数学（理）卷·2019届四川省树德中学高二10月月考（2017-10）x 5页

高 2016 级高二上期 10 月阶段性测试数学试题（理科）‎ 一：选择题（60 分）‎ ‎‎ ‎7.已知椭圆 C : x ‎2‎ ‎‎ + y2 = 1 , 若一组斜率为 1‎ ‎4‎ ‎‎ 的平行直线被椭圆 C 所截得线段的中点均在直线 l 上, 则 x ‎1. 已知双曲线 ‎‎ ‎2 y2‎ - ‎‎ = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 5 , 则该双曲线的渐近线方程为( )‎ ‎l 的斜率为( )‎ ‎1 1‎ a2 b2 4‎ ‎A. -2‎ ‎B. 2 C.‎ ‎- D.‎ ‎2 2‎ D E x =± ‎ A. y 5‎ ‎3‎ ‎B. y 4‎ x =± ‎ ‎3‎ ‎C. y 3‎ x =± ‎ ‎4‎ p ‎D. y =± 7 x ‎4‎ ‎8.在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，则直线 A1E 与 BC1 所成的角（ ） C A B A．30° B．45° C．60° D．90° D1‎ C1‎ ‎2.两条不同的直线与同一平面所成角的和为 ‎2‎ ‎，则这两条直线位置关系( )‎ ‎‎ A1 B1‎ A. 相交或异面 B. 平行或异面 C. 相交或平行 D. 以上都有可能 ‎3. 已知以方程 f (x, y) = 0 的解为坐标的点都在曲线C 上, 则下列说法正确的是( )‎ ‎‎ B ‎9.如图，已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为 ‎1‎ A. 方程 f (x, y) = 0 的曲线是 C B. 曲线 C 的方程是 f (x, y) = 0‎ C.不在曲线 C 上的点的坐标不是方程 f (x, y) = 0 的解 ‎的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎‎ A1 C1‎ B A C D. 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f (x, y) = 0 的解 ‎4.a ， b 为两个不同的平面， m, n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）‎ ‎①若a ∥ b ， m Ì a ，则 m ∥ b ； ②若 n ⊥a ， n ⊥ b ， m ⊥a ，则 m ⊥ b ．‎ ‎‎ x2 y2‎ ‎10.已知椭圆 C1 : m + 2 - n 范围为( )‎ ‎2‎ ‎‎ x2 y2‎ = 1与双曲线 C2 : + m n ‎2‎ ‎‎ = 1 有相同的焦点, 则椭圆 C1 的离心率 e 的取值 ‎1‎ ‎③若a ⊥ b ，a ∩ b ＝ n ， m ⊥ n ，则 m ⊥ b ； ④若 m ∥a ， n Ì a ，则 m ∥ n ；‎ ‎A. (‎ ‎2‎ ‎,1)‎ ‎B. (0, )‎ ‎2‎ ‎C. (0,1) D.‎ ‎(0, )‎ ‎2‎ A.①②③ B．①② C．①②④ D． ①③‎ p ‎11.已知三棱锥 S - ABC 中，底面 ABC 为边长为 2 的等边三角形，SA 垂直于平面 ABC ，SA=2 ，那么 ‎5.在 菱 形 ABCD 中， A B= 2 , Ð A B C= ，‎ ‎3‎ ‎P ^A平面 A B C D,‎ ‎P=A3 ,那 么 二 面 角 P ‎直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为( )‎ A - BD - P 的正切值是（ ）‎ ‎A . 2 3‎ ‎3‎ ‎B. 2‎ ‎3‎ ‎C. 21‎ ‎7‎ ‎D. 3‎ ‎2‎ A. 1‎ ‎3‎ ‎B.3 C. 3 D. 3‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎A D B C 12.