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- 2021-06-17 发布
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- 1 -
微专题 03 利用数轴解决集合运算问题
数形结合是解决高中数学问题的常用手段,其优点在于通过图形能够直观的观察到某些
结果,与代数的精确性结合,能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中,涉及到单
变量的取值范围,数轴就是一个非常好用的工具,本文将以一些题目为例,来介绍如何使用
数轴快速的进行集合的交并运算。
一、基础知识:
1、集合运算在数轴中的体现:
在数轴上表示为 表示区域的公共部分
在数轴上表示为 表示区域的总和
在数轴上表示为 中除去 剩下的部分(要注意边界值能否取到)
2、问题处理时的方法与技巧:
(1)涉及到单变量的范围问题,均可考虑利用数轴来进行数形结合,尤其是对于含有参数的
问题时,由于数轴左边小于右边,所以能够以此建立含参数的不等关系
(2)在同一数轴上作多个集合表示的区间时,可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区
域。
(3)涉及到多个集合交并运算时,数轴也是得力的工具,从图上可清楚的看出公共部分和集
合包含区域。交集即为公共部分,而并集为覆盖的所有区域
(4)在解决含参数问题时,作图可先从常系数的集合(或表达式)入手,然后根据条件放置
参数即可
3、作图时要注意的问题:
(1)在数轴上作图时,若边界点不能取到,则用空心点表示;若边界点能够取到,则用实心
点进行表示,这些细节要在数轴上体现出来以便于观察
(2)处理含参数的问题时,要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、例题精析:
例 1:(2009 安徽)集合 ,则
=_______
思路:先解出 的解集, ,作
出数轴,则 即为它们的公共部分。
答案:
例 2:设集合 ,则 的取值范围是____
思路:可解出 ,而 集合含有参数,作出数轴,先从容易作图的集
合做起,即画出 的范围,由于 ,而数轴上有一部分
:A B ,A B
:A B ,A B
:UC A U A
2 12 1 3 , 03
xA x x B x x
A B
,A B 11,2 , , 3,2A B
A B
11, 2A B
11, 2A B
2 3 , | 8 ,S x x T x a x a S T R a
, 1 5,S T
S S T R
- 2 -
区域没有被 包含,那说明 集合负责补 空缺的部分,由于参数决定其端点位置,所以画出
图像,有图像观察可得只需要: 即可,解得:
答案:
小炼有话说:(1)含有参数的问题时,可考虑参数所起到的作用,在本题中参数决定 区间
的端点
(2)含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像,再按要求放置含参的集合
(3)注意考虑端点处是否可以重合,通常采取验证的方法,本题若 或 ,则端
点处既不在 里,也不在 里,不符题意。
例 3:对于任意的 ,满足 恒成立的所有实数 构成集合 ,
使不等式 的解集是空集的所有实数 构成集合 ,则 ______
思路:先利用已知条件求出 ,再利用数轴画出 的范围即可
解:由 ① 恒成立,可得:
当 即 时,①变为: 恒成立
当 时,若要①恒成立,则
解集为空等价于:
设
即
小炼有话说:本题更多考察的地方在于 集合的求解。 集合要注意 的情况,而
不能默认为二次不等式, 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并
运算时,数轴将成为一个非常直观的工具,作图时要注意端点值的开闭。
S T S
1
8 5
a
a
3 1a
3 1a
T
3a 1a
S T
x R 22 2 2 4 0a x a x a A
4 3x x a a B RA C B
,A B RA C B
22 2 2 4 0a x a x
2 0a 2a 4 0
2a
2
2 0
2 2
4 2 16 2 0
a
a
a a
2,2A
4 3x x a , 4 3x R x x a
min4 3a x x
2 7, 4
4 3 1, 3 4
7 2 , 3
x x
f x x x x
x x
min 1f x 1a ,1B
1,RC B
1,2RA C B
,A B A 2 0a
B
- 3 -
例 4:已知集合 ,若
,则实数 的取值范围为
思路:先解出 的解集, 意味着 有公共部分,利用数轴可标注集合 两端
点的位置,进而求出 的范围
解:
当 时,
当 时, 恒成立
当 时,
且
例 5:已知 ,当“ ”是“ ”
的充分不必要条件,则 的取值范围是__________
思路: 为两个不等式的解集,因为“ ”是“ ”的充分不必要条件,所以 是
的真子集。考虑解出两个不等式的解集,然后利用数轴求出 的范围即可
解:
由 是 的真子集可得:
0)12(,311 22 mmxmxxBxxxA
A B m
,A B A B ,A B B
m
1 1 3x x
1x 31 1 3 2x x x 31 2x
1 1x 1 1 3 2 3x x
1x 31 1 3 2x x x 3 12 x
3 3,2 2A
2 2(2 1) 0x m x m m
1 0x m x m 1m x m
A B
31 2m 3
2m
5 3,2 2m
2| 5 2 1 , |A x x x B x x ax x a x A x B
a
,A B x A x B A
B a
2
5 0
