数学文卷·2018届河南省南阳一中高三第六次考试试题（2018 9页

南阳一中2015级高三第六次考试 文数试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知是实数集，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设（为虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.要从已编号（）的枚最新研制的某型导弹中随机抽取枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的枚导弹的编号可能是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎4.已知等比数列中，，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5.若实数满足，则使得取得最大值的最优解为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎7.若，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.设，函数，则恒成立的是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎9.已知函数，下列结论错误的是（ ）‎ A．函数的最小正周期为 B．函数图象关于点对称 ‎ C. 函数在区间上是减函数 D．函数的图象关于直线对称 ‎10.函数的图象大致为（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎11.设为双曲线的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左、右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则（ ）‎ A． B． C. D．与有关 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量的夹角为，且，则 ．‎ ‎14.函数（且）的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．‎ ‎15.已知单调递增的等差数列，其前项和为，则的取值范围是 ．‎ ‎16.点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点满足，则动点的轨迹的长度为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，内角所对的边分别为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为，求的周长.‎ ‎18. 已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：.‎ ‎19. 如图，四边形为正方形，平面，点分别为的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎20. 设动点到定点的距离比它到轴的距离大，记点的轨迹为曲线.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）若圆心在曲线上的动圆过点，试证明圆与轴比相交，且截轴所得的弦长为定值.‎ ‎21. 已知椭圆，直线经过的右顶点和上顶点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，求的面积的最大值.‎ ‎22. 过点作曲线的切线.‎ ‎（1）求切线的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于不同的两点，求证：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: DDBCC 6-10:BDACB 11、12：BB 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）根据正弦定理得：，‎ ‎，．‎ ‎，，即．， ．‎ ‎（2）， 根据余弦定理得：，‎ ‎，即，，‎ 的周长为：. ‎ ‎18. 解：（1）当时，，∵，∴.‎ ‎∵，∴当时，，两式相减得，‎ ‎∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，， ‎ 两式相减得 ‎19. （Ⅰ）证明：取点是的中点，连接， ，则，且，‎ ‎∵且，∴且，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴，∴平面．‎ ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．‎ 利用等体积法： ，即， ，‎ ‎∵， ，∴，∴．‎ ‎ ‎ ‎20. 解：（Ⅰ）依题意知，动点到定点的距离等于到直线的距离，曲线是以原点为顶点，为焦点的抛物线．∵ ∴ ∴ 曲线方程是 ‎ ‎（Ⅱ）设圆心为，∵圆过， ‎ ‎∴圆的方程为 令得：‎ ‎∵点在抛物线上，∴， ‎ 又∵∴圆与轴必相交 ‎ 设圆M与轴的两交点分别为E ，G ‎ ∵， ‎ ‎∴‎ ‎∴=4．即截得的弦长为定值．‎ ‎21.解：（1）在方程中，令，则，所以上顶点的坐标为，所以；‎ 令，则，所以右顶点的坐标为，所以.‎ 所以，椭圆的方程为.‎ ‎（2）因为直线过点.设直线的方程为，即代入椭圆方程得.由判别式解得.点到直线的距离为，则 ‎，‎ 令，则，所以时，的最大值为.‎ ‎22.解：（1），设切点，则，解得，因此，的方程是.‎ ‎（2）依题意有，所以 设，则，，当时，，当时，；所以在单调递减，在单调递增，因为，不妨设.‎ 设，则，当时，，在单调递增，所以，所以当时，，‎ 因为，所以，从而，因为，在单调递减，所以，即.‎ ‎ ‎