高中数学选修2-2课时练习第三章 1_2 13页

‎1．2　函数的极值 ‎[学习目标]‎ ‎1．了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．‎ ‎2．掌握函数极值的判定及求法．‎ ‎3．掌握函数在某一点取得极值的条件．‎ ‎[知识链接]‎ 在必修1中，我们研究了函数在定义域内的最大值与最小值问题．但函数在定义域内某一点附近，也存在着哪一点的函数值大，哪一点的函数值小的问题，如何利用导数的知识来判断函数在某点附近函数值的大小问题，如图观察，函数y＝f(x)在d、e、f、g、h、i等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规律？‎ 答　以d、e两点为例，函数y＝f(x)在点x＝d处的函数 值f(d)比它在点x＝d附近其他点的函数值都小，f′(d)＝0；在x＝d的附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝e处的函数值f(e)比它在x＝e附近其他点的函数值都大，f′(e)＝0；在x＝e附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0.‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．函数的极值 ‎(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．‎ ‎(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都不 小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．‎ ‎(3)极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．‎ ‎2．函数的单调性与极值 已知函数的图像在(a，b)上是一条连续不断的曲线，‎ ‎(1)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是递增的，在区间(x0，b)上是递减的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值．‎ ‎(2)如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是递减的，在区间(x0，b)上是递增的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 要点一　求函数的极值 例1　求函数f(x)＝x3－4x＋4的极值．‎ 解　f′(x)＝x2－4.解方程x2－4＝0，得x1＝－2，x2＝2.由f′(x)＞0得x＜－2或x＞2；‎ 由f′(x)＜0得－2＜x＜2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，－2)‎ ‎－2‎ ‎(－2,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   ‎－  由表可知：当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝.‎ 当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－.‎ 规律方法　求可导函数f(x)的极值的步骤 ‎(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；‎ ‎(2)求方程f′(x)＝0的根；‎ ‎(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格．检测f′(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)‎ 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值．‎ 跟踪演练1　求函数f(x)＝＋3ln x的极值．‎ 解　函数f(x)＝＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，‎ f′(x)＝－＋＝.令f′(x)＝0，得x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  ‎3‎  因此当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝3.‎ 要点二　已知函数极值求参数的值 例2　已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.‎ ‎(1)求常数a，b，c的值；‎ ‎(2)判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极值．‎ 解　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.‎ ‎∵x＝±1是函数f(x)的极值点，‎ ‎∴x＝±1是方程f′(x)＝0的两根，‎ 即3ax2＋2bx＋c＝0的两根，‎ 由根与系数的关系，得 又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③‎ 由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.‎ ‎(2)如(1)知f(x)＝x3－x，‎ ‎∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，‎ 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0，‎ 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，‎ ‎∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，‎ 在(－1,1)上是减函数，‎ ‎∴当x＝－1时，函数取得极大值f(－1)＝1，‎ 当x＝1时，函数取得极小值f(1)＝－1.‎ 规律方法　(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解．‎ ‎(2)因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性．‎ 跟踪演练2　已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．‎ 解　因为f(x)在x＝－1时有极值0，‎ 且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，‎ 所以 即 解之得或 当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，‎ 所以f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．‎ 当a＝2，b＝9时，f′(x)＝3x2＋12x＋9‎ ‎＝3(x＋1)(x＋3)．‎ 当x∈(－3，－1)时，f(x)为减函数；‎ 当x∈(－1，＋∞)时，f(x)为增函数，‎ 所以f(x)在x＝－1时取得极小值，因此a＝2，b＝9.‎ 要点三　函数极值的综合应用 例3　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．‎ 解　(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，‎ 解得x1＝－，x2＝.‎ 因为当x＞或x＜－时，f′(x)＞0；‎ 当－＜x＜时，f′(x)＜0.