5 2 1 1 0 1 3
5 2 1
x
x x x x
x x
1,3A
2 2 1 0x ax x a x a x a
1 0x x a
A B 3a
- 4 -
答案:
小炼有话说:1、熟悉充分必要条件与集合的联系: 是 的充分不必要条件 对应集合
是 对应集合 的真子集
2、处理含参问题时,秉承“先常数再参数”的顺序分析,往往可利用所得条件对参数范围加
以限制,减少分类讨论的情况。例如在本题中,若先处理 ,则解不等式面临着分类讨论的
问题。但先处理 之后,结合数轴会发现只有图中一种情况符合,减掉了无谓的讨论。
例 6:已知函数 ,对 ,使
得 成立,则实数 的取值范围是__________
思路:任取 ,则 取到 值域中的每一个元素,依题意,存在 使得
,意味着 值域中的每一个元素都在 的值域中,即 的值域为
的值域的子集,分别求出两个函数值域,再利用子集关系求出 的范围
解: 时, 时,
对于 ,分三种情况讨论
当 时,
当 时, ,符合题意
当 时,
综上所述:
答案:
3,a
p q p P
q Q
B
A
2
2 1,0 2( ) 1,
, 2 0
x xg x ax f x
x x
1 22,2 , 2,2x x
1 2g x f x a
1 2,2x 1g x g x 2x
1 2g x f x g x f x g x
f x a
2 0,2x 2 0,3f x 2 2,0x 2 4,0f x
2 4,3f x
g x
0a 2 1,2 1g x a a 2 1 4 12 1 3
a aa
0,1a
0a 1g x
0a 2 1, 2 1g x a a 2 1 4 12 1 3
a aa
1,0a
1,1a
1,1a
- 5 -
例 7:已知集合 ,若 ,
则 ________
思路:本题主要考察如何根据所给条件,在数轴上标好集合 的范围。从而确定出 的值,
如图所示:可得 ,所以
答案:
例 8 : 设
,
,求
思路: 集合的不等式解集为 ,集合 为一
元二次不等式的解集,由题意可知 ,设
的 两 根 为 , 则 , 在 数 轴 上 作 图 并 分 析 后 两 个 条 件 :
说明 将 集合覆盖数轴的漏洞堵上了, 说
明 与 的公共部分仅有 ,左侧没有公共部分,从而 的位置只能如此(如
图),可得: ,由韦达定理可得:
例 9:在 上定义运算 ,若关于 的不等式 的解集是
的子集,则实数 a 的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
思路:首先将 变为传统不等式: ,
不等式含有参数 ,考虑根据条件对 进行分类讨论。设解集为 ,因为 ,所以
首先解集要分空集与非空两种情况:当 时,则 ;当 时,根据 的取值分
类讨论计算出解集后再根据数轴求出 的范围即可
解:
| 2 1 , |A x x x B x a x b 或 , 2,4A B R A B
b
a
B ,a b
1, 4a b 4b
a
4
2 2| 2 1 0 , | 0 , | 2 0A x x x x B x x ax b A B x x
|1 3A B x x ,a b
A 2, 1 1, B
B 2 0x ax b
1 2 1 2,x x x x 1 2,B x x
| 2 0A B x x B A |1 3A B x x
B A 1,3 1 2,B x x
1 21, 3x x 2, 3a b
R : 2
xx y y x ( 1 ) 0x x a
{ | 2 2, }x x x R
2 2a 1 2a 3 1a 1 1a 3 1a
( 1 ) 0x x a 1 0 01
xx x a x a
a a A 2,2A
A 1a A a
a
1 0 0 02 1 1
x xx x a x a x a
- 6 -
设解集为
当 时,则
当 时:
若 时,
若 时,
综上所述:
答案:D
例 10:已知 ,若关于 的不等式 的解集中的整
数恰有 3 个,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:所解不等式为 ,可以考虑两边平方 后
去 掉 绝 对 值 , 因 式 分 解 可 得 :
,由题意中含 3 个 整
数解可得:解集应该为封闭区间,所以 的系数均大 于
零,即 ,另一方面,解集区间内有 3 个
整
数 ,从 端 点 作 为 突 破 口 分 析 ,两个 端 点 为
,因为 ,所以 ,进而结合数轴分析可得三个
整 数 解 为 , 所 以 另 一 个 端 点 的 取 值 范围为
① , 而
②,所以只要①②有交集,则可找到符合条
件 的 , 结 合 数 轴 可 得 : , 求 出
答案:
三、近年模拟题题目精选:
1、(2016 四川高三第一次联考)已知集合 ,
若 ,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
2、(2014 吉林九校二模,1)已知 ,则
A
A 1a
A
1 0 1a a 0, 1 2,2A a
1 2a 1a
1 1a
1 0 1a a 1,0 2,2A a
1 2a 3a
3 1a
3,1a
(0 1 )f x mx x n n m x 0f x
m
3 6m 1 3m 0 1m 1 0m
mx x n
1 1 0m x n m x n x
1 0 11 0
m mm
,1 1
n nx xm m 0 1n m 0,11
nx m
0, 1, 2
3 2 2 1 3 11
n m n mm
0 1n m
,n m 2 1 1m m
1,3m
1,3m
| 2, , | 1 ,M x x x R N x x a a R
N M a
0 1a 1a 1a 0 1a
| 1 2 , | 3M x x N x x RC M N
- 7 -
( )
