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  • 2021-06-17 发布

高中数学选修2-3教学课件:贝叶斯公式和全概率

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§ 1 .5 全概率公式与贝叶斯公式 1.5.1 全概率公式 1.5.2 贝叶斯公式 A 1 A 2 A 3 A n … … 1.5.1 全概率公式 引例: 设甲盒有 3 个白球, 2 个红球,乙盒有 4 个白球, 1 个红球,现从甲盒任取 2 球放入乙盒,再从乙盒任取 2 球,求从乙盒取出 2 个红球的概率. 影响从乙盒中取 2 个红球概率的关键因素是什么? 解 设 A 1 =从甲盒取出2个红球 ; A 2 =从甲盒取出2个白球 ; A 3 =从甲盒取出 1 个白球 1 个红球 ; B = 从乙盒取出2个红球 ; 则 A 1 , A 2 , A 3 两两互斥,且 A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 =  , 所以 B =  B = ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) B = A 1 B ∪ A 2 B ∪ A 3 B , P ( B )= P ( A 1 B ∪ A 2 B ∪ A 3 B )= P ( A 1 B ) + P ( A 2 B ) + P ( A 3 B ) = P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) + P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) + P ( A 3 ) P ( B | A 3 ) 思考:这种解法是否可一般化? 定义 1 设事件 A 1 , A 2 , … , A n 为样本空间  的一组事件。 如果 (1) A i A j =  ( i ≠ j ) ; 则称 A 1 , A 2 , … , A n 为样本空间  的一个划分。 1. 完备事件组(样本空间的一个划分) (2) A 1 A 2 A 3 A n … … 例如上例中的 A 1 =从甲盒取出2个白球, A 2 =从甲盒取出2个红球, A 3 =从甲盒取出 1 个白球 1 个红球, 就构成了一个完备事件组。 1.5.1 全概率公式 2. 全概率公式 定理 设试验E的样本空间为 Ω , 设事件 A 1 , A 2 , … , A n 为 样本空间 Ω 的一个划分,且 P ( A i )>0 ( i =1,2, …, n ) . 则对任意事件 B ,有 A 1 A 2 A 3 A n … … B 证明 因为 A i A j =  ( i ≠ j ) 按概率的可加性及乘法公式有 例 设袋中有 12 个乒乓球, 9 个新球, 3 个旧球.第一次比赛取 3 球,比赛后放回,第二次比赛再任取 3 球,求第二次比赛取得 3 个新球的概率. 3. 全概率公式的应用 如果试验 E 有两个相关的试验 E 1 , E 2 复合而成, E 1 有若干种可能的结果, E 2 在 E 1 的基础上也有若干种可能的结果,如果求和 E 2 的结果有关事件的概率,可以用全概率公式.试验 E 1 的几种可能的结果就构成了完备事件组. 解 A i = 第一次比赛恰取出 i 个新球( i =0, 1, 2, 3 ) ; B = 求第二次比赛取得 3 个新球. 显然 A 0 , A 1 , A 2 , A 3 构成一个完备事件组,由全概率公式得: 例 1 播种用的一等小麦种子中混有 2% 的二等种子, 1.5% 的三等种子 , 1% 的四等种子 , 用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5,0.15,0.1 、 0.05, 求这批种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为 B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ,则它们构成样本空间的一个划分, 用 A 表示在这批种子中任选一颗,且这颗种子所结的穗含有 50 粒以上麦粒的事件,则由全概率公式 练习 1 有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3 , 0.2 , 0.1 , 0.4 ,迟到的概率分别为 0.25 , 0.3 , 0.1 , 0 ;求他迟到的概率. 