‎ 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)；‎ 单调递减区间为(－，)．‎ 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4；‎ 当x＝时，f(x)有极小值5－4.‎ ‎(2)由(1)的分析知y＝f(x)的图像的大致形状及走向如图所示．‎ 所以，当5－4＜a＜5＋4时，‎ 直线y＝a与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，‎ 即方程f(x)＝a有三个不同的实根．所以a的取值范围是(5－4，5＋4)．‎ 规律方法 用求导的方法确定方程根的个数，是一种很有效的方法．它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图像与x轴的交点个数，从而判断方程根的个数．‎ 跟踪演练3　若函数f(x)＝2x3－6x＋k在R上只有一个零点，求常数k的取值范围．‎ 解　f(x)＝2x3－6x＋k，则f′(x)＝6x2－6，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1，‎ 可知f(x)在(－1,1)上是减函数，‎ f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数．‎ f(x)的极大值为f(－1)＝4＋k，‎ f(x)的极小值为f(1)＝－4＋k.‎ 要使函数f(x)只有一个零点，‎ 只需4＋k＜0或－4＋k＞0(如图所示)‎ 或 即k＜－4或k＞4.‎ ‎∴k的取值范围是(－∞，－4)∪(4，＋∞)．‎ ‎1．下列关于函数的极值的说法正确的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．导数值为0的点一定是函数的极值点 B．函数的极小值一定小于它的极大值 C．函数在定义域内有一个极大值和一个极小值 D．若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数 答案　D 解析　由极值的概念可知只有D正确．‎ ‎2.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图所示，则函数f(x)(　　)‎ A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点，两个极小值点 C．有两个极大值点，两个极小值点 D．有四个极大值点，无极小值点 答案　C 解析　在x＝x0的两侧f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图像易知有两个极大值点，两个极小值点．‎ ‎3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为(　　)‎ A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6‎ C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞6‎ 答案　D 解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，‎ 因为f(x)既有极大值又有极小值，‎ 那么Δ＝(‎2a)2－4×3×(a＋6)＞0，‎ 解得a＞6或a＜－3.‎ ‎4．设函数f(x)＝6x3＋3(a＋2)x2＋2ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x2＝1，则实数a的值为________．‎ 答案　9‎ 解析　f′(x)＝18x2＋6(a＋2)x＋‎2a.由已知f′(x1)＝f′(x2)＝0，从而x1x2＝＝1，所以a＝9.‎ ‎1．在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值．‎ ‎2．函数的极值是函数的局部性质．可导函数f(x)在点x＝x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0且在x＝x0两侧f′(x)符号相反．‎ ‎3．利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图像的交点问题．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础达标 ‎1.函数y＝f(x)的定义域为(a，b)，y＝f′(x)的图像如图，则函数y＝f(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有(　　)‎ A．1个 B．2个 ‎ C．3个 D．4个 答案　A 解析　当满足f′(x)＝0的点，左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点．‎ ‎2．“函数y＝f(x)在一点的导数值为‎0”‎是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，‎ 不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．故选B.‎ ‎3．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)‎ A．2 B．‎3 C．6 D．9‎ 答案　D 解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，‎ ‎∵f(x)在x＝1处有极值，‎ ‎∴f′(1)＝12－‎2a－2b＝0，∴a＋b＝6.‎ 又a＞0，b＞0，∴a＋b≥2，∴2≤6，‎ ‎∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，‎ ‎∴ab的最大值为9.‎ ‎4．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(　　)‎ A．极大值5，极小值－27‎ B．极大值5，极小值－11‎ C．极大值5，无极小值 D．极小值－27，无极大值 答案　C 解析　由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0，当－1＜x＜3时，y′<0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．‎ ‎5．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)‎ 解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝‎4a2－‎4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.‎ ‎6．若函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是________．‎ 答案　(1,4)‎ 解析　y′＝3x2－‎3a，当a≤0时，y′≥0，‎ 函数y＝x3－3ax＋a为单调函数，不合题意，舍去；当a＞0时，y′＝3x2－‎3a＝0⇒x＝±，不难分析，当1＜＜2，即1＜a＜4时，函数y＝x3－3ax＋a在(1,2)内有极小值．‎ ‎7．求函数f(x)＝x2e－x的极值．‎ 解　函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·′‎ ‎＝2xe－x－x2e－x＝x(2－x)e－x，‎ 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(－∞，0)‎ ‎0‎ ‎(0,2)‎ ‎2‎ ‎(2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ f(x)‎ ‎0‎  ‎4e－2‎  由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且为f(0)＝0；‎ 当x＝2时，函数有极大值，且为f(2)＝4e－2.