数学理卷·2018届四川省成都市九校高二下学期期中联考（2017-04） 13页

‎2016～2017 学年度（下期）高 2015 级期中联考试卷 理科数学 考试时间共 120 分钟，满分 150 分 ‎ 试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色 签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”。‎ ‎2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡 皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域 内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。‎ ‎3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。‎ 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）‎ 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，‎ 只有一个是符合题目要求的）‎ ‎1．三棱柱 ABC—A1B1C1 中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B等于( )‎ A．a＋b－c B．a－b＋c C．－a＋b＋c D．－a＋b－c ‎2．函数 f ( x) = sin x + ex ，则 f '(0)‎ 的值为( )‎ 第 1 题图 A．1 B．2 C．3 D．0‎ ‎3. 已知 m，n 表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若 m⊥α，n⊂α，则 m⊥n C．若 m⊥α，m⊥n，则 n∥α D．若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α x ‎4．函数 f ( x) = 的单调递减区间是( )‎ ln x A． (0, e)‎ B． (e,+¥)‎ C． (0,1), (1, e)‎ D. (-¥, e)‎ ‎5．在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E、F 分别是 CC1 、AD 的中点，那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( )‎ A．‎ ‎15 B．‎ ‎10 C． 4‎ D． 2‎ ‎5‎ ‎5 5‎ ‎3‎ ‎－π，π ‎6．已知函数 f(x)＝x－sin x，若 x1，x2∈‎ ‎2 2 ，且 f(x1)＋f(x2)>0，则下列不等 式中正确的是( )‎ A．x1>x2 B．x10 D．x1＋x2<0‎ ‎7. 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3， 则正视图中的 x 的值是( )‎ A． 3 B． 9‎ ‎2‎ C．3 D．2‎ ‎2‎ 第 7 题图 ‎8．若对任意的 x>0，恒有 lnx≤px－1(p>0)，则 p 的取值范围是( )‎ A．(0,1] B．(1，＋∞) C．(0,1) D．[1，＋∞)‎ ‎9．甲、乙两人约定在下午 4:30 : 5:00 间在某地相见，且他们在 4:30 : 5:00 之间 到达的时刻是等可能的，约好当其中一人先到后一定要等另一人 20 分钟，若另一人 仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率是( )‎ ‎3 8‎ A． B．‎ ‎4 9‎ ‎7 11‎ C． D．‎ ‎16 12‎ ‎10．如图在一个 60° 的二面角的棱上有两个点 A，B，线段分别 AC、BD 在这个二面 角的两个面内，并且都垂直于棱 AB，且 AB＝AC＝ a ，BD＝ 2a ，则 CD 的长为 ‎( ) C A． 2a B． 5a A B C． a D． 3a D ‎11．已知函数 f ( x) = ax3 + bx2 + cx + d 的图象如图所示，则 b + 1 的取值范围是( )‎ a + 1‎ 第 10 题图 y A． (- 3 , 1 )‎ B． (- 2 ,1) 1 2‎ ‎2 2 5‎ ‎-1 0 x C． (- 1 , 3 )‎ D． (- 3 ,1)‎ ‎2 2 2‎ 第 11 题图 2 y 2‎ ‎12．已知 F1 ， F2 分别为双曲线C ： - a 2 b 2‎ = 1 的左、右焦点， 若存在过 F1 的直分别交 双曲线C 的左、右支于 A ， B 两点，使得 ÐBAF2 = ÐBF2 F1 ，则双曲线C 的离心率e 的 取值范围是( )‎ A． (3,+¥) B． (1,2 + 5 ) C. (3,2 + 5 ) D． (1,3) 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）‎ 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）‎ ò ‎13． 