如图, 等腰梯形 ABCD 中,‎ ‎‎ AB // CD 且 AB = 2 AD , 设 ÐDAB = q ,q Î (0, p ) , 以 A, B 为焦点,‎ ‎2‎ x ‎6.已知双曲线 ‎- y2 = 1 的两个焦点为 F , F , P 为双曲线上一点, 且 ‎F PF 的面积为 3 , 则 ‎且过点 D 的双曲线的离心率为 e ; 以 C, D 为焦点, 且过点 A 的椭圆的离心率为 e , 则( )‎ ‎4‎ PF1 × PF2 = ( )‎ A. 2 B. 3 C. -2‎ ‎1 2‎ D. - 3‎ ‎1 2‎ A. 当q 增大时, C. 当q 增大时,‎ ‎‎ e1 增大,‎ e1 增大,‎ ‎1‎ e1 × e2 为定值 B. 当q 增大时,‎ e1 × e2 为增大 D. 当q 增大时,‎ ‎‎ e1 减小,‎ e1 减小,‎ ‎2‎ e1 × e2 为定值 ‎ e1 × e2 为减小 二：填空题（20 分）‎ ‎13.椭圆 x2 + my2 = 1(m > 1) 的离心率为 3 , 则实数 m = ‎ ‎2‎ ‎‎ ‎19.（12 分）已知焦点在坐标轴上的双曲线 C 过点 M (2 3, - 4 3 )‎ ‎3‎ ‎(1)求双曲线 C 的标准方程;‎ ‎‎ ‎,它的渐近线方程为 4x ± 3y = 0 ,‎ ‎14.已知菱形 ABCD 中，AB = 2, ÐA = 120 沿对角线 BD 将 DABD 折起，使二面角 A - BD - C 为120 ，‎ 则点 A 到 DBCD 所在平面的距离等于 .‎ ‎(2)若直线 ‎x - y +1 = 0‎ ‎与 C 交于 A,B 两点,求| AB |‎ A A B D B D ‎20．（12 分）如图, DP ^ x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且 | DM | = 3 ,当点 P 在圆 x2 + y2 = 4‎ ‎| DP | 2‎ ‎‎ 上运动时,‎ 点 M 形成的轨迹为 C.‎ C C (1) 求轨迹 C 的方程;‎ ‎15.若一个四面体的四个面中，有两个面都是直角边为 1 的等腰直角三角形，另两个面都是直角边分别为 ‎1 和 2 的直角三角形，则该四面体外接球的体积为 ‎ ‎16.设 e1 , e2 分别是具有公共焦点 F1 , F2 的椭圆和双曲线的离心率, P 是两曲线的一个公共点, O 是 F1F2‎ ‎‎ ‎(2) 直线 l : 5x - 2 y + 4 5 = 0‎ HAB 面积的最大值.‎ ‎‎ 与坐标轴交于 A,B 两点，H 为曲线 C 上的动点，求 的中点且| PO |=| OF2 | , 则 三：解答题（70 分）‎ ‎e1e2 ‎ ‎1 2‎ e2 + e2‎ ‎‎ = .‎ ‎‎ ‎21.（12 分）如图，DABC 中，O 是 BC 的中点，AB = AC ，AO = 2OC = 2 ．将 DBAO 沿 AO 折起， 使 B 点与图中 B¢ 点重合．‎ ‎17.（10 分）AB 是⊙O 的直径,点 C 是⊙O 上的动点,过动点 C 的直线 VC 垂直于⊙O 所在的平面,D,E 分 别是 VA,VC 的中点.‎ ‎(1) 试判断直线 DE 与平面 VBC 是否垂直,并说明理由;‎ ‎（1）求证： AO ^ 平面 B¢OC ；‎ ‎（2）当三棱锥 B¢ - AOC 的体积取最大时，求二面角 A - B¢C - O 的余弦值；‎ ‎（3）在（2）条件下，试问在线段 B¢A 上是否存在一点 P，使 CR 与平面 B¢OA ‎(2) 若VA = VB = ‎2VC , 求异面直线 VB 与 OC 所成角的余弦值.‎ ‎‎ 所成角的正弦值为 2‎ ‎3‎ ‎‎ ‎？证明你的结论．‎ ‎18．（12 分）如图，边长为 2 的正方形 ABCD 中，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 BC 的中点，将△AED，△DCF 分别沿 DE，DF 折起，使 A，C 两点重合于点 A′．‎ ‎‎ ‎22．