2016届高考数学（理）5年高考真题备考试题库：第2章 第2节 函数的单调性与最值 3页

‎2010~2014年高考真题备选题库 第二章 函 数 第二节 函数的单调性与最值 ‎1. (2014福建，5分)已知函数f(x)＝则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数 C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)‎ 解析：因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；因为函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x＞0时，f(x)＞1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.‎ 答案：D ‎2. (2014北京，5分)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝ B．y＝(x－1)2‎ C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)‎ 解析：显然y＝是(0，＋∞)上的增函数；y＝(x－1)2在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数；y＝2－x＝x在x∈R上是减函数；y＝log0.5(x＋1)在(－1，＋∞)上是减函数，故选A.‎ 答案：A ‎3. (2014四川，5分)以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：‎ ‎①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；‎ ‎②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；‎ ‎③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；‎ ‎④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.‎ 其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)‎ 解析：对于①，根据题中定义，f(x)∈A⇔函数y＝f(x)，x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y＝f(x)，x∈D的值域为R⇔∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，所以①正确；对于②‎ ‎，例如函数f(x)＝|x|的值域(0,1]包含于区间[－1,1]，所以f(x)∈B，但f(x)有最大值1，没有最小值，所以②错误；对于③，若f(x)＋g(x)∈B，则存在一个正数M1，使得函数f(x)＋g(x)的值域包含于区间[－M1，M1]，所以－M1≤f(x)＋g(x)≤M1，由g(x)∈B知，存在一个正数M2，使得函数g(x)的值域包含于区间[－M2，M2]，所以－M2≤g(x)≤M2，亦有－M2≤－g(x)≤M2，两式相加得－(M1＋M2)≤f(x)≤M1＋M2，于是f(x)∈B，与已知“f(x)∈A”矛盾，故f(x)＋g(x)∉B，即③正确；对于④，如果a>0，那么x→＋∞，f(x)→＋∞，如果a<0，那么x→－2，f(x)→＋∞，所以f(x)有最大值，必须a＝0，此时f(x)＝在区间(－2，＋∞)上，有－≤f(x)≤，所以f(x)∈B，即④正确，故填①③④.‎ 答案：①③④‎ ‎4．(2013湖北，5分)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)‎ A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数 解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.‎ 答案：D ‎5．（2012山东，5分）设a>0且a≠1，则“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若函数f(x)＝ax在R上为减函数，则有00，即a<2，所以“函数f(x)＝ax在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的充分不必要条件．‎ 答案：A ‎6．（2012广东，5分）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)‎ A．y＝ln(x＋2) B．y＝－ C．y＝()x D．y＝x＋ 解析：选项A的函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．‎ 答案：A ‎7．（2012陕西，5分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)‎ A．y＝x＋1 B．y＝－x3‎ C．y＝ D．y＝x|x|‎ 解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图像可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.‎ 答案：D