高二数学人教A版选修4-5 2-3反证法与放缩法导学案x 3页

‎2.3反证法与放缩法 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．掌握用反证法证明不等式的方法．‎ ‎2．了解放缩法证明不等式的原理，并会用其证明不等式．‎ 二、预习要点 教材整理1　反证法 先假设，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)的结论，以说明不正确，从而证明原命题成立，我们把这种证明问题的方法称为反证法．‎ 教材整理2　放缩法 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值或，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．‎ 三、预习检测 ‎1.如果两个正整数之积为偶数，则这两个数(　　)‎ A．两个都是偶数 B．一个是奇数，一个是偶数 C．至少一个是偶数 D．恰有一个是偶数 ‎2.若|a－c|＜h，|b－c|＜h，则下列不等式一定成立的是(　　)‎ A．|a－b|＜2h B．|a－b|＞2h C．|a－b|＜h D.|a－b|＞h ‎3．A＝1＋＋＋…＋与(n∈N＋)的大小关系是________.‎ 探究案 一、合作探究 题型一、利用反证法证“至多”“至少”型命题 例1已知f(x)＝x2＋px＋q，求证：‎ ‎(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；‎ ‎(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.‎ ‎【精彩点拨】　(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函数f(x)求值推算可得结论．‎ ‎(2)假设结论不成立，推出矛盾，得结论．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．已知实数a，b，c，d满足a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1.求证：a，b，c，d中至多有三个是非负数．‎ 题型二、利用放缩法证明不等式 例2已知an＝2n2，n∈N*，求证：对一切正整数n，有＋＋…＋＜.‎ ‎【精彩点拨】　针对不等式的特点，对其通项进行放缩、列项．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．求证：1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)．‎ 题型三、利用反证法证明不等式 例3已知△ABC的三边长a，b，c的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.‎ ‎【精彩点拨】　本题中的条件是三边间的关系＝＋，而要证明的是∠B与90°的大小关系．结论与条件之间的关系不明显，考虑用反证法证明．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．若a3＋b3＝2，求证：a＋b≤2.‎ 二、随堂检测 ‎1．实数a，b，c不全为0的等价条件为(　　)‎ A．a，b，c均不为0‎ B．a，b，c中至多有一个为0‎ C．a，b，c中至少有一个为0‎ D．a，b，c中至少有一个不为0‎ ‎2．已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的假设为(　　)‎ A．a＜0，b＜0，c＜0 B．a≤0，b＞0，c＞0‎ C．a，b，c不全是正数 D.abc＜0‎ ‎3．要证明＋＜2，下列证明方法中，最为合理的是(　　)‎ A．综合法 B．放缩法 C．分析法 D.反证法 参考答案 预习检测：‎ ‎1.【解析】　假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个数至少有一个为偶数．‎ ‎【答案】　C ‎2.【解析】　|a－b|＝|(a－c)－(b－c)|≤|a－c|＋|b－c|＜2h.‎ ‎【答案】　A ‎3.【解析】　A＝＋＋＋…＋≥＝＝.‎ ‎【答案】　A≥ 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　实数a，b，c不全为0的含义即a，b，c中至少有一个不为0，其否定则是a，b，c全为0，故选D.‎ ‎【答案】　D ‎2.【解析】　a＞0，b＞0，c＞0的反面是a，b，c不全是正数，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎3.【解析】　由分析法的证明过程可知选C.‎ ‎【答案】　C