（12 分）在同一平面内，设点 A1 , A2‎ ‎‎ 的坐标分别为 (-4, 0), (4, 0)‎ ‎‎ ‎,动点 P 到点 A1 , A2‎ ‎‎ 的斜率之积是 ‎(1)求证：面 A′DF⊥面 A′EF; (2)求三棱锥 A′-EFD 内切球的半径．‎ ‎- 1 ，记动点 P 的轨迹为曲线 C ‎4‎ ‎(1) 若点 F 的坐标为 (2 3, 0) ,求|PF| 的取值范围；‎ ‎(2) 若曲线 C 的下顶点为 E，过坐标原点O 且不与坐标轴重合的直线交圆 x2 + y2 = 4‎ ‎于 A，B 两点，直 线 EA 和直线 EB 分别交椭圆于另外的 M 和 N，设直线 AB 和 MN 的斜率分别为 k1 , k2‎ ‎,求证：存在定值 l ，‎ 使 k1 =lk2 恒成立.‎ 高 2016 级高二上期 10 月阶段性测试数学理科答案 ‎‎ ì16x ‎（2） í ‎‎ ‎2 - 9 y2‎ ‎‎ -144 = 0‎ ‎‎ Þ 7 x2 -18x -153 = 0‎ ‎1-12CDCBBA,ADDACB ‎3‎ ‎‎ ‎3p 2‎ ‎î y = x +1‎ ‎‎ D = 182 + 4 ´ 7 ´153‎ ‎13.m = 4‎ ‎14 2‎ ‎15.‎ ‎2‎ ‎16.‎ ‎2‎ ‎‎ = 4 ´ 9 ´ 9 + 4 ´ 9 ´ 7 ´17‎ = 4 ´（9 9 + 119）‎ = 36 ´128 = 36 ´ 64 ´ 2‎ ‎17.（1）由题，知 AC⊥BC 又 VC⊥面 ABC，AC Ì 面 ABC ‎∴VC⊥AC ‎‎ AB = ‎‎ ‎2 × 6 ´ 8 ´ 2 = 96‎ ‎7 7‎ ‎3‎ AC VC = C ü ý 又VC Ì 面VBC ï Þ AC ^ 面VBC BC Ì 面VBC ï ‎‎ ‎（书写不规范扣 1-2 分）‎ ‎20.（1）设 M (x, y),‎ ‎0 0‎ 又 x2 + y2 = 4‎ ‎P(x0 , y0 )‎ ‎则 y = ‎2 y0‎ ‎x = x0‎ þ 2 2 2‎ x2 + æ 2 y ö ‎= 4 Þ y + x ‎‎ = 1 ( y ¹ 0)‎ 又 DE//AC ∴DE⊥VBC ‎ç 3 ÷ 9 4‎ ‎（2）当 VB=VA=VC 时， ∴CB=CA= 2 AB, CD= 1 VA ‎è ø ‎（2）由题知 A(-4, 0)‎ ‎‎ B(0, 2 5)‎ ‎‎ AB = ‎‎ ‎16 + 20 = 6‎ ‎2 2‎ ‎∠COD 即为所求， cos ÐCOD = 1‎ ‎‎ ìï 设l¢ : í ‎‎ ‎5x - 2 y + m = 0‎ ‎2‎ A¢D ^ A¢E ü ‎ïî9x2 + 4 y2 - 36 = 0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎18.（1）‎ ‎ý Þ A¢D ^ 面AEF 面所以面A¢DF ^ 面A¢EF A¢D ^ A¢F þ ‎ (-m - ‎5x ) ‎+ 9x ‎- 36 = 0‎ ‎19. （2）三锥 A¢ - EFD 内切球的半径 ‎14x2 + 2 5mx + m2 - 36 = 0‎ D = 20m2 - 4 ´14 (m2 - 36) = 0‎ ‎‎ 即m = ±2 14‎ S = S ‎‎ = 1 S ‎= 1 S ‎= 1 ´ ‎2 ´ 3 2 = 3‎ DA¢DF ‎DA¢ED ‎DA¢EF 2‎ ‎DD¢EF ‎2 2 2‎ ‎当 m = -2 14时 ‎l¢与l 距离最大 1 × g × ‎3‎ ‎‎ ( SDA¢DF + SDA¢ED + SDA¢EF + SDD¢EF ) ‎‎ = 1 g = 1‎ ‎3 4‎ ‎‎ d = 1 - 2 14 - 4 5 = 4 5 + 2 14‎ ‎18.（1）16x2 - 9 y2 = l ‎max ‎5 + 4 3‎ ‎1 4 5 + 2 14‎ max ‎16 ´ ‎‎ ‎2 æ 4‎ ‎2 3 - 9 ´ - ‎2‎ ‎3 ö = l ‎‎ Þ l = 16 ´12 -16 ´ 3 = 16 ´ 9‎ ‎SDHAB ‎= ´ 6 ´ = 4 5 + 2 14‎ ‎2 3‎ 又 ( ) ç ÷ è 3 ø ‎21.