2017-2018学年山西省临汾第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题（Word版） 9页

临汾一中2017-2018学年度第二学期高二年级期末考试 数学试题(理科)‎ 第I卷(选择题 60分)‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合,,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 已知复数满足,则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.已知，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 已知函数是上的减函数,那么的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 执行如图所示的程序框图,则程序最后输出的结果为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6. 设曲线及直线所围成的封闭图形为区域,不等式组所确定的区域为,在区域内随机取一点,则该点恰好在区域内的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎7. 定义在上的函数满足,,且时, ,则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8. 我国古代数学名著《九章算术》记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有表无丈.刍，草也;薨,屋盖也.”翻译为:“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍宽字面意思为茅草屋顶.”如图,为刍薨的三视图,其中正视图为等腰梯形,侧视图为等腰三角形,则它的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 某个班级组织元旦晚会,一共准备了A、B、C、D、E、F六个节目,节目演出顺序第一个节目只能排A或B,最后一个节目不能排A,且C、D要求相邻出场,则不同的节目顺序共有（ ）种 A． B． C. D．‎ ‎10. 在三棱锥中, 平面,，,是边上的一动点,且直线与平面所成角的最大值为,则三棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 设椭圆的左、右焦点分别为,点.已知动点在椭圆上,且点不共线,若的周长的最小值为,则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 已知函数,若,且对任意的恒成立,则的最大值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（非选择 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共计20.‎ ‎13. 平面向量与的夹角为,,,则 ．‎ ‎14. 在的展开式中, 的系数为 (用数字作答)．‎ ‎15. 已知实数满足足约束条件,且的最小值为,则常数 ．‎ ‎16. 如图所示,在平面四边形中, ,为正三角形,则面积的最大值为 ．‎ 三、解答题:共6小题,共计70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .‎ ‎17. 已知数列的前项和满足：.‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)设，求数列的前项和.‎ ‎18.如图,在四棱锥中, 底面,，点为棱的中点.‎ ‎(I)证明：；‎ ‎(Ⅱ)若点为棱上一点,且,求二面角的余弦值.‎ ‎19.某市政府为了节约生活用电,计划在本市试行居民生活费定额管理,即确定一户居民月用电量标准 ‎,用电量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为此,政府调查了100户居民的月平均用电量(单位:度),以,分组的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)根据频率分布直方图的数据,求直方图中的值并估计该市每户居民平均用电量的值；‎ ‎(2)用频率估计概率,利用(1)的结果,假设该市每户居民月平均用电量服从正态分布.‎ ‎(ⅰ)估计该市居民月平均用电量介于度之间的概率；‎ ‎(ⅱ)利用(ⅰ)的结论,从该市所有居民中随机抽取3户,记月平均用电量介于度之间的户数为,求的分布列及数学期望.‎ ‎20.已知直线是抛物线的准线,直线,且与抛物线没有公共点,动点在抛物线上,点到直线和的距离之和的最小值等于.‎ ‎(I)求抛物线的方程；‎ ‎(Ⅱ)点在直线上运动,过点做抛物线的两条切线,切点分别为,在平面内是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)设是的两个零点,证明: .‎ 选做题：(10分).请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 直角坐标系中,直线的参数方程为 (为参数),在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆与直线交于点,若点的坐标为,求的最小值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数,.‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若方程在区间有解,求实数的取值范围.‎ 临汾一中2017-2018学年度第二学期高二年级期末考试 ‎ 数学答案(理科)‎ 一、选择题 ‎1-5: DCDDB 6-10: CCABB 11、12：AB 二、填空题 ‎13. . 14. 60 15. -2. 16. .‎ 三、解答题 ‎17.详解：（1）∵ ①‎ 当时，，∴‎ 当时， ②‎ 由①-②得：‎ ‎∴‎ ‎∴是以为首项，公比为的等比数列 ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎18. 详解：（Ⅰ）证明：底面， 平面，面，∴，，‎ 又，∴．两两垂直．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.‎ 则由题意得，∴，∴，∴．‎ ‎(Ⅱ)由(I)可得,,,.由点在棱上,设,,,‎ ‎，解得,.设平面的法向量为，‎ 则由，得,令,得.由题意取平面的 法向量.,由图形知二面角是锐角,所以二面角的余弦值为．‎ ‎19.详解：（1）由得 ‎（2）（i）‎ ‎（ii）因为，∴，.‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以 ‎20. 试题解析：（Ⅰ）作分别垂直和，垂足为，抛物线的焦点为，‎ 由抛物线定义知，所以，‎ 显见的最小值即为点到直线的距离，故，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线的方程为，当点在特殊位置时，显见两个切点关于轴对称，故要使得，点必须在轴上．‎ 故设，，，，‎ 抛物线的方程为，求导得，所以切线的斜率，‎ 直线的方程为，又点在直线上，‎ 所以，整理得，‎ 同理可得，‎ 故和是一元二次方程的根，由韦达定理得，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 可见时，恒成立，‎ 所以存在定点，使得恒成立．‎ ‎21.详解：（1）解：，当时，，则在上单调递增.‎ 当时，，得，则的单调递增区间为.‎ 令，得，得的单调递减区间为.‎ ‎（2）证明：由得，设，则，由得；由，得.‎ 故.当时，；当时，.‎ 不妨设，则，.等价于，∵，且在上单调递增，∴要证，只需证，即，‎ 即证.设，，‎ 则，令，则，∵，∴，‎ ‎∴在上单调递减，即在上单调递减，∴，∴在上单调递增，‎ ‎∴，∴，从而得证.‎ 点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性，以及函数零点个数的判断和函数性质的综合应用，考查了分类讨论思想，综合性较强、难度较大，第二问构造函数，不妨设，由已知将问题转化为只需证是关键。‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎（1）由，化为直角坐标方程为，‎ 即 ‎（2）将l的参数方程带入圆C的直角坐标方程，得 因为，可设，‎ 又因为（2，1）为直线所过定点，‎ ‎[来源:‎ 所以 ‎23. 详解：（1）可化为 或或；‎ 或或； ‎ 不等式的解集为； ‎ ‎（2）由题意：‎ 故方程在区间有解函数和函数图象在区间上有交点 当时，‎ ‎.‎