高中数学选修2-3教学课件：2007_6_11事件的相互独立性 12页

判断是否相互独立 求事件的概率 问题提出 定义 本课小结 思考 3 相互独立事件的定义 : 设 A,B 两个事件 , 如果事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 ( 即 ), 则称事件 A 与事件 B 相互独立 . 显然 : (1) 必然事件  及不可能事件与任何事件 A 相互独立 . ① ② ③ (2) 若事件 A 与 B 相互独立 , 则以下三对事件也相互独立 : 例如证 ① 练习 1. 判断下列事件是否为相互独立事件 . ①   篮球比赛的 “ 罚球两次 ” 中， 事件 A ：第一次罚球，球进了 . 事件 B ：第二次罚球，球进了 . ② 袋中有三个红球，两个白球，采取不放回的取球 . 事件 A ：第一次从中任取一个球是白球 . 事件 B ：第二次从中任取一个球是白球 . ③ 袋中有三个红球，两个白球，采取有放回的取球 . 事件 A ：第一次从中任取一个球是白球 . 事件 B ：第二次从中任取一个球是白球 . 练习 2 思考 1. 甲 , 乙两人同时向敌人炮击 , 已知甲击中敌机的概率为 0.6, 乙击中敌机的概率为 0.5, 求敌机被击中的概率 . 解 设 A ={ 甲击中敌机 }, B ={ 乙击中敌机 }, C ={ 敌机被击中 } 依题设 , 由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以 A 与 B 独立 , 进而 = 0.8 练习 2 、 若甲以 10 发 8 中，乙以 10 发 7 中的命中率打靶， 两人各射击一次，则他们都中靶的概率是 ( ) (A) (B) (D) (C) 练习 3. 某产品的制作需三道工序，设这三道工序出现次品的概率分别是 P 1 ,P 2 ,P 3 。假设三道工序互不影响，则制作出来的产品是正品的概率是 。 D (1 － P 1 ) (1 － P 2 ) (1 － P 3 ) 练习 4 . 甲、乙两人独立地解同一问题 , 甲解决这个问题的概率是 P 1 , ，乙解决这个问题的概率是 P 2 ，那么其中至少有 1 人解决这个问题的概率是多少？ P 1 (1 － P 2 ) +(1 － P 1 )P 2 +P 1 P 2 =P 1 + P 2 － P 1 P 2 练习 5: 已知诸葛亮解出问题的概率为 0.8, 臭皮匠老大解出问题的概率为 0.5, 老二为 0.45, 老三为 0.4, 且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？ 略解 : 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为 所以 ，合三个臭皮匠之力把握就大过 诸葛亮 . 互斥事件 相互独立事件 定义 概率公式 (1) 列表比较 不可能同时发生的两个事件 事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响 P ( A + B )= P ( A )+ P ( B ) (2) 解决概率问题的一个关键：分解复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件 . 研究性题 : 在力量不是十分悬殊的情况下我们解释了 “ 三个臭皮匠顶个诸葛亮 ” 的说法 . 那么你能否用概率的知识解释我们常说的 “ 真理往往掌握在少数人手里的 ” ？ 一个元件能正常工作的概率 r 称为该元件的可靠性。 由多个元件组成的系统能正常工作的概率称为系统的可 靠性。今设所用元件的可靠性都为 r (0< r <1) ，且各元件能 否正常工作是互相独立的。试求各系统的可靠性。 P 1 = r 2 P 2 =1 － (1 － r ) 2 P 3 =1 － (1 － r 2 ) 2 P 4 =[1 － (1 － r ) 2 ] 2 附 1 ： 用数学符号语言表示下列关系： 若 A 、 B 、 C 为相互独立事件，则 ① A 、 B 、 C 同时发生； ② A 、 B 、 C 都不发生； ③ A 、 B 、 C 中恰有一个发生； ④ A 、 B 、 C 中至少有一个发生的概率； ⑤ A 、 B 、 C 中至多有一个发生 . 注 : (1) 若事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 中任意两个事件相互独立， 则称事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 两两相互独立 . (2) 设 A 1 ， A 2 ， … ， A n 为 n 个事件 ， 若对于任意 k (1≤ k ≤ n ), 及 1 ≤ i 1 < i 2 < ··· < i k ≤ n 则称事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 相互独立 . ① A·B·C ② A · B · C ③A · B · C ＋ A · B · C ＋ A · B · C ④1 － P( ) A · B · C A · B · C ⑤A · B · C ＋ A · B · C ＋ A · B · C ＋ 则 “ 至少有一个发生” 的概率为 P ( A 1  …  A n ) = 1- (1- p 1 ) …(1- p n ) 附 2. 若设 n 个独立事件 发生的概率 分别为 类似可以得出： 至少有一个不发生” 的概率为 “ =1 - p 1 … p n 练习 5 思考 3. 如图 , 在一段线路中并联着 3 个自动控制的常开开关，只要其中有 1 个开关能够闭合，线路就能正常工作 . 假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是 0.7 ，计算在这段时间内线路正常工作的概率 . 解： 分别记这段时间内开关 J A ,J B ,J C 能够闭合为事件 A ， B ， C. 由题意，这段时间内 3 个开关是否能够闭合相互之间没有影响 , 根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内 3 个开关都不能闭合的概率是 ∴ 这段时间内至少有 1 个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是