【解析】（1）‎ ‎AB = AC 且 O 是 BC 中点， AO ^ BC 即 AO ^ OB¢ ， AO ^ OC ，‎ x2 y2‎ ‎‎ 又 OB¢ ‎‎ OC = O ， AO ^ 平面 B¢OC ．‎ - = 1‎ ‎9 16‎ ‎‎ ‎（2）在平面 B¢OC 内，作 B¢D ^ OC 于点 D ，则由（1）可知 B¢D ^ OA 又 OC ‎‎ OA = O ， B¢D ^ 平面 OAC ，即 B¢D 是三棱锥 B¢ - AOC 的高，‎ 又 B¢D £ B¢O ，所以当 D 与 O 重合时，三棱锥 B¢ - AOC 的体积最大，‎ ‎‎ 又由 k × k = k ‎‎ × k Þ -1 = ‎‎ y3 + 2 × ‎‎ y4 + 2‎ 过 O 点作 OH ^ B¢C 于点 H ，连 AH ，由（1）知 AO ^ 平面 B¢OC ，‎ ‎AE BE ME NE ‎x3 x4‎ 又 B¢C Ì 平面 B¢OC ， B¢C ^ AO ， AO OH = O ， B¢C ^ 平面 AOH ， B¢C ^ AH ‎‎ 即 y y ‎‎ + 2( y ‎‎ + y ) + 4 + x x = 0‎ ‎3 4 3 4 3 4‎ ÐAHO 即为二面角 A - B¢C - O 的平面角． RtDAOH 中， AO = 2 ， OH = ‎2 ， AH = 3 2 ，‎ ‎Û (k 2 + 1) x x ‎+ k (t + 2)(x ‎+ x ) + (t + 2)2 = 0‎ ‎2 3 4 2 3 4‎ ‎2 2 2‎ Û k 2 + 1 × 4t ‎-16 + k (t + 2) × ‎-8k2t + (t + 2)2 = 0‎ cos ÐAHO = OH = 1 ，故二面角 A - B¢C - O 的余弦值为 1 ．‎ ‎( 2 ) ‎‎ ‎1 + 4k 2 2‎ ‎‎ ‎1 + 4k 2‎ ‎2 2‎ AH 3 3‎ ‎（3）存在，且为线段 AB¢ 的中点。‎ ‎即5t 2 + 4t -12 = 0‎ ‎22.(1) P( x, y) k ‎‎ PA1‎ ‎‎ = y ,‎ x + 4‎ ‎‎ kPA2‎ ‎‎ = y x - 4‎ ‎‎ 又kPA1‎ ‎‎ × kPA2‎ ‎‎ = - 1‎ ‎4‎ ‎‎ = -（2‎ ‎‎ 舍）或 t = 6‎ ‎5‎ ‎2 2 2‎ ‎-3t - 4 4 + 2t 5‎ y = - 1‎ ‎即 x2 -16 + 4 y2 = 0 即 x + y ‎‎ = 1 ( y ¹ 0)‎ ‎‎ PF Î (4 - 2 3, 4 + 2 3)‎ ‎又 l = ‎‎ t 2 - 4‎ ‎l = = ‎4 - t 2 2‎ x2 -16 4 16 4‎ ‎（2）设 AB :‎ ‎y = k1x,‎ ‎MN : y = k2 x + t ì y = k1 x ‎‎ ( 2 ) 2‎ í Þ îx2 + y2 = 4‎ ‎k1 + 1 x = 4‎ ‎4‎ 设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )‎ ‎则 x1 + x2 = 0,‎ ‎x1 × x2 = - 2‎ k +1‎ ì y = k2 x + t 由 ‎‎ ( 2 ) 2 2‎ í Þ îx2 + 4 y2 -16 = 0‎ ‎1 + 4k2‎ ‎x + 8k2tx + 4t ‎-16 = 0‎ 设 M (x3 , y3 )‎ ‎N (x4 , y4 )‎ x + x ‎= -8k2t ,‎ ‎‎ x × x ‎4t 2 -16‎ = ‎3 4 1 + 4k 2‎ ‎3 4 1 + 4k 2‎ ‎2 2‎ 由 kAE = kME ,‎ ‎kBE = kNE k + k = k + k ‎即 y1 + 2 + y2 + 2 = y3 + 2 + y4 + 2‎ AE BE ME NE 又 y1 + 2 + y2 + 2 = 2k ‎x1 x2‎ ‎（化简）‎ ‎x3 x4‎ x1 x2‎ y3 + 2 + y4 + 2 = 2k x3 x4‎ ‎- 8k2t(t + 2) = 2k ‎4t 2 -16 2‎ ‎- 2k2t(t + 2)‎ t 2 - 4‎