2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：解答题规范专练(六)　概率与统计 4页

解答题规范专练(六)　概率与统计 ‎1．(2014·重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．‎ ‎(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；‎ ‎(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)‎ ‎2．(2014·大纲卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立．‎ ‎(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；‎ ‎(2)X表示同一工作日需使用设备的人数，求X的数学期望．‎ ‎3．(2015·唐山统考)据民生所望，相关部门对所属单位进行整治性核查，标准如下表：‎ 查验类别 甲 乙 所含指标项 ‎4‎ ‎2‎ 每项初查合格概率 每项复查合格概率 每项核查合格权重分数 ‎2‎ ‎1‎ 每项检查不合格权重分数 ‎0‎ ‎0‎ 规定初查累计权重分数为10分或9分的不需复查并给予奖励，10分的奖励18万元，9分的奖励8万元；初查累计权重分数为7分及其以下的停止运营并罚款1万元；初查累计权重分数为8分的要对不合格指标项进行复查，最终累计权重得分等于初查合格部分与复查部分得分的和，最终累计权重分数为10分方可继续运营，否则停止运营并罚款1万元．‎ ‎(1)求一家单位既没获奖励又没被罚款的概率；‎ ‎(2)求一家单位在这次整治性核查中所获金额X(万元)的分布列和数学期望(奖励为正数，罚款为负数)．‎ 答案 ‎1．解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能值为1,2,3，‎ 且P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ P(X＝3)＝＝，‎ 故X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 从而E(X)＝1×＋2×＋3×＝.‎ ‎2．解：记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i＝0,1,2，‎ B表示事件：甲需使用设备，‎ C表示事件：丁需使用设备，‎ D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备．‎ ‎(1)D＝A1·B·C＋A2·B＋A2··C，‎ P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝C×0.52，i＝0,1,2，‎ 所以P(D)＝P(A1·B·C＋A2·B＋A2··C)‎ ‎＝P(A1·B·C)＋P(A2·B)＋P(A2··C)‎ ‎＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P()P(C)‎ ‎＝0.31.‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,4，‎ P(X＝0)＝P(·A0·)‎ ‎＝P()P(A0)P()‎ ‎＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)‎ ‎＝0.06，‎ P(X＝1)＝P(B·A0·＋·A0·C＋·A1·)‎ ‎＝P(B)P(A0)P()＋P()P(A0)P(C)＋P()P(A1)P()‎ ‎＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)‎ ‎＝0.25，‎ P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)‎ ‎＝0.52×0.6×0.4＝0.06，‎ P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，‎ P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)‎ ‎＝1－0.06－0.25－0.25－0.06‎ ‎＝0.38，‎ 数学期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)‎ ‎＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06‎ ‎＝2.‎ ‎3．解：记“初查阶段甲类的一个指标项合格”为事件A，“初查阶段乙类的一个指标项合格”为事件B，“复查阶段一个指标项合格”为事件C，侧P(A)＝，P(B)＝P(C)＝.‎ ‎(1)记“一家单位既没获奖励又没被罚款”为事件D，则P(D)＝[P(A)]4[P()]2[P(C)]2＋C[P(A)]3[P()]·[P(B)]2[P(C)]＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为－1,0,8,18.‎ P(X＝18)＝[P(A)]4[P(B)]2＝，‎ P(X＝8)＝[P(A)]‎4C[P(B)][P()]＝，‎ P(X＝0)＝P(D)＝，‎ P(X＝－1)＝1－P(X＝0)－P(X＝8)－P(X＝18)＝.‎ X的分布列为 X ‎－1‎ ‎0‎ ‎8‎ ‎18‎ P X的数学期望E(X)＝－1×＋0×＋8×＋18×＝(万元)．‎