2021高考数学大一轮复习单元质检四三角函数解三角形A理新人教A版 6页

单元质检四　三角函数、解三角形(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第7页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.下列函数中周期为π且为偶函数的是(　　)‎ A.y=sin‎2x-‎π‎2‎ B.y=cos‎2x-‎π‎2‎ C.y=sinx+‎π‎2‎ D.y=cosx+‎π‎2‎ 答案:A 解析:对于选项A,y=-cos2x,周期为π且是偶函数,所以选项A正确;‎ 对于选项B,y=sin2x,周期为π且是奇函数,所以选项B错误;‎ 对于选项C,y=cosx,周期为2π,所以选项C错误;‎ 对于选项D,y=-sinx,周期为2π,所以选项D错误.‎ 故答案:为A.‎ ‎2.在△ABC中,cos C‎2‎‎=‎‎5‎‎5‎,BC=1,AC=5,则AB=(　　)‎ A.4‎2‎ B.‎30‎ C.‎29‎ D.2‎‎5‎ 答案:A 解析:∵cosC=2cos2C‎2‎-1=-‎3‎‎5‎,‎ ‎∴在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25+2×1×5×‎3‎‎5‎=32.‎ ‎∴AB=4‎2‎.‎ ‎3.函数y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值为(　　)‎ A.π,0 B.2π,0‎ C.π,2-‎2‎ D.2π,2-‎‎2‎ 答案:C 解析:因为f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 6‎ ‎=1+sin2x+(1+cos2x)‎ ‎=2+‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,‎ 所以最小正周期为π,‎ 当sin‎2x+‎π‎4‎=-1时,取得最小值为2-‎2‎.‎ ‎4.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)‎|φ|<‎π‎2‎的图象过点(0,‎3‎),则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A.‎-π‎3‎,0‎ B.‎‎-π‎6‎,0‎ C.π‎6‎‎,0‎ D.‎π‎12‎‎,0‎ 答案:B 解析:由题意,得‎3‎=2sin(2×0+φ),即sinφ=‎3‎‎2‎.‎ 因为|φ|<π‎2‎,所以φ=π‎3‎.‎ 由2sin‎2x+‎π‎3‎=0,得2x+π‎3‎=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-π‎6‎,故选B.‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=‎1‎‎4‎(b2+c2-a2),则B=(　　)‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ 答案:C 解析:由正弦定理,得2R(sinAcosB+sinBcosA)=2RsinCsinC,于是sin(A+B)=sin2C,所以sinC=1,即C=π‎2‎,从而S=‎1‎‎2‎ab=‎1‎‎4‎(b2+c2-a2)=‎1‎‎4‎(b2+b2),解得a=b,‎ 所以B=45°.故选C.‎ ‎6.(2019河北沧州高三模拟)已知函数f(x)=‎3‎sin 2ωx-2sin2ωx+1(ω>0,x∈R),若f(x)在区间π‎2‎‎,π内没有零点,则ω的取值范围是(　　)‎ A.‎0,‎‎5‎‎6‎ B.‎‎0,‎‎1‎‎4‎‎∪‎‎3‎‎4‎‎,‎‎7‎‎8‎ 6‎ C.‎0,‎‎5‎‎12‎‎∪‎‎5‎‎6‎‎,‎‎11‎‎12‎ D.‎‎1‎‎4‎‎,‎‎7‎‎8‎ 答案:C 解析:由已知得,f(x)=‎3‎sin2ωx+cos2ωx=2sin‎2ωx+‎π‎6‎.‎ 因为π‎2‎0,所以π‎6‎+ωπ<2ωx+π‎6‎‎<‎π‎6‎+2ωπ.‎ 因为f(x)在区间π‎2‎‎,π内没有零点,‎ 所以T=‎2π‎2ω≥2×π-‎π‎2‎=π,‎ 所以ω≤1.‎ 所以π‎6‎‎+ωπ>π‎6‎,‎π‎6‎‎+2ωπ≤π或π‎6‎‎+ωπ≥π,‎π‎6‎‎+2ωπ≤2π,‎ 解得0<ω≤‎5‎‎12‎或‎5‎‎6‎≤ω≤‎11‎‎12‎.‎ 所以ω的取值范围是‎0,‎‎5‎‎12‎‎∪‎‎5‎‎6‎‎,‎‎11‎‎12‎.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.已知sin 2α=2-2cos 2α,则tan α=　　　　　. ‎ 答案:0或‎1‎‎2‎ 解析:∵sin2α=2-2cos2α=2-2(1-2sin2α)=4sin2α,‎ ‎∴2sinαcosα=4sin2α,‎ ‎∴sinα=0或cosα=2sinα,‎ 即tanα=0或tanα=‎1‎‎2‎.‎ ‎8.