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  • 2021-06-17 发布

高中数学讲义微专题03 利用数轴解决集合运算问题

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- 1 - 微专题 03 利用数轴解决集合运算问题 数形结合是解决高中数学问题的常用手段,其优点在于通过图形能够直观的观察到某些 结果,与代数的精确性结合,能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中,涉及到单 变量的取值范围,数轴就是一个非常好用的工具,本文将以一些题目为例,来介绍如何使用 数轴快速的进行集合的交并运算。 一、基础知识: 1、集合运算在数轴中的体现: 在数轴上表示为 表示区域的公共部分 在数轴上表示为 表示区域的总和 在数轴上表示为 中除去 剩下的部分(要注意边界值能否取到) 2、问题处理时的方法与技巧: (1)涉及到单变量的范围问题,均可考虑利用数轴来进行数形结合,尤其是对于含有参数的 问题时,由于数轴左边小于右边,所以能够以此建立含参数的不等关系 (2)在同一数轴上作多个集合表示的区间时,可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区 域。 (3)涉及到多个集合交并运算时,数轴也是得力的工具,从图上可清楚的看出公共部分和集 合包含区域。交集即为公共部分,而并集为覆盖的所有区域 (4)在解决含参数问题时,作图可先从常系数的集合(或表达式)入手,然后根据条件放置 参数即可 3、作图时要注意的问题: (1)在数轴上作图时,若边界点不能取到,则用空心点表示;若边界点能够取到,则用实心 点进行表示,这些细节要在数轴上体现出来以便于观察 (2)处理含参数的问题时,要检验参数与边界点重合时是否符合题意。 二、例题精析: 例 1:(2009 安徽)集合 ,则 =_______ 思路:先解出 的解集, ,作 出数轴,则 即为它们的公共部分。 答案: 例 2:设集合 ,则 的取值范围是____ 思路:可解出 ,而 集合含有参数,作出数轴,先从容易作图的集 合做起,即画出 的范围,由于 ,而数轴上有一部分 :A B ,A B :A B ,A B :UC A U A   2 12 1 3 , 03 xA x x B x x         A B ,A B    11,2 , , 3,2A B           A B 11, 2A B       11, 2A B          2 3 , | 8 ,S x x T x a x a S T R        a    , 1 5,S     T S S T R - 2 - 区域没有被 包含,那说明 集合负责补 空缺的部分,由于参数决定其端点位置,所以画出 图像,有图像观察可得只需要: 即可,解得: 答案: 小炼有话说:(1)含有参数的问题时,可考虑参数所起到的作用,在本题中参数决定 区间 的端点 (2)含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像,再按要求放置含参的集合 (3)注意考虑端点处是否可以重合,通常采取验证的方法,本题若 或 ,则端 点处既不在 里,也不在 里,不符题意。 例 3:对于任意的 ,满足 恒成立的所有实数 构成集合 , 使不等式 的解集是空集的所有实数 构成集合 ,则 ______ 思路:先利用已知条件求出 ,再利用数轴画出 的范围即可 解:由 ① 恒成立,可得: 当 即 时,①变为: 恒成立 当 时,若要①恒成立,则 解集为空等价于: 设 即 小炼有话说:本题更多考察的地方在于 集合的求解。 集合要注意 的情况,而 不能默认为二次不等式, 集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并 运算时,数轴将成为一个非常直观的工具,作图时要注意端点值的开闭。 S T S 1 8 5 a a      3 1a    3 1a    T 3a   1a   S T x R    22 2 2 4 0a x a x     a A 4 3x x a    a B  RA C B  ,A B RA C B    22 2 2 4 0a x a x     2 0a   2a  4 0  2a     2 2 0 2 2 4 2 16 2 0 a a a a             2,2A   4 3x x a    , 4 3x R x x a       min4 3a x x      2 7, 4 4 3 1, 3 4 7 2 , 3 x x f x x x x x x              min 1f x  1a   ,1B    1,RC B    1,2RA C B  ,A B A 2 0a   B - 3 - 例 4:已知集合 ,若 ,则实数 的取值范围为 思路:先解出 的解集, 意味着 有公共部分,利用数轴可标注集合 两端 点的位置,进而求出 的范围 解: 当 时, 当 时, 恒成立 当 时, 且 例 5:已知 ,当“ ”是“ ” 的充分不必要条件,则 的取值范围是__________ 思路: 为两个不等式的解集,因为“ ”是“ ”的充分不必要条件,所以 是 的真子集。