1 x2dx = ．‎ ‎0‎ 第 12 题图 x y ‎2 2‎ ‎2 2‎ ‎14．已知椭圆 C1 : 2 + 2‎ a b = 1(a > b > 0) 与双曲线 C2 : x - y = 4 有相同的右焦点 F2 ，点 P 是 C1 和 C2 的一个公共点，若 PF2‎ = 2 ，则椭圆 C1 的离心率等于 ．‎ ‎15．四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都 相等，且两两夹角为 60°.则线段 AC1 与平面 ABC 所成角的正弦值为 .‎ mex ‎16．已知函数 f ( x ) = 1 - x2 + x + 1‎ ‎，若存在唯一的正整数 x0 ，使得 f ( x0 ) ³ 0 ，则 实数 m 的取值范围为 ．‎ 三、解答题（本大题共 6 小题，第 17 题满分 10 分，18-22 每题满分 12 分，共 70 分； 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC ^ BC ，点 D 是 AB 的中点，求证：‎ ‎（Ⅰ） AC ^ BC1 ；‎ ‎（Ⅱ） AC1 // 平面 B1CD ．‎ C1 B1‎ A1‎ C B D A ‎18．某校举行汉字听写比赛，为了了解本次比赛成绩情况，从得分不低于 50 分的试 卷中随机抽取 100 名学生的成绩(得分均为整数，满分 100 分)进行统计，请根据频率 分布表中所提供的数据，解答下列问题：‎ 组号 分组 频数 频率 第 1 组 ‎[50，60)‎ ‎5‎ ‎0.05‎ 第 2 组 ‎[60，70)‎ a ‎0.35‎ 第 3 组 ‎[70，80)‎ ‎30‎ b 第 4 组 ‎[80，90)‎ ‎20‎ ‎0.20‎ 第 5 组 ‎[90，100]‎ ‎10‎ ‎0.10‎ 合计 ‎100‎ ‎1.00‎ ‎（Ⅰ）求 a、b 的值；‎ ‎（Ⅱ）若从成绩较好的第 3、4、5 组中按分层抽样的方法抽取 6 人参加市汉字听 写比赛，并从中选出 2 人做种子选手，求 2 人中至少有 1 人是第 4 组的概率．‎ ‎19．已知函数 f(x)＝x2＋2aln x.‎ ‎（Ⅰ）若函数 f(x)的图象在(2，f(2))处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数 f(x)的单调区间；‎ ‎2‎ ‎（Ⅲ）若函数 g(x)＝‎ ‎＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数 a 的取值范围．‎ x ‎20．在四棱锥 P -‎ ABCD 中，△ PAB 为正三角形，四边形 ABCD 为矩形，平面 PAB ^ 平面 ABCD ， AB =‎ ‎2 AD ， M ,N 分别为 PB,PC 的中点.‎ ‎（Ⅰ）求证： MN //平面 PAD ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 B—AM—C 的大小；‎ ‎（Ⅲ）在 BC 上是否存在点 E ，使得 EN ⊥平面 AMN ？‎ BE 若存在，求 BC 的值；若不存在，请说明理由．‎ + ‎21．已知椭圆 C : x y = 1 (a > b > 0 ) 经过点 P(1, 3 ) ，离心率 e = 3‎ a b ‎（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；‎ ‎2 2 ．‎ ‎（Ⅱ）设过点 E (0 , - 2 ) 的直线l 与C 相交于 P, Q 两点，求 DOPQ 面积的最大值．‎ ‎22．已知 f ( x) = 1 x2 ， g ( x) = a ln x(a > 0) .‎ ‎2‎ ‎（Ⅰ）求函数 F ( x) = ‎（Ⅱ）若函数 G( x) = 取值范围；‎ f ( x) g ( x) 的极值；‎ f ( x) - g ( x) + (a - 1) x 在区间 (1 , e) 内有两个零点，求的 e ‎（Ⅲ）函数 h( x) = g ( x ) - x + 1 ，设 x Î (0,1) ， x Î (1, +¥) ，若 h( x ) - h( x )‎ x 1 2 2 1‎ 存在最大值，记为 M (a) ，则当 a £ e + 1 时，M (a) 是否存在最大值？若存在，求出 e 其最大值；若不存在，请说明理由．‎ ‎2016～2017学年度（下期）高2015级期中联考 数学（理科）参考答案及评分建议 一、 选择题：（每小题5分，共60分）‎ ‎1.D； 2.B； 3.B； 4.C； 5.A； 6.C；‎ ‎7.A； 8.D； 9.B； 10.A； 11.D； 12.C；‎ 二、 填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. ； 14. ； 15 . ； 16 . ； ‎ 一、 解答题（共70分）‎ A1‎ C1‎ B1‎ A B C D O ‎17．