2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练14+导数与函数的单调性 7页

课时分层训练(十四)　导数与函数的单调性 ‎ (对应学生用书第192页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为(　　)‎ A．(－1,1) B．(0,1)‎ C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)‎ B　[y＝x2－ln x，y′＝x－＝ ‎＝(x＞0)．‎ 令y′＜0，得0＜x＜1，∴单调递减区间为(0,1)．]‎ ‎2．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图像如图2113所示，则下列叙述正确的是(　　)‎ 图2113‎ A．f(b)＞f(c)＞f(d)‎ B．f(b)＞f(a)＞f(e)‎ C．f(c)＞f(b)＞f(a)‎ D．f(c)＞f(e)＞f(d)‎ C　[依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)＞0，因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增加的，由a＜b＜c，所以f(c)＞f(b)＞f(a)．因此C正确．]‎ ‎3．若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，2) B．(－∞，2]‎ C. D. D　[∵f′(x)＝6x2－6mx＋6，‎ 当x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0恒成立，‎ 即x2－mx＋1≥0恒成立，∴m≤x＋恒成立．‎ 令g(x)＝x＋，g′(x)＝1－，‎ ‎∴当x＞2时，g′(x)＞0，即g(x)在(2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴m≤2＋＝，故选D.]‎ ‎4．(2017·山东高考)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质．下列函数中具有M性质的是(　　)‎ A．f(x)＝2－x B．f(x)＝x2‎ C．f(x)＝3－x D．f(x)＝cos x A　[若f(x)具有性质M，则[exf(x)]′＝ex[f(x)＋f′(x)]>0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)>0在f(x)的定义域上恒成立．‎ 对于选项A，f(x)＋f′(x)＝2－x－2－xln 2＝2－x(1－ln 2)>0，符合题意．‎ 经验证，选项B，C，D均不符合题意．‎ 故选A．]‎ ‎5．(2016·湖北枣阳第一中学3月模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　) 【导学号：00090066】‎ A．(－1,1) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)‎ B　[由f(x)＞2x＋4，得f(x)－2x－4＞0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2，因为f′(x)＞2，所以F′(x)＞0在R上恒成立，所以F(x)在R上是增加的，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4＞0等价于F(x)＞F(－1)，所以x＞－1，故选B.]‎ 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝的单调递增区间是________．‎ ‎(0，e)　[由f′(x)＝′＝＞0(x＞0)，‎ 可得解得x∈(0，e)．]‎ ‎7．若函数y＝ax＋sin x在R上是增加的，则a的最小值为________．‎ ‎1　[函数y＝ax＋sin x在R上单调递增等价于y′＝a＋cos x≥0在R上恒成立，即a≥－cos x在R上恒成立，因为－1≤－cos x≤1，所以a≥1，即a的最小值为1.]‎ ‎8．(2017·江苏高考)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是________．‎ 　[因为f(－x)＝(－x)3－2(－x)＋e－x－ ‎＝－x3＋2x－ex＋＝－f(x)，‎ 所以f(x)＝x3－2x＋ex－是奇函数．‎ 因为f(a－1)＋f(2a2)≤0，‎ 所以f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(1－a)．‎ 因为f′(x)＝3x2－2＋ex＋e－x≥3x2－2＋2＝3x2≥0，‎ 所以f(x)在R上是增加的，‎ 所以2a2≤1－a，即2a2＋a－1≤0，‎ 所以－1≤a≤.]‎ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．‎ ‎(1)求k的值；‎ ‎(2)求f(x)的单调区间. 【导学号：00090067】‎ ‎[解]　(1)由题意得f′(x)＝，‎ 又f′(1)＝＝0，故k＝1. 5分 ‎(2)由(1)知，f′(x)＝.‎ 设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，‎ 则h′(x)＝－－＜0，‎ 即h(x)在(0，＋∞)上是减少的. 8分 由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，从而f′(x)＞0；‎ 当x＞1时，h(x)＜0，从而f′(x)＜0.‎ 综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，‎ 单调递减区间是(1，＋∞). 12分 ‎10．(2015·重庆高考)已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．‎ ‎(1)确定a的值；‎ ‎(2)若g(x)＝f(x)ex，讨论g(x)的单调性．‎ ‎[解]　(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x， 2分 因为f(x)在x＝－处取得极值，‎ 所以f′＝0，‎ 即3a·＋2·＝－＝0，‎ 解得a＝. 5分 ‎(2)由(1)得g(x)＝ex，‎ 故g′(x)＝ex＋ex ‎＝ex ‎＝x(x＋1)(x＋4)ex. 8分 令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.‎ 当x<－4时，g′(x)<0，故g(x)为减函数；‎ 当－40，故g(x)为增函数；‎ 当－10时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．‎ 综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数. 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2018·江淮十校联考)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．1＜a≤2 B．a≥4‎ C．a≤2 D．0＜a≤3‎ A　[易知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－，由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.因为函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上是减少的，所以解得1＜a≤2，选A]‎ ‎2．(2017·石家庄质检(二))设f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－2)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)＞0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．‎ ‎ 【导学号：00090068】‎ ‎(－2,0)∪(2，＋∞)　[令g(x)＝，则g′(x)＝＞0，x∈(0，＋∞)，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又g(－x)＝＝＝＝g(x)，则g(x)是偶函数，g(－2)＝0＝g(2)，则f(x)＝xg(x)＞0⇔或解得x＞2或－2＜x＜0，故不等式f(x)＞0的解集为(－2,0)∪(2，＋∞)．]‎ ‎3．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋b.‎ ‎(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；‎ ‎(2)若φ(x)＝－f(x)在[1，＋∞)上是减少的，求实数m的取值范围．‎ ‎[解]　(1)由已知得f′(x)＝，∴f′(1)＝1＝a，a＝2.‎ 又∵g(1)＝0＝a＋b，∴b＝－1，∴g(x)＝x－1. 5分 ‎(2)∵φ(x)＝－f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减少的，‎ ‎∴φ′(x)＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，‎ 则2m－2≤x＋，x∈[1，＋∞). 9分 ‎∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，m≤2.‎ 故实数m的取值范围是(－∞，2]. 12分