考虑解出两个不等式的解集,然后利用数轴求出 的范围即可 解: 由 是 的真子集可得:    0)12(,311 22  mmxmxxBxxxA A B   m ,A B A B   ,A B B m 1 1 3x x    1x  31 1 3 2x x x      31 2x   1 1x   1 1 3 2 3x x      1x   31 1 3 2x x x       3 12 x    3 3,2 2A       2 2(2 1) 0x m x m m        1 0x m x m     1m x m    A B    31 2m    3 2m  5 3,2 2m           2| 5 2 1 , |A x x x B x x ax x a        x A x B a ,A B x A x B A B a      2 5 0 5 2 1 1 0 1 3 5 2 1 x x x x x x x                 1,3A   2 2 1 0x ax x a x a x a          1 0x x a    A B 3a  - 4 - 答案: 小炼有话说:1、熟悉充分必要条件与集合的联系: 是 的充分不必要条件 对应集合 是 对应集合 的真子集 2、处理含参问题时,秉承“先常数再参数”的顺序分析,往往可利用所得条件对参数范围加 以限制,减少分类讨论的情况。例如在本题中,若先处理 ,则解不等式面临着分类讨论的 问题。但先处理 之后,结合数轴会发现只有图中一种情况符合,减掉了无谓的讨论。 例 6:已知函数 ,对 ,使 得 成立,则实数 的取值范围是__________ 思路:任取 ,则 取到 值域中的每一个元素,依题意,存在 使得 ,意味着 值域中的每一个元素都在 的值域中,即 的值域为 的值域的子集,分别求出两个函数值域,再利用子集关系求出 的范围 解: 时, 时, 对于 ,分三种情况讨论 当 时, 当 时, ,符合题意 当 时, 综上所述: 答案:  3,a  p q  p P q Q B A   2 2 1,0 2( ) 1, , 2 0 x xg x ax f x x x              1 22,2 , 2,2x x         1 2g x f x a  1 2,2x    1g x  g x 2x    1 2g x f x  g x  f x  g x  f x a  2 0,2x     2 0,3f x   2 2,0x      2 4,0f x      2 4,3f x    g x 0a     2 1,2 1g x a a    2 1 4 12 1 3 a aa          0,1a  0a    1g x  0a     2 1, 2 1g x a a    2 1 4 12 1 3 a aa          1,0a    1,1a   1,1a  - 5 - 例 7:已知集合 ,若 , 则 ________ 思路:本题主要考察如何根据所给条件,在数轴上标好集合 的范围。从而确定出 的值, 如图所示:可得 ,所以 答案: 例 8 : 设 , ,求 思路: 集合的不等式解集为 ,集合 为一 元二次不等式的解集,由题意可知 ,设 的 两 根 为 , 则 , 在 数 轴 上 作 图 并 分 析 后 两 个 条 件 : 说明 将 集合覆盖数轴的漏洞堵上了, 说 明 与 的公共部分仅有 ,左侧没有公共部分,从而 的位置只能如此(如 图),可得: ,由韦达定理可得: 例 9:在 上定义运算 ,若关于 的不等式 的解集是 的子集,则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. 或 D. 思路:首先将 变为传统不等式: , 不等式含有参数 ,考虑根据条件对 进行分类讨论。设解集为 ,因为 ,所以 首先解集要分空集与非空两种情况:当 时,则 ;当 时,根据 的取值分 类讨论计算出解集后再根据数轴求出 的范围即可 解:    | 2 1 , |A x x x B x a x b      或  , 2,4A B R A B   b a  B ,a b 1, 4a b   4b a   4        2 2| 2 1 0 , | 0 , | 2 0A x x x x B x x ax b A B x x             |1 3A B x x   ,a b A    2, 1 1,   B B   2 0x ax b    1 2 1 2,x x x x  1 2,B x x  | 2 0A B x x   B A  |1 3A B x x   B A  1,3  1 2,B x x 1 21, 3x x   2, 3a b    R : 2 xx y y    x ( 1 ) 0x x a    { | 2 2, }x x x R    2 2a   1 2a   3 1a    1 1a   3 1a   ( 1 ) 0x x a       1 0 01 xx x a x a       a a A  2,2A   A   1a   A   a a      1 0 0 02 1 1 x xx x a x a x a            - 6 - 设解集为 当 时,则 当 时: 若 时, 若 时, 综上所述: 答案:D 例 10:已知 ,若关于 的不等式 的解集中的整 数恰有 3 个,则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. 