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- 2021-06-17 发布
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3. 3 直线的交点坐标与距离公式
一、选择题
1、两条直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值是( )
A.-24 B.6
C.±6 D.不同于A、B、C的答案
解析:两直线的交点在y轴上,可设交点的坐标为(0,y0),
则有
由①可得y0=,将其代入②得+12=0.
∴k2=36,即k=±6.
2、点P(m-n,-m)到直线的距离等于( )
A. B. C. D.
解析:将化为一般式nx+my-mn=0.
由公式.
3、在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:以A,B为圆心,分别以1和2为半径,作圆再作两圆的公切线,即为所求,公切线有两条.
4、下列直线中,与直线x+3y-4=0相交的直线为…( )
A.x+3y=0 B.y=x-12
C.=1 D.y=x+4
思路解析:容易求出A、B、D选项中的三条直线的斜率和题干中直线的斜率都是,从而它们不会与x+3y-4=0相交.
5、点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是( )
A. B. C. D.
参考答案与解析:解析:.
6、过点P(1,2)引直线,使A(2,3)、B(4,-5)到它的距离相等,则这条直线的方程是( )
A.4x+y-6=0 B.x+4y-6=0
C.2x+3y-7=0或x+4y-6=0 D.3x+2y-7=0或4x+y-6=0
参考答案与解析:解析:解法一 ∵kAB=-4,线段AB中点C(3,-1),
∴过P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y-2=-4(x-1),
即4x+y-6=0.此直线符合题意.
过P(1,2)与线段AB中点C(3,-1)的直线方程为y-2= (x-1),即3x+2y-7=0.此直线也是所求.
故所求直线方程为4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
∴即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
解法二 显然这条直线斜率存在
设直线方程为y=kx+b,据条件有
化简得或
∴k=-4,b=6或k=,b=
∴直线方程为y=-4x+6或y=.
即4x+y-6=0或3x+2y-7=0.
答案:D
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
7、已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A. B.
C. D.
参考答案与解析:解析:,解得a=,a=(舍去),故选C.
答案:C
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
8、直线kx-y+1-3k=0,当k变动时,所有直线都通过定点( )
A.(0,0) B.(0,1) C.(3,1) D.(2,1)
参考答案与解析:解析:由kx-y+1-3k=0得k(x-3)-(y-1)=0,
∴x=3,y=1,即过定点(3,1).
答案:C
主要考察知识点:两条直线的位置关系
9、一条线段的长是5个单位,它的一个端点是A(2,1),另一个端点B的横坐标是-1,则点B的纵坐标是( )
A.-3 B.5 C.-3或5 D.-1或-3
参考答案与解析:解析:设B点的纵坐标为y,则B(-1,y),
∴|AB|=5.∴(2+1)2+(y-1)2=25.∴y=-3或y=5.
答案:C
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
10、已知两直线2x+3y-3=0与mx+6y+1=0互相平行,则它们的距离等于( )
A. B. C. D.4
参考答案与解析:解析:因为互相平行,所以M=4.在第一条直线上任取点(0,1),代入点到直线的距离公式可得结果.
答案:C
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
二、填空题
1、两点A(1,2),B(-1,3)间的距离是_________.
参考答案与解析:解析:
答案:
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
2、若直线y=kx+3与直线的交点在直线y=x上,则k=______________.
参考答案与解析:解析:由得.
将代入y=kx+3,
得,解得.
答案:
主要考察知识点:两条直线的位置关系
3、直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围为____________.
参考答案与解析:解析:由
∵点在第四象限,
∴解得.
答案:
主要考察知识点:两条直线的位置关系
4、已知三角形的三个顶点A(2,1)、B(-2,3)、C(0,-1),则BC边上中线的长为___________.
解析:BC中点坐标为(-1,1),中线长为.
答案:3
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
三、解答题
1、求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
参考答案与解析:解:由方程组,
∵直线l和直线3x+y-1=0平行,
∴直线l的斜率k=-3.
∴根据点斜式有,
即所求直线方程为15x+5y+16=0.
主要考察知识点:两条直线的位置关系
2、已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的直角坐标系,证明.
参考答案与解析:证明:如图,以AB所在的直线为x轴,AC边所在直线为y轴,建立直角坐标系,
设B(b,0),C(0,c),
由中点坐标公式知,
∴.
又,故.
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式
3、求经过点P(1,2)的直线,且使A(2,3),B(0, -5)到它的距离相等的直线方程.
参考答案与解析:思路分析:由题目可获取以下主要信息:
①所求直线过点P(1,2);
②点A(2,3),B(0,-5)到所求直线距离相等.
解答本题可先设出过点P的点斜式方程,注意斜率不存在的情况,要分情况讨论,然后再利用已知条件求出斜率,进而写出直线方程.另外,本题也可利用平面几何知识,先判断直线l与直线AB的位置关系,再求l方程.事实上,l∥AB或l过AB中点时,都满足题目的要求.
解:方法一:当直线斜率不存在时,即x=1,显然符合题意,当直线斜率存在时,设所求直线的斜率为k,即直线方程为y-2=k(x-1),
由条件得,解得k=4,
故所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.
方法二:由平面几何知识知l∥AB或l过AB中点.
∵kAB=4,
若l∥AB,则l的方程为4x-y-2=0.
若l过AB中点(1,-1),则直线方程为x=1,
∴所求直线方程为x=1或4x-y-2=0.
主要考察知识点:两条相交直线的夹角、点到直线的距离公式