‎ 二、能力提升 ‎8．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图像与x轴相切于(1,0)点，则f(x)的极值为(　　)‎ A．极大值为，极小值为0‎ B．极大值为0，极小值为－ C．极小值为－，极大值为0‎ D．极小值为0，极大值为 答案　A 解析　由题设条件，知 ‎∴解得 ‎∴f(x)＝x3－2x2＋x，进而可求得f(1)是极小值，f是极大值，故应选A.‎ ‎9．(2013·福建)设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是(　　)‎ A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)‎ B．－x0是f(－x)的极小值点 C．－x0是－f(x)的极小值点 D．－x0是－f(－x)的极小值点 答案　D 解析　x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，并不是最大值点．故A错；f(－x)相当于f(x)关于y轴的对称图像的函数，故－x0应是f(－x)的极大值点，B错；－f(x)相当于f(x)关于x轴的对称图像的函数，故x0应是－f(x)的极小值点．跟－x0没有关系，C错；－f(－x)相当于f(x)关于坐标原点的对称图像的函数．故D正确．‎ ‎10.如果函数y＝f(x)的导函数的图像如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数y＝f(x)在区间内单调递增；‎ ‎②函数y＝f(x)在区间内单调递减；‎ ‎③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；‎ ‎④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；‎ ‎⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．‎ 则上述判断正确的是________(填序号)．‎ 答案　③‎ 解析　函数的单调性由导数的符号确定，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，－2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(－2,2)上是增函数，在(4，＋∞)上为增函数，所以可排除①和②，可选择③.由于函数在x＝2的左侧递增，右侧递减，所以当x＝2时，函数有极大值；而在x＝－的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x＝－的左右两侧均为增函数，所以x＝－不是函数的极值点．排除④和⑤.‎ ‎11．已知f(x)＝x3＋mx2－‎2m2‎x－4(m为常数，且m＞0)有极大值－，求m的值．‎ 解　∵f′(x)＝3x2＋mx－‎2m2‎＝(x＋m)(3x－‎2m)，‎ 令f′(x)＝0，则x＝－m或x＝m.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ X ‎(－∞，－m)‎ ‎－m m f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值 极小值  ‎∴f(x)极大值＝f(－m)＝－m3＋m3＋‎2m3‎－4＝－，∴m＝1.‎ ‎12．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.‎ ‎(1)求f(x)的极值；‎ ‎(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？‎ 解　(1)f′(x)＝3x2－2x－1.‎ 令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ X ‎－ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极大值  极小值  所以f(x)的极大值是f＝＋a，极小值是 f(1)＝a－1.‎ ‎(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a ‎＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，‎ 由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，‎ x取足够小的负数时，有f(x)＜0，‎ 所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．‎ 由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，‎ f(x)极小值＝f(1)＝a－1.‎ ‎∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，‎ ‎∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，‎ 即＋a＜0或a－1＞0，‎ ‎∴a＜－或a＞1，‎ ‎∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．‎ 三、探究与创新 ‎13．(2013·新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．‎ ‎(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当m≤2时，证明f(x)＞0.‎ ‎(1)解　f′(x)＝ex－.‎ 由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.‎ 于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，‎ f′(x)＝ex－.‎ 函数f′(x)＝ex－在(－1，＋∞)单调递增，‎ 且f′(0)＝0，因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.‎ 所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．‎ ‎(2)证明　当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，‎ ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，‎ f(x)＞0.‎ 当m＝2时，函数f′(x)＝ex－在(－2，＋∞)单调递增．‎ 又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，‎ 故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，‎ 且x0∈(－1,0)．‎ 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；‎ 当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，‎ f(x)取得最小值．‎ 由f′(x0)＝0得 ex0＝，ln(x0＋2)＝－x0，‎ 故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.‎ 综上，当m≤2时，f(x)＞0.‎