解:所解不等式为 ,可以考虑两边平方 后 去 掉 绝 对 值 , 因 式 分 解 可 得 : ,由题意中含 3 个 整 数解可得:解集应该为封闭区间,所以 的系数均大 于 零,即 ,另一方面,解集区间内有 3 个 整 数 ,从 端 点 作 为 突 破 口 分 析 ,两个 端 点 为 ,因为 ,所以 ,进而结合数轴分析可得三个 整 数 解 为 , 所 以 另 一 个 端 点 的 取 值 范围为 ① , 而 ②,所以只要①②有交集,则可找到符合条 件 的 , 结 合 数 轴 可 得 : , 求 出 答案: 三、近年模拟题题目精选: 1、(2016 四川高三第一次联考)已知集合 , 若 ,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 2、(2014 吉林九校二模,1)已知 ,则 A A   1a   A   1 0 1a a        0, 1 2,2A a    1 2a   1a  1 1a   1 0 1a a        1,0 2,2A a    1 2a    3a   3 1a     3,1a    (0 1 )f x mx x n n m      x   0f x  m 3 6m  1 3m  0 1m  1 0m   mx x n     1 1 0m x n m x n           x 1 0 11 0 m mm       ,1 1 n nx xm m    0 1n m    0,11 nx m   0, 1, 2     3 2 2 1 3 11 n m n mm          0 1n m   ,n m  2 1 1m m    1,3m  1,3m    | 2, , | 1 ,M x x x R N x x a a R       N M a 0 1a  1a  1a  0 1a     | 1 2 , | 3M x x N x x       RC M N  - 7 - ( ) A. B. C. D. 3、(重庆八中半月考,1)设全集为 ,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 4 、 已 知 函 数 的 定 义 域 为 , 的 定 义 域 为 , 则 ( ) A. B. C. D. 5、(2014,浙江) 已知集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 6、(2014,山东)设集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 7、设集合 ,若 ,则实数 的取 值范围是_________ 8、已知全集 ,集合 ,那么集合 ( ) A. B. C. D. 9 、若关于 的不等式 的解集中整数恰好有 3 个,则实数 的取值范围是 _______.  2,3  2,3    , 1 2,3      , 1 2,3   R   12 , 01A x x B x x        A B   2,2  2,1  1,2  2,    22 xf x x   M    ln 1g x x  N  RM C N   , 2 2,   2,   , 2     2| 2 0 , |1 2P x x x Q x x       RC P Q   0,1  0,2  1,2  1,2     | 1 2 , | 2 , 0,2xA x x B y y x      A B   0,2  1,3  1,4  1,3    | 2 3 7 , | 1 2 1A x x B x m x m        A B A m U R    2| 3 4 0 , | 2 8xA x x x B x       UC A B   3,4  4,  3,4  3,4 x 22)12( axx  a - 8 - 习题答案: 1、答案:B 解析:若 ,则 符合题意,若 ,则 符合题意,当 时,解得: ,由 可知: ,综上可得: 2、答案:D 解析: ,在数轴上标出 的区域即可得出 3、答案:C 解析:分别解出 中的不等式, ,所以 4、答案:A 解 析 : 的 定 义 域 : , 的 定 义 域 : ,所以 , 5、答案:C 解析:解出 中不等式: 或 ,所以 ,则 6、答案:D 解析:集合 为解不等式: ,集合 为函数的值域, 由 可知 ,所以 7、答案: 解 析 : 集 合 为 , 由 可 知 ; 当 时 , 可 得 , 当 时 , 结 合 数 轴 可 得 : 即 ,综上可得: 的取值范围是 8、答案:C 解析: 或 0a  N   0a   1N  0a     2,2 , 1, 1M N a a     N M 1 2 0 11 2 a aa         1a     , 1 2,RC M     ,RC M N  RC M N ,A B : 2 2, : 1A x B x     1,2A B   f x  22 0 2, 2x M      g x  1 0 1,x N       , 1RC N       , 2RM C N   P 0x  2x   0,2RC P     1,2RC P Q  A  1 2 2 1 2 1,3x x x          B  0,2x   1,4y   1,3A B  3m  A  2,5 A B A B A B   1 2 1 2m m m     B   1 2 1 2 1 2 3 2 1 5 3 m m m m m m m                   2 3m  m 3m  2 3 4 0 4x x x     1x      , 1 4,A      1,4UC A   2 8 3x x    3,B      3,4UC A B  - 9 - 9、答案: 解 析 : 因 为 不 等 式 等 价 于 , 其 中 中 的 , 且 有 , 故 , 不 等 式 的 解 集 为 , 则一定有 1,2,3 为所求的整数解集。所以 ,解得 的范围 为 25 49,9 16a     014)4( 2  xxa 014)4( 2  xxa 04  a 04  a 40  a a x a    2 1 2 1 2 1 2 1 4 1    a 4 2 13    a a )16 49,9 25(

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