证明：（1）在直三棱柱中，平面，‎ 所以，，‎ 又，，‎ 所以，平面，‎ 所以，. ………..………（5分）‎ ‎（2）设与的交点为，连结，‎ 为平行四边形，所以为中点，又是的中点，‎ 所以是三角形的中位线，， ‎ 又因为平面，平面，所以平面.………（10分）‎ ‎18．(1)a＝100－5－30－20－10＝35，b＝1－0.05－0.35－0.20－0.10＝0.30. ………（4分）‎ ‎(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生，每组分别为，第3组：×30＝3人，第4组：×20＝2人，第5组：×10＝1人，所以第3、4、5组应分别抽取3人、2人、1人．……..………（6分）‎ 设第3组的3位同学为A1、A2、A3，第4组的2位同学为B1、B2，第5组的1位同学为C1，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，如下：‎ ‎(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．其中第4组被入选的有9种，所以其中第4组的2位同学至少有1位同学入选的概率为＝.……………（12分）‎ ‎19. 　(1)f′(x)＝2x＋＝，‎ 由已知f′(2)＝1，解得a＝－3. ……… 4分 ‎(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞). ……… 5分 ‎①当a≥0时，f′(x)＞0，‎ f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)； ……… 6分 ‎②当a＜0时，f′(x)＝.‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  极小值  由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是(0，)；‎ 单调递增区间是(，＋∞). ……… 8分 ‎(3)由g(x)＝＋x2＋2aln x， ‎ 得g′(x)＝－＋2x＋，‎ 由已知函数g(x)为[1,2]上的单调减函数，‎ 则g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，‎ 即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立．‎ 即a≤－x2在[1,2]上恒成立. ………10分 令h(x)＝－x2，‎ 在[1,2]上h′(x)＝－－2x＝－(＋2x)＜0，‎ 所以h(x)在[1,2]上为减函数，‎ h(x)min＝h(2)＝－，所以a≤－.‎ 故实数a的取值范围为{a|a≤－}. ……… 12分 ‎20. （Ⅰ）证明：∵M，N分别是PB，PC中点 ‎∴MN是△ABC的中位线 ‎∴MN∥BC∥AD 又∵AD⊂平面PAD，MN平面PAD 所以MN∥平面PAD. ……………….4分 ‎(Ⅱ)过点P作PO垂直于AB，交AB于点O，‎ 因为平面PAB⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD，‎ 如图建立空间直角坐标系 设AB=2，则A（-1,0，0），C（1,1，0）,M（,0，）,‎ B（1,0，0），N（,，），则，‎ 设平面CAM法向量为，由可得 ‎，令，则，即 平面法向量 所以，二面角的余弦值 因为二面角是锐二面角，‎ 所以二面角等于……………….8分 ‎（Ⅲ）存在……………….9分 设，则，由可得，‎ 所以在存在点，使得平面，‎ 此时.……………….12分 ‎21.‎ ‎（Ⅰ）由点在椭圆上得，①‎ ‎②‎ 由①②得，‎ 故椭圆的标准方程为……………….5分 ‎ ......................9分 ‎22.：（1）解：‎ ‎∴ ………1分 由得，‎ 由，得 ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，无极大值. ………3分 ‎（2）解：‎ ‎∴‎ 又，易得在上单调递减，在上单调递增，‎ 要使函数在内有两个零点，‎ 需，即，………5分 ‎∴，‎ ‎∴，即的取值范围是. ………7分 ‎（3）若，∵在上满足，‎ ‎ ∴在上单调递减，∴.‎ ‎∴不存在最大值. ………8分 则.‎ ‎∴方程有两个不相等的正实数根，令其为，且不妨设 则.‎ 在上单调递减，在上调递增，在上单调递减，‎ 对，有；对，有，‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ ‎.‎ 将，代入上式，消去得 ‎∵，∴，.‎ 据在上单调递增，得.‎ 设，.‎ ‎，.‎ ‎∴，即在上单调递增.‎ ‎∴‎ ‎∴存在最大值为.………12分