高中数学选修2-3教学课件：贝叶斯公式和全概率 14页

§ １ .5 全概率公式与贝叶斯公式 1.5.1 全概率公式 1.5.2 贝叶斯公式 A 1 A 2 A 3 A n … … 1.5.1 全概率公式 引例： 设甲盒有 3 个白球， 2 个红球，乙盒有 4 个白球， 1 个红球，现从甲盒任取 2 球放入乙盒，再从乙盒任取 2 球，求从乙盒取出 2 个红球的概率． 影响从乙盒中取 2 个红球概率的关键因素是什么？ 解 设 A 1 ＝从甲盒取出２个红球 ; A 2 ＝从甲盒取出２个白球 ; A 3 ＝从甲盒取出 1 个白球 1 个红球 ； B = 从乙盒取出２个红球 ; 则 A 1 , A 2 , A 3 两两互斥，且 A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ＝  , 所以 B =  B ＝ ( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ) B ＝ A 1 B ∪ A 2 B ∪ A 3 B , P ( B )= P ( A 1 B ∪ A 2 B ∪ A 3 B )= P ( A 1 B ) ＋ P ( A 2 B ) ＋ P ( A 3 B ) = P ( A 1 ) P ( B | A 1 ) ＋ P ( A 2 ) P ( B | A 2 ) ＋ P ( A 3 ) P ( B | A 3 ) 思考：这种解法是否可一般化？ 定义 1 设事件 Ａ 1 ， Ａ 2 ， … ， Ａ n 为样本空间  的一组事件。 如果 (1) A i A j =  （ i ≠ j ） ; 则称 Ａ 1 ， Ａ 2 ， … ， Ａ n 为样本空间  的一个划分。 1. 完备事件组（样本空间的一个划分） (2) A 1 A 2 A 3 A n … … 例如上例中的 Ａ 1 ＝从甲盒取出２个白球， Ａ 2 ＝从甲盒取出２个红球， Ａ 3 ＝从甲盒取出 1 个白球 1 个红球， 就构成了一个完备事件组。 1.5.1 全概率公式 2. 全概率公式 定理 设试验Ｅ的样本空间为 Ω ， 设事件 A 1 ， A 2 ， … ， A n 为 样本空间 Ω 的一个划分，且 P ( Ａ i )>0 ( i =1,2, …, n ) ． 则对任意事件 B ，有 A 1 A 2 A 3 A n … … B 证明 因为 A i A j =  （ i ≠ j ） 按概率的可加性及乘法公式有 例 设袋中有 12 个乒乓球， 9 个新球， 3 个旧球．第一次比赛取 3 球，比赛后放回，第二次比赛再任取 3 球，求第二次比赛取得 3 个新球的概率． 3. 全概率公式的应用 如果试验 E 有两个相关的试验 E 1 ， E 2 复合而成， E 1 有若干种可能的结果， E 2 在 E 1 的基础上也有若干种可能的结果，如果求和 E 2 的结果有关事件的概率，可以用全概率公式．试验 E １ 的几种可能的结果就构成了完备事件组． 解 A i = 第一次比赛恰取出 i 个新球（ i =0, 1, 2, 3 ) ； B = 求第二次比赛取得 3 个新球． 显然 A 0 , A 1 , A 2 , A 3 构成一个完备事件组，由全概率公式得： 例 1 播种用的一等小麦种子中混有 2% 的二等种子， 1.5% 的三等种子 , 1% 的四等种子 , 用一等、二等、三等、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5,0.15,0.1 、 0.05, 求这批种子所结的穗含有 50 颗以上麦粒的概率。 解 设从这批种子中任选一颗是一等、二等、三等、四等种子的事件分别为 B 1 , B 2 , B 3 , B 4 ，则它们构成样本空间的一个划分， 用 A 表示在这批种子中任选一颗，且这颗种子所结的穗含有 50 粒以上麦粒的事件，则由全概率公式 练习 1 有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3 ， 0.2 ， 0.1 ， 0.4 ，迟到的概率分别为 0.25 ， 0.3 ， 0.1 ， 0 ；求他迟到的概率． 解 设 A 1 ＝他乘火车来， A 2 ＝他乘船来， A 3 ＝他乘汽车来， A 4 ＝他乘飞机来， B ＝他迟到。 易见： A 1 , A 2 , A 3 , A 4 构成一个完备事件组，由全概率公式得 =0.3×0.25 ＋ 0. ２ ×0.3 ＋ 0. １ ×0.1 ＋ 0.4×0 =0.145 。 