在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则bc‎+‎cb的最大值是　　　　　. ‎ 答案:‎‎5‎ 解析:∵AD为BC边上的高,且AD=a,‎ 6‎ ‎∴△ABC的面积S=‎1‎‎2‎a·a=‎1‎‎2‎bcsinA.‎ ‎∴sinA=a‎2‎bc.‎ 由余弦定理,得cosA=‎b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc ‎=‎1‎‎2‎bc‎+‎cb‎-‎a‎2‎‎2bc,‎ 故bc‎+‎cb=2a‎2‎‎2bc‎+cosA=sinA+2cosA=‎5‎sin(A+α),‎ 其中sinα=‎2‎‎5‎‎5‎,cosα=‎5‎‎5‎.‎ 当sin(A+α)=1时,bc‎+‎cb取到最大值‎5‎.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)已知角α的顶点与原点O重复,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎.‎ ‎(1)求sin(α+π)的值;‎ ‎(2)若角β满足sin(α+β)=‎5‎‎13‎,求cos β的值.‎ 解:(1)由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎,‎ 得sinα=-‎4‎‎5‎,所以sin(α+π)=-sinα=‎4‎‎5‎.‎ ‎(2)由角α的终边过点P‎-‎3‎‎5‎,-‎‎4‎‎5‎,‎ 得cosα=-‎3‎‎5‎,‎ 由sin(α+β)=‎5‎‎13‎,得cos(α+β)=±‎12‎‎13‎.‎ 由β=(α+β)-α,得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα,‎ 所以cosβ=-‎56‎‎65‎或cosβ=‎16‎‎65‎.‎ ‎10.(15分)(2019广东汕头高三二模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2‎2‎b=3(c-acos B).‎ ‎(1)求cos A;‎ 6‎ ‎(2)过点A作AD⊥AB交BC的延长线于点D,若CD=3,2AD=3AC,求△ACD的面积.‎ 解:(1)由正弦定理得,2‎2‎sinB=3(sinC-sinAcosB)‎ ‎=3[sin(A+B)-sinAcosB]‎ ‎=3(sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB)‎ ‎=3cosAsinB.‎ ‎∵B∈(0,π),∴sinB≠0,‎ ‎∴cosA=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ ‎(2)如图,‎ ‎∵cos∠BAC=‎2‎‎2‎‎3‎,‎ ‎∴sin∠BAC=‎1-cos‎2‎∠BAC‎=‎‎1‎‎3‎.‎ 又∠BAC+∠CAD=90°,‎ ‎∴cos∠CAD=sin∠BAC=‎1‎‎3‎,sin∠CAD=cos∠BAC=‎2‎‎2‎‎3‎.‎ 设AD=3x,x>0,则AC=2x.在△ACD中,由余弦定理,得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD,即9=4x2+9x2-2×2x·3x·‎1‎‎3‎.‎ 解得x=1.‎ ‎∴AD=3,AC=2,‎ ‎∴S△ACD=‎1‎‎2‎AC·ADsin∠CAD=‎1‎‎2‎×2×3×‎2‎‎2‎‎3‎=2‎2‎.‎ ‎11.(15分)已知函数f(x)=sin2ωx+‎3‎sin ωxsinωx+‎π‎2‎(ω>0)的最小正周期为π‎2‎.‎ ‎(1)求出函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎0,‎π‎3‎上的取值范围.‎ 解:(1)f(x)=‎1-cos2ωx‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎sin2ωx 6‎ ‎=‎3‎‎2‎sin2ωx-‎1‎‎2‎cos2ωx+‎‎1‎‎2‎ ‎=sin‎2ωx-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 因为T=π‎2‎,所以‎2π‎2ω‎=‎π‎2‎(ω>0),‎ 所以ω=2,‎ 即f(x)=sin‎4x-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 于是由2kπ-π‎2‎≤4x-π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得kπ‎2‎‎-‎π‎12‎≤x≤kπ‎2‎‎+‎π‎6‎(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ‎2‎‎-π‎12‎,kπ‎2‎+‎π‎6‎(k∈Z).‎ ‎(2)因为x∈‎0,‎π‎3‎,‎ 所以4x-π‎6‎‎∈‎‎-π‎6‎,‎‎7π‎6‎,‎ 所以sin‎4x-‎π‎6‎‎∈‎‎-‎1‎‎2‎,1‎,‎ 所以f(x)∈‎0,‎‎3‎‎2‎.‎ 故f(x)在区间‎0,‎π‎3‎上的取值范围是‎0,‎‎3‎‎2‎.‎ 6‎