专题10+函数++幂函数-2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试 6页

‎2019年高考数学（理）高频考点名师揭秘与仿真测试　‎ ‎10 函数 幂函数 ‎ 【考点讲解】‎ 一、 具本目标：‎ ‎1.了解幂函数的概念.‎ ‎2.结合函数的图象,了解它们的变化情况.‎ 二、知识概述：‎ ‎1.幂函数的概念 ‎(1)一般地，形如的函数叫做幂函数，其中x是自变量，是常数．‎ ‎(2)在同一平面直角坐标系中，幂函数的图象的比较如下．‎ ‎2.幂函数的性质：‎ ‎（1）恒过点；（2）在第一象限当时是增函数，当时是减函数；‎ ‎（3）幂函数的图象不经过第四项限.‎ ‎3.判数函数是幂函数的依据：‎ 幂函数，其中为常数，其本质特征是以幂的底为自变量，指数为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准．‎ ‎4.在上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴 (简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．‎ ‎5.幂函数y＝xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：‎ ‎ (1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降．‎ ‎(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．‎ ‎2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键．‎ ‎【真题分析】‎ ‎1.【2018上海卷7】已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则α=_____‎ ‎【答案】‎ ‎2.【2014上海,理9】若，则满足的取值范围是 .‎ ‎【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. ‎ ‎【答案】‎ ‎3.【优选题】幂函数在区间上是增函数，则 ．‎ ‎【解析】若幂函数在区间上是增函数，则由，解得：或，时，，是增函数，时，，是常函数，故答案为．‎ ‎【答案】‎ ‎4.【2017上海南洋模范中学检测】函数的单调递增区间是______________．‎ ‎【解析】本题考点是幂函数型的复合函数的单调区间的考查.由题意可知函数是由外函数幂函数与内函数二次函数复合而成，要遵循同增异减的原则，因为外函数是单调递减函数，所以就要求内函数的减区间，并且要保证内函数作为底数是正数.即，令，在 内的减区间为，所以原函数的增区间为.‎ ‎【答案】 ‎ ‎5.【2016高考新课标Ⅲ文理】已知，，，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎6.【2014年.浙江卷.文8】在同一坐标系中，函数，的图象可能是（ ）‎ ‎【解析】本题考点是幂函数与对数函数的图象判断，由题意可知对于选项A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；选项B,中，中，不符合题意；‎ 选项C，中，中，不符合题意；选项D，中，中，符合题意；故选D.‎ ‎【答案】D ‎7.【2017·济南诊断测试】已知幂函数的图象过点，则等于(　　)‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎【解析】本题考点是幂函数的定义.由幂函数的定义知.又，所以，解得，从而.‎ ‎【答案】C ‎8.已知函数的定义域为，函数在 上是减函数，若“”为真，“”为假，试求实数的取值范围．‎ 综上，；‎ 若为真，则，解有：，‎ 由题知：中应一真一假，‎ ‎∴或，‎ ‎∴，‎ 故：的取值范围是．‎ ‎【模拟考场】‎ ‎1.【2017湖北稳派教育检测】已知，当 时，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎2. 当时，下列函数中图象全在直线下方的增函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】当时，下列函数中图象全在直线下方的意义就是，对任意，函数值都小于的函数值，因此有，，，，所以当时，下列函数中图象全在直线下方的函数有和，而函数是单调递增函数，函数是单调递减函数，所以答案是A.‎ ‎【答案】A ‎3.【2017湖南长沙统一模拟】已知函数，则（ ）‎ A. ，使得 B. ‎ C. ，使得 D.使得 ‎【解析】 ，函数的定义域为 ，函数的值域为 ，并且函数是单调递增函数，这样A不成立， 根据单调性可知也不成立，D.应改为，故选B.‎ ‎【答案】B ‎4.【2017湖南衡阳模拟】已知：幂函数在上单调递增；，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎5.已知幂函数为奇函数，且在上是减函数，则 ．‎ ‎【解析】由函数为幂函数得，，解得n=1．因为函数在上是减函数，所以，解得．又因,所以,所以．同时满足函数为奇函数，所以.‎ ‎【答案】 ‎