练习 2 两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为 0.04 ，第二台的废品率为 0.07 ，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的 2 倍，现任取一零件，问是合格品的概率为多少？ 解 令 B = 取到的零件为合格品， A i = 零件为第 i 台机床的产品 , i =1, 2. 此时 , 全部的零件构成样本空间 Ω ， A 1 , A 2 构成 Ω 的一个划分。由全概率公式得 : 1.5.2 贝叶斯公式 1. 引例 设甲盒有 3 个白球， 2 个红球，乙盒有 4 个白球， 1 个红球，现从甲盒任取 2 球放入乙盒，再从乙盒任取两球，求 (1) 从乙盒取出 2 个红球的概率 ; (2) 已知从乙盒取出 2 个红球，求从甲盒取出两个红球的概率。 解 (1) 设 A 1 = 从甲盒取出 2 个红球， A 2 = 从甲盒取出 2 个白球； A 3 ＝从甲盒取出 1 个白球 1 个红球 ； B = 从乙盒取出 2 个红球； 则 A 1 , A 2 , A 3 两两互斥，且 A 1 + A 2 + A 3 =Ω, 所以 P ( B )= P ( A 1 ) P ( B | A 1 )+ P ( A 2 ) P ( B | A 2 )+ P ( A 3 ) P ( B | A 3 ) (2) P ( A 1 | B ) 2. 贝叶斯公式 定理 设 A 1 ， A 2 ， … ， A n 为样本空间 Ω 的一个划分，且 P ( A i )>0 （ i =1,2,…, n ），则对于任何一事件 B ( P ( B )>0), 有 于是 （ j =1 ， 2 ， … ， n ）。 事实上，由条件概率的定义及全概率公式 3. 贝叶斯公式的应用 (1) 如果试验 E 有两个相关的试验 E 1 ， E 2 复合而成， E 1 有若干种可能的结果， E 2 在 E 1 的基础上也有若干种可能的结果，如果已知和 E 2 的结果有关某事件发生了，求和试验 E 1 的结果有关事件的概率，可以用贝叶斯公式．试验 E 1 的几种可能的结果就构成了完备事件组。 (2) 如果把样本空间的一个划分 A 1 , A 2 , …, A n 看作是导致事件 B 发生的各种原因，如果 B 发生了，求 P ( A j | B ) 可以用贝叶斯公式 。 例 2 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为 p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为 p /2 ．若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率． 于是，由全概率公式得 由贝叶斯公式得 解 记 A i ={ 该学生第 i 次考试及格 } ， i =1,2 ．显然 为样本空间的一个划分，且已知 例 3 某医院对某种疾病有一种看起来很有效的检验方法， 97% 的患者检验结果为阳性， 95% 的未患病者检验结果为阴性，设该病的发病率为 0.4% ．现有某人的检验结果为阳性，问他确实患病的概率是多少？ 得到 由贝叶斯公式得 解 记 B 为检验结果是阳性，则 为检验结果是阴性， A 表示患有该病，则 为未患该病．由题意 例 4 对以往数据分析的结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 90% ，而当机器发生某一故障时，其合格率为 30% 。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为 75% ，试求某日早上第一件产品是合格时，机器调整得良好的概率。 解 设 A 1 = 机器调整良好 , A 2 = 机器调整不好 , B = 产品合格， 已知 P ( A 1 )=0.75 ， P ( A 2 )=0.25 ； P ( B | A 1 )=0.9 ， P ( B | A 2 )=0.3 ． 需要求的概率为 P ( A 1 | B ) 。由贝叶斯公式 P ( A 1 ), P ( A 2 ) 通常称为 验前概率 。 P ( A 1 | B ), P ( A 2 | B ) 通常称为 验后概率 。