专题07+导数及其应用（仿真押题）-2018年高考数学（文）命题猜想与仿真押题 15页

‎1．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：‎ ‎①函数y＝f(x)在区间内单调递增；‎ ‎②函数y＝f(x)在区间内单调递减；‎ ‎③函数y＝f(x)在区间 (4,5)内单调递增；‎ ‎④当x＝2时，函数y＝f(x)取极小值；‎ ‎⑤当x＝－时，函数y＝f(x)取极大值．‎ 则上述判断中正确的是(　　)‎ A．①②　　　　　　　　　B．②③‎ C．③④⑤ D．③‎ ‎ ‎ ‎2．若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．[1，＋∞) B．[1,2)‎ C. D. 解析：选C.f′(x)＝4x－＝，‎ ‎∵x＞0，由f′(x)＝0得x＝.‎ ‎∴令f′(x)＞0，得x＞；令f′(x)＜0，得0＜x＜.‎ 由题意得⇒1≤k＜.故C正确．x ‎3．已知函数f(x)(x∈R)满足f′(x)＞f(x)，则(　　)‎ A．f(2)＜e2f(0) B．f(2)≤e2f(0)‎ C．f(2)＝e2f(0) D．f(2)＞e2f(0)‎ 解析：选D.由题意构造函数g(x)＝，则g′(x)＝＞0，则g(x)＝在R上单调递增，则有g(2)＞g(0)，故f(2)＞e2f(0)．‎ ‎4．不等式ex－x＞ax的解集为P，且[0,2]⊆P，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，e－1) B．(e－1，＋∞)‎ C．(－∞，e＋1) D．(e＋1，＋∞)‎ ‎5．设函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax＋，它们的图象在x轴上的公共点处有公切线，则当x＞1时，f(x)与g(x)的大小关系是(　　)‎ A．f(x)＞g(x)‎ B．f(x)＜g(x)‎ C．f(x)＝g(x)‎ D．f(x)与g(x)的大小关系不确定 解析：选B.由题意得f(x)与x轴的交点(1,0)在g(x)上，所以a＋b＝0，因为函数f(x)，g(x)的图象在此公共点处有公切线，所以f(x)，g(x)在此公共点处的导数相等，f′(x)＝，g′(x)＝a－，以上两式在 x＝1时相等，即1＝a－b，又a＋b＝0，所以a＝，b＝－，即g(x)＝－，f(x)＝ln x，令h(x)＝f(x)－g(x)＝ln x－＋，则h′(x)＝－－＝＝－，因为x＞1，所以h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以h(x)＜h(1)＝0，所以f(x)＜g(x)．故选B.‎ ‎6．设函数f(x)＝ax3－x＋1(x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]都有f(x)≥0，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，2] B．[0，＋∞)‎ C．[0,2] D．[1,2]‎ 解析：选C.∵f(x)＝ax3－x＋1，∴f′(x)＝3ax2－1，‎ 当a＜0时，f′(x)＝3ax2－1＜0，f(x)在[－1,1]上单调递减，‎ f(x)min＝f(1)＝a＜0，不符合题意．‎ 当a＝0时，f(x)＝－x＋1，f(x)在[－1,1]上单调递减，f(x)min＝f(1)＝0，符合题意．‎ 当a＞0时，由f′(x)＝3ax2－1≥0，得x≥或x≤－，当0＜＜1，即a＞时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴＜a≤2；‎ 当≥1，即0＜a≤时，f(x)在[－1,1]上单调递减，‎ f(x)min＝f(1)＝a＞0，符合题意．‎ ‎7．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是(　　)‎ 解析：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.‎ 答案：D ‎8．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(　　)‎ A.e2 B．4e2‎ C．2e2 D．e2‎ 答案：D ‎9．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0,1)‎ B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)‎ C．(－1,0)∪(1，＋∞)‎ D．(－1,0)∪(0,1)‎ 解析：根据题意，设函数g(x)＝(x≠0)，当x>0时，g′(x)＝<0，说明函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，又f(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．‎ 答案：D ‎10．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为(　　)‎ A．2b－ B．b－ C．0 D．