数学文卷·2018届江苏省南京市多校高三上学期第一次段考（2017 9页

‎2018届高三年级第一次段考 数学（文）试卷 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，若，则实数 ．‎ ‎2.设复数满足（为虚数单位），则 ．‎ ‎3.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边过点，则 ．‎ ‎4.已知的三边长成公比为的等比数列，则最大的余弦值为 ．‎ ‎5.设是定义在上的周期为2的函数，当时，则 ．‎ ‎6.设为等比数列的前项和，，则 ．‎ ‎7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式组的解集用区间表示为 ．‎ ‎8.函数,(,,是常数，，)的部分图象如图所示，则 ．‎ ‎9.已知函数在区间（）上存在零点，则 ．‎ ‎10.区域是由直线、轴和曲线在点处的切线所围成的封闭区域，若点区域内，则的最大值为 ．‎ ‎11.如图，在中，，，，则的值为 ．‎ ‎12.已知等差数列的首项为，公差为-4，其前项和为，若存在，使得，则实数的最小值为 ．‎ ‎13.已知函数（）与，若函数图像上存在点与函数图像上的点关于轴对称，则的取值范围是 ．‎ ‎14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的最小值是 ．‎ 二、解答题 （15-17题，每题14分，18-20题，每题16分.） ‎ ‎15.已知向量，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值.‎ ‎16.如图，四棱锥的底面是正方形，底面，，点，分别为棱，的中点。‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面 ‎17. 如图所示，扇形，圆心角的大小等于，半径为2，在半径上有一动点，过点作平行于的直线交弧于点.‎ ‎（1）若是半径的中点，求线段的大小；‎ ‎（2）设，求面积的最大值及此时的值. ‎ ‎18. 已知椭圆（）的离心率为，且过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，两点.‎ 求证：直线恒过定点.‎ ‎19. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”.‎ ‎（1）已知函数，试判断是否为“类函数”？并说明理由；‎ ‎（2）设是定义在上的“类函数”，求是实数的最小值；‎ ‎（3）若为其定义域上的“类函数”，求实数的取值范围.‎ ‎20. 已知数列，其前项和为.‎ ‎（1）若对任意的，，，组成公差为4的等差数列，且，求；‎ ‎（2）若数列是公比为（）的等比数列，为常数，‎ 求证：数列为等比数列的充要条件为.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1.1 2. 3. 4.‎ ‎5.1 6.-11 7. 8.‎ ‎9.5 10.2 11.-2 12.15‎ ‎13. 14.‎ 三、解答题 ‎15.解：（1）由可知，，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由可得，‎ ‎，‎ 即，①‎ 又，且②，由①②可解得，，‎ 所以.‎ ‎16.解：（1）如图，取的中点，连接，，所以为的中位线，所以，.‎ 因为四边形为矩形，为的中点，所以，，所以，，所以四边形是平行四边形，所以.‎ 又平面，平面，所以平面.‎ ‎（2）因为底面，所以，.又，，所以平面，又平面，所以.‎ 在中，，‎ 所以为等腰直角三角形，所以，又是的中点，所以.‎ 又，故，‎ 又，所以平面.‎ ‎17.解（1）在中，，，‎ 由 得，解得 ‎（2）∵，∴，在中，‎ 由正弦定理得，即∴，又 ‎∴.‎ 解法一：记的面积为，则 ‎∴时，取得最大值为.‎ 解法二：‎ 即，又，即 当且仅当时等号成立.‎ 所以 ‎∵∴时，取得最大值为.‎ ‎18.（1）解：由题意知，，，所以，解得，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）证明设直线的方程为，联立方程组 得，解得，，所以，.‎ 同理可得，，则，‎ ‎，所以，故直线恒过定点. ‎ ‎19.解：（1）由，得：‎ 所以 所以存在满足 所以函数是“类函数”，‎ ‎（2）因为是定义在上的“类函数”，‎ 所以存在实数满足，‎ 即方程在上有解.‎ 令 则，因为在上递增，在上递减 所以当或时，取最小值 ‎（3）由对恒成立，得 因为若为其定义域上的“类函数”‎ 所以存在实数，满足 ‎①当时，，所以，所以 因为函数（）是增函数，所以 ‎②当时，，所以，矛盾 ‎③当时，，所以，所以 因为函数是减函数，所以 综上所述，实数的取值范围是 ‎20.解：（1）因为，，成公差为4的等差数列，‎ 所以，（），‎ 所以，，，……，，是公差为4的等差数列，且 ‎，‎ 又因为，所以 ‎（2）因为，所以，①‎ 所以，②‎ ‎②-①，得，③‎ ‎（i）充分性：因为，所以，，，代入③式，得 ‎，因为，又，‎ 所以，，所以为等比数列，‎ ‎（ii）必要性：设的公比为，则由③得，‎ 整理得，‎ 此式为关于的恒等式，若，则左边=0，右边=-1，矛盾：‎ 若，当且仅当时成立，所以.‎ 由（i）、（ii）可知，数列为等比数列的充要条件.‎