解 设 A 1 =他乘火车来, A 2 =他乘船来, A 3 =他乘汽车来, A 4 =他乘飞机来, B =他迟到。 易见: A 1 , A 2 , A 3 , A 4 构成一个完备事件组,由全概率公式得 =0.3×0.25 + 0. 2 ×0.3 + 0. 1 ×0.1 + 0.4×0 =0.145 。 练习 2 两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为 0.04 ,第二台的废品率为 0.07 ,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的 2 倍,现任取一零件,问是合格品的概率为多少? 解 令 B = 取到的零件为合格品, A i = 零件为第 i 台机床的产品 , i =1, 2. 此时 , 全部的零件构成样本空间 Ω , A 1 , A 2 构成 Ω 的一个划分。由全概率公式得 : 1.5.2 贝叶斯公式 1. 引例 设甲盒有 3 个白球, 2 个红球,乙盒有 4 个白球, 1 个红球,现从甲盒任取 2 球放入乙盒,再从乙盒任取两球,求 (1) 从乙盒取出 2 个红球的概率 ; (2) 已知从乙盒取出 2 个红球,求从甲盒取出两个红球的概率。 解 (1) 设 A 1 = 从甲盒取出 2 个红球, A 2 = 从甲盒取出 2 个白球; A 3 =从甲盒取出 1 个白球 1 个红球 ; B = 从乙盒取出 2 个红球; 则 A 1 , A 2 , A 3 两两互斥,且 A 1 + A 2 + A 3 =Ω, 所以 P ( B )= P ( A 1 ) P ( B | A 1 )+ P ( A 2 ) P ( B | A 2 )+ P ( A 3 ) P ( B | A 3 ) (2) P ( A 1 | B ) 2. 贝叶斯公式 定理 设 A 1 , A 2 , … , A n 为样本空间 Ω 的一个划分,且 P ( A i )>0 ( i =1,2,…, n ),则对于任何一事件 B ( P ( B )>0), 有 于是 ( j =1 , 2 , … , n )。 事实上,由条件概率的定义及全概率公式 3. 贝叶斯公式的应用 (1) 如果试验 E 有两个相关的试验 E 1 , E 2 复合而成, E 1 有若干种可能的结果, E 2 在 E 1 的基础上也有若干种可能的结果,如果已知和 E 2 的结果有关某事件发生了,求和试验 E 1 的结果有关事件的概率,可以用贝叶斯公式.试验 E 1 的几种可能的结果就构成了完备事件组。 (2) 如果把样本空间的一个划分 A 1 , A 2 , …, A n 看作是导致事件 B 发生的各种原因,如果 B 发生了,求 P ( A j | B ) 可以用贝叶斯公式 。 例 2 一学生接连参加同一课程的两次考试,第一次及格的概率为 p ,若第一次及格则第二次及格的概率也为 p ;若第一次不及格则第二次及格的概率为 p /2 .若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率. 于是,由全概率公式得 由贝叶斯公式得 解 记 A i ={ 该学生第 i 次考试及格 } , i =1,2 .显然 为样本空间的一个划分,且已知 例 3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法, 97% 的患者检验结果为阳性, 95% 的未患病者检验结果为阴性,设该病的发病率为 0.4% .现有某人的检验结果为阳性,问他确实患病的概率是多少? 得到 由贝叶斯公式得 解 记 B 为检验结果是阳性,则 为检验结果是阴性, A 表示患有该病,则 为未患该病.由题意 例 4 对以往数据分析的结果表明,当机器调整得良好时,产品的合格率为 90% ,而当机器发生某一故障时,其合格率为 30% 。每天早上机器开动时,机器调整良好的概率为 75% ,试求某日早上第一件产品是合格时,机器调整得良好的概率。 解 设 A 1 = 机器调整良好 , A 2 = 机器调整不好 , B = 产品合格, 已知 P ( A 1 )=0.75 , P ( A 2 )=0.25 ; P ( B | A 1 )=0.9 , P ( B | A 2 )=0.3 . 需要求的概率为 P ( A 1 | B ) 。由贝叶斯公式 P ( A 1 ), P ( A 2 ) 通常称为 验前概率 。 P ( A 1 | B ), P ( A 2 | B ) 通常称为 验后概率 。

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