b2－b3‎ 解析：f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b0.‎ ‎ ‎ >0.‎ 当x>1时，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x>0，∴>0.‎ 综上可知，>0.‎ ‎13．已知函数f(x)＝x－＋a(2－ln x)(a>0)，求函数f(x)的单调区间与极值点．‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，x1)‎ x1‎ ‎(x1，x2)‎ x2‎ ‎(x2，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎  f(x1)‎  f(x2)‎  此时f(x)在(0，)上是增加的，在(，)上是减少的，在(，＋∞)上是增加的．x1＝是函数的极大值点，x2＝是函数的极小值点．‎ ‎14．已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，a∈R.‎ ‎(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程．‎ ‎(2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2有>a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 解析：(1)函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，f′(x)＝x－＋(a－2)＝(x>0)．当a＝1时，f′(x)＝，f′(1)＝－2，则所求的切线方程为y－f(1)＝－2(x－1)，即4x＋2y－3＝0.‎ ‎(2)假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0a知f(x2)－ax2>f(x1)－ax1成立，‎ 令g(x)＝f(x)－ax＝x2－2aln x－2x，则函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 则g′(x)＝x－－2≥0，即2a≤x2－2x＝(x－1)2－1在(0，＋∞)上恒成立，则a≤－.‎ 故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为.‎ ‎15．已知函数f(x)＝xln x－(x－1)(ax－a＋1)(a∈R)．‎ ‎(1)若a＝0，判断函数f(x)的单调性；‎ ‎(2)若x>1时，f(x)<0恒成立，求a的取值范围．‎ 由h′(x)＝0，得x1＝1，x2＝.‎ 若a<0，则x2＝<1＝x1，‎ ‎∴h′(x)>0在(1，＋∞)上恒成立，故h(x)为增函数，‎ ‎∴h(x)>h(1)＝0，不合题意．‎ 若00，h(x)为增函数，‎ ‎∴h(x)>h(1)＝0，不合题意，‎ 若a≥，x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)为减函数，‎ ‎∴h(x)1时，f(x)<0恒成立，则a≥.‎ ‎16．某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内，决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当16≤x≤24时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p＝2(x＋4t－14)(x≥16，t≥0)，q＝24＋8ln (16≤x≤24)．当p＝q时的市场价格称为市场平衡价格．‎ ‎(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域．‎ ‎(2)为使市场平衡价格不高于每千克20元，政府补贴至少为每千克多少元？‎ ‎17．已知函数f(x)＝.(a>0)‎ ‎(1)若a＝1，证明：y＝f(x)在R上单调递减；‎ ‎(2)当a>1时，讨论f(x)零点的个数．‎ 解析：(1)证明：当x≥1时，f′(x)＝－1≤0，f(x)在[1，＋∞)上单调递减，f(x)≤f(1)＝0；‎ 当x<1时，f′(x)＝ex－1－1<0，f(x)在(－∞，1)上单调递减，且此时f(x)>0.‎ 所以y＝f(x)在R上单调递减．‎ ‎(2)若x≥a，则f′(x)＝－a≤－a<0(a>1)，‎ 所以此时f(x)单调递减，令g(a)＝f(a)＝ln a－a2＋1，‎ 则g′(a)＝－2a<0，所以f(a)＝g(a)2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，‎ 又f(0)＝e－1>0，f<0，所以此时f(x)在上有一个零点．‎ ‎②当a＝2时，f(x)＝ex－1，此时f(x)在(－∞，2)上没有零点．‎ ‎③当10，‎ 所以此时f(x)没有零点．‎ 综上，当12时，f(x)有一个零点．‎ ‎18．设函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)．‎ ‎(1)判断f(x)的单调性；‎ ‎(2)当f(x)<0在(0，＋∞)上恒成立时，求a的取值范围；‎ ‎(3)证明：当x∈(0，＋∞)时，(1＋x)