三角变换，复合型二次函数的最值。‎ ‎【考点解读】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法。一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析。‎ ‎2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终 边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】‎ ‎【考点】1.同角三角函数；2.诱导公式；3.两角差的余弦公式.‎ ‎【考点解读】本题考查了角的对称的关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含，与关于轴对称，则 ，若与关于 轴对称，则 ，若与关于原点对称，则 .‎ ‎3.【2017江苏，5】 若 则 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】．故答案为．‎ ‎【考点】两角和正切公式 ‎【考点解读】三角函数求值的三种类型 ‎(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.‎ ‎(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.‎ ‎①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；‎ ‎②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.‎ ‎(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角. ‎ ‎4.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎5.【2015高考新课标1，理2】 =( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式= ==，故选D.‎ ‎6.【2015高考上海，文17】已知点 的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎【答案】D 考点分析 ‎1.了解任意角的概念；‎ ‎2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；‎ ‎3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．‎ 知识链接 ‎1．角的概念的推广 ‎(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．‎ ‎(2)分类 ‎(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．‎ ‎2．弧度制的定义和公式 ‎(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.‎ ‎(2)公式 角α的弧度数公式 ‎|α|＝(弧长用l表示)‎ 角度与弧度的换算 ‎①1°＝ rad；②1 rad＝°‎ 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2‎ ‎3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ Ⅱ ‎＋‎ ‎－‎ ‎－‎ Ⅲ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ Ⅳ ‎－‎ ‎＋‎ ‎－‎ 三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线 融会贯通 题型一 象限角与终边相同的角 典例1. 终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。‎ ‎【答案】 典例2. 若角是第二象限角，试确定，的终边所在位置．‎ ‎【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的负半轴上,的终边在第一象限或第三象限.‎ ‎（2），当时，‎ ‎∴ ，‎ ‎∴的终边在第一象限．‎ 当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴的终边在第三象限．‎ 综上所述，的终边在第一象限或第三象限．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.若且，则角θ的终边所在象限是(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 答案：A 解析：　由，得，‎ 故θ终边在第一象限．‎ ‎2.终边在直线y＝x上的角的集合为________．‎ ‎【答案】{α|α＝kπ＋，k∈Z}‎ ‎【解析】终边在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}．‎ ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎1．终边在某直线上角的求法步骤 ‎(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。‎ ‎(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。‎ ‎(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。‎ ‎(4)求并集化简集合。‎ ‎2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在位置。‎ 题型二 三角函数的定义 典例1. 若角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sinθ＝m，则cosθ的值为________.‎ ‎【答案】－ 典例2. 已知角α的终边与单位圆的交点P，则tan α＝(　　)‎ A. B．± C. D．± ‎【答案】B　‎ ‎【解析】由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±，tan α＝±.‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. 已知角α的终边上有一点P(t，t2＋1)(t>0)，则tan α的最小值为(　　)‎ A．1　　　　　 B．2 C. D. ‎【答案】B ‎【解析】根据已知条件得tan α＝＝t＋≥2，当且仅当t＝1时，tan α取得最小值 ‎2.已知角α的终边上一点P的坐标为，则角α的最小正值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎【解题技巧与方法总结】‎ ‎(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值。先求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解。‎ ‎(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值。‎ ‎(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标。‎ 题型三 利用诱导公式化简求值 典例1.若，是第三象限的角，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】B.‎ 典例2. 已知，求 ‎【答案】18‎ ‎【解析】由题有，，‎ 原式 ‎【变式训练】‎ ‎1.若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的诱导公式可知，显然，所以有，可求得，故正确选项为D.‎ ‎2.化简 ‎【答案】当时，原式 当时，原式 ‎【知识链接】‎ 六组诱导公式 ‎　角 函数　‎ ‎2kπ＋α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin_α ‎－sin_α ‎－sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α ‎－cos_α cos_α[来源:]‎ ‎－cos_α sin_α ‎－sin_α 正切 tan_α tan_α ‎－tan_α ‎－tan_α 对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”‎ ‎【方法技巧】‎ ‎(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定．‎ ‎(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．‎ ‎(3)注意求值与化简后的结果要尽可能有理化、整式化．‎ 题型四 扇形的弧长及面积公式 典例1. 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。