高中数学选修2-2教学课件4_3_1《函数的单调性与导数》 33页

4.3.1 函数的单调性与导数 （ 4 ） . 对数函数的导数 : （ 5 ） . 指数函数的导数 : （ 3 ） . 三角函数 ： （ 1 ） . 常函数： ( C ) /  0 , ( c 为常数 ) ； （ 2 ） . 幂函数 ： ( x n ) /  nx n 1 一、复习回顾：基本初等函数的导数公式 函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1 、 x 2 ∈G 且 x 1 ＜ x 2 时 函数单调性判定 单调函数的图象特征 y x o a b y x o a b 1 ）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 ) ， 则 f ( x ) 在 G 上是增函数 ； 2 ）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 ) ， 则 f ( x ) 在 G 上是减函数 ； 若 f(x) 在 G 上是增函数或减函数， 增函数 减函数 则 f(x) 在 G 上具有严格的单调性。 G 称为 单调区间 G = ( a , b ) 二、复习引入 : o y x y o x 1 o y x 1 在 （－ ∞ ， 0 ）和（ 0, ＋∞） 上分别是减函数。 但在定义域上不是减函数。 在（－ ∞ ， 1 ）上是减函数，在（ 1, ＋∞）上是增函数。 在 ( － ∞ , ＋∞ ) 上是增函数 概念回顾 画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间 (1) 函数的单调性也叫函数的增减性； (2) 函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个 区间是定义域的子集。 (3) 单调区间：针对自变量 x 而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增 区 间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前 , 我们用定义来判断函数的单调性 . 在假设 x 1 ( 或 <)0 ，则 f ( x ) 为单调递增 ( 或递减 ) 函数．但要特别注意， f ( x ) 为单调递增 ( 或递减 ) 函数，则 f ′ ( x ) ≥ ( 或 ≤ )0. 1. 对 x∈(a,b), 如果 f / (x)≥0, 但 f / (x) 不恒 为 0, 则 f(x) 在区间 (a,b) 上是增函数 ; 2. 对 x∈(a,b), 如果 f / (x)≤0, 但 f / (x) 不恒 为 0, 则 f(x) 在区间 (a,b) 上是减函数 ; 补充结论 例 1 已知导函数 的下列信息 : 当 1 < x < 4 时 , 当 x > 4 , 或 x < 1 时 , 当 x = 4 , 或 x = 1 时 , 试画出函数 的图象的大致形状 . 解 : 当 1 < x < 4 时 , 可知 在此区间内单调递增 ; 当 x > 4 , 或 x < 1 时 , 可知 在此区间内单调递减 ; 当 x = 4 , 或 x = 1 时 , 综上 , 函数 图象的大致形状如右图所示 . x y O 1 4 A 练习 1 例 2 判断下列函数的单调性 , 并求出单调区间 : 解 : (1) 因为 , 所以 因此 , 函数 在 上单调递增 . (2) 因为 , 所以 当 , 即 时 , 函数 单调递增 ; 当 , 即 时 , 函数 单调递减 . 例 2 判断下列函数的单调性 , 并求出单调 区间 : 解 : (3) 因为 , 所以 因此 , 函数 在 上单调递减 . (4) 因为 , 所以 当 , 即 时 , 函数 单调递增 ; 当 , 即 时 , 函数 单调递减 . 1 、求可导函数 f(x) 单调区间的步骤： (1) 求 f’(x) (2) 解不等式 f’(x)>0( 或 f’(x)<0) (3) 确认并指出递增区间（或递减区间） 2 、证明可导函数 f(x) 在 (a,b) 内的单调性的方法： (1) 求 f’(x) (2) 确认 f’(x) 在 (a,b) 内的符号 (3) 作出结论 练习 2. 判断下列函数的单调性 , 并求出单调区间 : 例 3 如图 , 水以常速 ( 即单位时间内注入水的体积相同 ) 注入下面四种底面积相同的容器中 , 请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象 . (A) (B) (C) (D) h t O h t O h t O h t O 例 3 、如图，水以常速 ( 即单位时间内注入水的体积相同 ) 注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度 h 与时间 t 的函数关系图象。 一般地 , 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大 , 那么函数在这个范围内变化得快 , 这时 , 函数的图象就比较 “ 陡峭 ” ( 向上或向下 ) ; 反之 , 函数的图象就 “ 平缓 ” 一些 . 如图 , 函数 在 或 内的图象 “ 陡峭 ” , 在 或 内的图象 平缓 . 练习 3. 函数 的图象如图所示 , 试画出导函数 图象 的大致形状 （课本例 1P33 ，注意分类讨论 ) 讨论二次函数 的单调区间 . 解 : 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地 , 函数的递减区间是 由 , 得 , 即函数 的递增区间是 ; 相应地 , 函数的递减区间是 练习 4. 求证 : 函数 在 内是 减函数 . 解 : 由 , 解得 , 所以函数 的递减区间是 , 即函数 在 内是减函数 . (1) 函数单调性与导数正负的关系 课堂小结 (2) 利用导数研究函数单调性的步骤 注：已知函数单调性求参数范围 由函数的单调性求参数的取值范围，这类问题一般已知 f ( x ) 在区间 I 上单调递增 ( 递减 ) ，等价于不等式 f ′( x )≥0( f ′( x )≤0) 在区间 I 上恒成立，然后可借助分离参数等方法求出参数的取值范围． 增例 2 ： 解：由已知得 因为函数在（ 0 ， 1] 上单调递增 增例 2 ： 在某个区间上， ， f （ x ）在这个区间上单调递增 （递减）；但由 f （ x ）在这个区间上单调递增（递减）而 仅仅得到 是不够的。还有可能导数等于 0 也能使 f （ x ）在这个区间上单调， 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证 增例 2 ： 本题用到一个重要的转化： 例 3 【 思路点拨 】 　先求出导函数，再令 f ′ ( x ) ≥ 0 在 [2 ，＋ ∞ ) 上恒成立，利用分离参数法求得 a 的范围．注意验证 a 取等号结论是否仍成立． 变式训练 1 ： 变式训练 2 　已知函数 f ( x ) ＝ x 3 － ax － 1 ，是否存在实数 a ，使 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减？若存在，求出 a 的取值范围；若不存在，说明理由． 解： 存在． ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － a ， 又 f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减， ∴ f ′ ( x ) ≤ 0 在 ( － 1,1) 上恒成立， 即 3 x 2 － a ≤ 0 在 ( － 1,1) 上恒成立． ∴ a ≥ 3 x 2 在 ( － 1,1) 上恒成立， 又 0 ≤ 3 x 2 <3 ， ∴ a ≥ 3 ， 经验证当 a ＝ 3 时， f ( x ) 在 ( － 1,1) 上单调递减， 故存在实数 a ≥ 3 满足条件． 增例 3 ：方程根的问题 求证：方程 只有一个根。 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习 . 《 完全解读 》 ， 《 同步导学 》 再见！ 作业 P36 习题 7 上交 1 ， 3 思考 2