A. B. C. D.
3、(重庆八中半月考,1)设全集为 ,集合 ,则
( )
A. B. C. D.
4 、 已 知 函 数 的 定 义 域 为 , 的 定 义 域 为 , 则
( )
A. B. C. D.
5、(2014,浙江) 已知集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
6、(2014,山东)设集合 ,则 ( )
A. B. C. D.
7、设集合 ,若 ,则实数 的取
值范围是_________
8、已知全集 ,集合 ,那么集合
( )
A. B. C. D.
9 、若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 的取值范围是
_______.
2,3 2,3 , 1 2,3 , 1 2,3
R 12 , 01A x x B x x
A B
2,2 2,1 1,2 2,
22
xf x
x
M ln 1g x x N
RM C N
, 2 2, 2, , 2
2| 2 0 , |1 2P x x x Q x x RC P Q
0,1 0,2 1,2 1,2
| 1 2 , | 2 , 0,2xA x x B y y x A B
0,2 1,3 1,4 1,3
| 2 3 7 , | 1 2 1A x x B x m x m A B A m
U R 2| 3 4 0 , | 2 8xA x x x B x UC A B
3,4 4, 3,4 3,4
x 22)12( axx a
- 8 -
习题答案:
1、答案:B
解析:若 ,则 符合题意,若 ,则 符合题意,当 时,解得:
,由 可知: ,综上可得:
2、答案:D
解析: ,在数轴上标出 的区域即可得出
3、答案:C
解析:分别解出 中的不等式, ,所以
4、答案:A
解 析 : 的 定 义 域 : , 的 定 义 域 :
,所以 ,
5、答案:C
解析:解出 中不等式: 或 ,所以 ,则
6、答案:D
解析:集合 为解不等式: ,集合 为函数的值域,
由 可知 ,所以
7、答案:
解 析 : 集 合 为 , 由 可 知 ; 当 时 , 可 得
, 当 时 , 结 合 数 轴 可 得 : 即
,综上可得: 的取值范围是
8、答案:C
解析: 或
0a N 0a 1N 0a
2,2 , 1, 1M N a a N M 1 2 0 11 2
a aa
1a
, 1 2,RC M ,RC M N RC M N
,A B : 2 2, : 1A x B x 1,2A B
f x 22 0 2, 2x M g x
1 0 1,x N , 1RC N , 2RM C N
P 0x 2x 0,2RC P 1,2RC P Q
A 1 2 2 1 2 1,3x x x B
0,2x 1,4y 1,3A B
3m
A 2,5 A B A B A B
1 2 1 2m m m B
1 2 1 2
1 2 3
2 1 5 3
m m m
m m
m m
2 3m m 3m
2 3 4 0 4x x x 1x , 1 4,A
1,4UC A
2 8 3x x 3,B 3,4UC A B
- 9 -
9、答案:
解 析 : 因 为 不 等 式 等 价 于 , 其 中 中 的
, 且 有 , 故 , 不 等 式 的 解 集 为 ,
则一定有 1,2,3 为所求的整数解集。所以 ,解得 的范围
为
25 49,9 16a
014)4( 2 xxa 014)4( 2 xxa
04 a 04 a 40 a
a
x
a
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
a
4
2
13
a
a
)16
49,9
25(