‎ ‎【解析】(1)设圆心角是θ，半径是r，‎ 则⇒(舍)故扇形圆心角为。‎ 典例2. 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？‎ ‎【解析】设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40。‎ S＝θ·r2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100，‎ 当且仅当r＝10时，Smax＝100，θ＝2。‎ 所以当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大。‎ 典例3．已知一扇形所在圆的半径为扇形的周长是那么这个扇形的圆心角为__________ ．‎ ‎【答案】 ‎【变式训练】‎ ‎1. 已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是 (　　)‎ A. 2　 B. sin2 C. 　 D. 2sin1‎ ‎【答案】C ‎【解析】　∵2Rsin1＝2，∴R＝，l＝|α|R＝，故选C. ‎ ‎2. (1)已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，试求这两个角的大小(用弧度表示). ‎ ‎(2)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；‎ ‎(3)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？‎ ‎【解析】(1)设所求两角分别为α，β(α＞β). 因为1°＝ rad，所以由题意可得解得 所以所求两角的弧度数分别为＋，－. ‎ ‎(2)设圆心角是θ，半径是r，则 解得(舍去)或 所以扇形的圆心角为. ‎ ‎(3)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. ‎ 又S＝θr2＝r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100. ‎ 当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2. ‎ 所以当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大. ‎ ‎【方法总结】‎ ‎(1)弧度制下l＝|α|·r，S＝lr，此时α为弧度．在角度制下，弧长l＝，扇形面积S＝，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．‎ ‎(2)在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形．‎ 知识交汇 ‎【2017届福建福州外国语学校高三理上学期期中】若是纯虚数，则的值为 ．‎ ‎【答案】 考点：复数的基本概念. 同角三角函数之间的关系 ‎【交汇技巧】本题考查复数的基本概念，考查同角三角函数之间的关系，是一个基础题，解题的过程中注意纯虚数的等价条件，根据复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部为，虚部不为，解出关于的正弦的值和余弦不等于的值，根据三角恒等式 从而得到这个角的余弦值，根据同角的三角函数关系 ，得到正切值．‎ 练习检测 ‎1．【2017届辽宁葫芦岛普通高中高三理上学期考试二】的值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：,故选A.‎ 考点：诱导公式.‎ ‎2．【山西省临汾第一中学2017届高三全真模拟数学（理）】已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非法半轴重合，终边经过点，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 3．【四川省南充市2017届第三次诊断考试数学（理）】若角的终边经过点,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ，故选A.‎ ‎4．【山西省孝义市2017届高三下学期高考考前质量检测三（5月模拟）数学（理）】已有角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】由题意知, ,故选A. ‎ ‎5．【河北省石家庄市2017届高三毕业班第二次模拟考试数学（理）】已知角（）终边上一点的坐标为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ 所以 为第三象限的 ，选A.‎ ‎6．【河南省长垣县第十中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（理）】角的终边经过点，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】D ‎ 7．【河北省保定市2017届高三二模】角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y=2x上，则tan2θ=‎（ ）‎ A. 2 B. ‎-4‎ C. ‎-‎‎3‎‎4‎ D. ‎‎-‎‎4‎‎3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得：tanθ=2‎ ，‎ 则：tan2θ=‎2tanθ‎1-tan‎2‎θ=‎4‎‎1-4‎=-‎‎4‎‎3‎ .‎ 本题选择D选项.‎ ‎8．【2017届云南曲靖一中高三文上学期月考四】已知角的终边过点，则下列结论一定正确的是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由同角的正余弦关系可得，故选C. ‎ ‎9．【陕西省黄陵中学2017届高三4月月考数学（理）】如图，在平面直角坐标系中，角 的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】A ‎【解析】‎ ，故选A。‎ ‎10．【安徽省淮北市第一中学2017届高三下学期第二次周考数学（理）】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（ ）‎ A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 ‎【答案】B ‎【解析】如图，由题意可得，‎ 在中，可得，‎ 可得，矢，由，‎ 可得：弦，‎ 所以弧田面积（平方米）.故选B.‎ ‎11．【江西省百校联盟2017届高三2月联考数学（理）试题】已知角α的终边经过点‎(m，‎3‎m)‎，若α=‎‎7π‎3‎，则m的值为（ ）‎ A. 27 B. ‎1‎‎27‎ C. ‎9‎ D. ‎【答案】B ‎ 12．【2017届湖南省衡阳市高三上学期期末考试数学（理）】如下图，圆O与x轴的正半轴的交点为A，点C,B在圆O上，且点C位于第一象限，点B的坐标为‎(‎4‎‎5‎,-‎3‎‎5‎),∠AOC=α,‎若‎|BC|=1‎，则‎3‎cos‎2‎α‎2‎‎-sinα‎2‎cosα‎2‎-‎‎3‎‎2‎的值为（ ）‎ A. B. C. ‎-‎‎4‎‎5‎ D. ‎‎-‎‎3‎‎5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵点B的坐标为‎(‎4‎‎5‎,-‎3‎‎5‎)‎，设‎∠AOB=θ， ∴sin（2π-θ）=-‎‎3‎‎5‎，cos（2π-θ）=‎‎4‎‎5‎， 即sinθ=‎‎3‎‎5‎ ，cosθ=‎‎4‎‎5‎， ∵‎∠AOC=α，若‎|BC|=1‎，∴θ+α=‎π‎3‎， 则α=π‎3‎-θ，则‎3‎cos‎2‎α‎2‎‎-sinα‎2‎cosα‎2‎-‎3‎‎2‎=‎3‎‎2‎cosα-‎1‎‎2‎sinα=cos(α+π‎6‎)=cos(π‎2‎-θ)=sinθ=‎‎3‎‎5‎ 故选B.‎ ‎13．【2017届云南曲靖一中高三理上学期月考四】已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，故选C. ‎ ‎14. 【2017届河南省郑州市第一中学高三上学期第一次质量检测数学（理）】在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为‎(1,‎3‎)‎，则tan(α+π‎4‎)=‎__________．‎ ‎【答案】‎‎-2-‎‎3‎ ‎ 15．【河南省洛阳市2017届高三第二次统一考试（3月）数学（理）】已知角α的始边与x轴非负半轴重台，终边在射线‎4x-3y=0(x≤0)‎上，则cosα-sinα=‎______．‎ ‎【答案】 ‎【解析】P(-3,-4)‎为射线‎4x-3y=0(x≤0)‎上一点,由三角函数定义得 cosα=‎-3‎‎5‎,sinα=-‎4‎‎5‎,cosα-sinα=‎‎1‎‎5‎ ‎ ‎16．【北京市丰台区2017届高三5月综合练习（二模）数学（理）】点从出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点，若点的坐标是,记,则=_______．‎ ‎【答案】