高二数学人教A版选修4-5 3-1二维形式的柯西不等式导学案x 4页

‎3.1二维形式的柯西不等式 预习案 一、预习目标及范围 ‎1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．‎ ‎2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．‎ 二、预习要点 教材整理　二维形式的柯西不等式 内容 等号成立的条件 代数形式 若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥‎ 当且仅当 时，等号成立 向量形式 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|‎ 当且仅当 ，或，等号成立 三角形式 设x1，y1，x2，y2∈R，那么＋≥‎ 当且仅当时，等号成立 三、预习检测 ‎1.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎2．已知x，y＞0，的最小值为4，则xy＝________.‎ ‎3．已知x，y，a，b∈R＋，且＋＝1，求x＋y的最小值．‎ 探究案 一、合作探究 题型一、二维柯西不等式的向量形式及应 例1已知p，q均为正数，且p3＋q3＝2.求证：p＋q≤2.‎ ‎【精彩点拨】　为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量．‎ ‎[再练一题]‎ ‎1．若本例的条件中，把“p3＋q3＝2”改为“p2＋q2＝2”，试判断结论是否仍然成立？‎ 题型二、运用柯西不等式求最值 例2　若2x＋3y＝1，求4x2＋9y2的最小值．‎ ‎【精彩点拨】　由2x＋3y＝1以及4x2＋9y2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．‎ ‎[再练一题]‎ ‎2．若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点.‎ 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x＋4y|＝5，求证：x2＋y2≥1.‎ ‎【精彩点拨】　探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明．‎ ‎[再练一题]‎ ‎3．设a，b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.‎ 二、随堂检测 ‎1．设x，y∈R，且2x＋3y＝13，则x2＋y2的最小值为(　　)‎ A. B．169 C．13 D.0‎ ‎2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是(　　)‎ A．2 B. C．6 D.12‎ ‎3．平面向量a，b中，若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝________.‎ 参考答案 预习检测：‎ ‎1.【解析】　2x2＋3y2＝(2x2＋3y2)·≥‎ ＝(x＋y)2＝.‎ ‎【答案】　B ‎2.【解析】　∵≥ ‎＝，‎ ‎∴＝4.‎ 又＞0，‎ ‎∴＝1，∴xy＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎3.【解】　构造两组实数，；，.‎ ‎∵x，y，a，b∈R＋，＋＝1，‎ ‎∴x＋y＝[()2＋()2][＋]≥(＋)2，‎ 当且仅当∶＝∶，即＝时取等号，∴(x＋y)min＝(＋)2.‎ 随堂检测：‎ ‎1.【解析】　(2x＋3y)2≤(22＋32)(x2＋y2)，‎ ‎∴x2＋y2≥13.‎ ‎【答案】　C ‎2.【解析】　(＋)2‎ ‎＝(1×＋1×)2‎ ‎≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]‎ ‎＝2×(4×1＋2)＝12，‎ 当且仅当＝，‎ 即a＝b＝时等号成立．故选D.‎ ‎【答案】　D ‎3.【解析】　|a|＝＝5，且 |b|＝1，‎ ‎∴a·b＝|a|·|b|，‎ 因此，b与a共线，且方向相同，‎ ‎∴b＝.‎ ‎【答案】