2019高三数学文北师大版一轮单元评估检测2+函数、导数及其应用 11页

单元评估检测(二)　函数、导数及其应用 ‎(120分钟　150分)‎ ‎(对应学生用书第197页)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(2017·长沙模拟)设函数f(x)＝＋，则函数的定义域为(　　)‎ ‎【导学号：00090387】‎ ‎ A．　　　　　　 B． ‎ C．∪(0，＋∞) D． ‎ A ‎2．已知函数f(x)＝则f(f(4))的值为(　　)‎ ‎ A．－　　　 B．－9　　　‎ ‎ C．　　　 D．9‎ ‎ C ‎3．(2017·太原模拟)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)‎ ‎ A．b＜a＜c B．a＜c＜b ‎ C．c＜b＜a D．c＜a＜b ‎ D ‎4．下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是(　　)‎ ‎ A．y＝log2x B．y＝2x－1‎ ‎ C．y＝x2－2 D．y＝－x3‎ ‎ B ‎5．(2017·洛阳模拟)函数y＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　　)‎ ‎ A．1　　　　 B．2 ‎ ‎ C．3　　　　 D．4‎ ‎ C ‎6．(2017·珠海模拟)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝则g(f(－7))＝(　　)‎ ‎ A．3　　　 B．－3 ‎ ‎ C．2　　　 D．－2‎ ‎ D ‎7．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：‎ 销售单价(元)‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 日均销售量(件)‎ ‎400‎ ‎360‎ ‎320‎ ‎280‎ ‎240‎ ‎200‎ ‎160‎ ‎ 请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)‎ ‎ A．4　　　 B．5.5 ‎ ‎ C．8.5　　　 D．10‎ ‎ C ‎8．函数y＝的部分图象大致为(　　)‎ ‎ D ‎9．过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为(　　)‎ ‎ A．2x＋y＋2＝0 B．3x－y＋3＝0‎ ‎ C．x＋y＋1＝0 D．x－y＋1＝0‎ ‎ D ‎10．(2017·厦门模拟)已知a是常数，函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－ax＋2的导函数y＝f′(x)的图象如图1所示，则函数g(x)＝|ax－2|的图象可能是(　　)‎ 图1‎ ‎ D ‎11．若函数f(x)＝1＋＋sin x在区间[－k，k](k＞0)上的值域为[m，n]，则m＋n＝(　　)‎ ‎ A．0　　　　 B．1 ‎ ‎ C．2　　　　 D．4‎ ‎ D ‎12．(2017·商丘模拟)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f(x)＜1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)＞0，则函数y＝f(x)－sin x在[－3π，3π]上的零点个数为(　　)‎ ‎ A．4　　　　 B．5 ‎ ‎ C．6　　　　 D．8‎ ‎ C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13．已知幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)·xm＋1为奇函数，则不等式f(2x－3)＋f(x)＞0的解集为________．‎ ‎ (1，＋∞)‎ ‎14．已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R，若方程f(x)－a＝0恰有4个互异的实数根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.‎ ‎ －6‎ ‎15．已知函数f(x)＝ax(a＞0且a≠1)在区间[－1,2]上的最大值为8，最小值为m，若函数g(x)＝(3－10m)是单调增函数，则a＝________. ‎ ‎【导学号：00090388】‎ ‎ ‎16．(2017·岳阳模拟)某同学在研究函数f(x)＝＋的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f(x)变形为f(x)＝＋，则f(x)表示|PA|＋|PB|(如图2)，下列关于函数f(x)的描述正确的是________(填上所有正确结论的序号)‎ 图2‎ ‎①f(x)的图象是中心对称图形；‎ ‎②f(x)的图象是轴对称图形；‎ ‎③函数f(x)的值域为[，＋∞)；‎ ‎④方程f(f(x))＝1＋有两个解．‎ ‎②③‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(10分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0恒成立．‎ ‎(1)求F(x)的表达式．‎ ‎(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．‎ ‎(1)F(x)＝ ‎(2)(－∞，－2]∪[6，＋∞)‎ ‎18．(12分)已知实数x满足32x－4－·3x－1＋9≤0且f(x)＝log2·log.‎ ‎(1)求实数x的取值范围．‎ ‎(2)求f(x)的最大值和最小值，并求此时x的值．‎ ‎[解]　(1)由32x－4－·3x－1＋9≤0，‎ 得32x－4－10·3x－2＋9≤0，‎ 即(3x－2－1)(3x－2－9)≤0，‎ 所以1≤3x－2≤9,2≤x≤4.‎ ‎(2)因为f(x)＝log2·log＝(log2x－1)(log2x－2)＝(log2x)2－3log2x＋2＝2－，‎ 当log2x＝，即x＝2时，f(x)min＝－.‎ 当log2x＝1或log2x＝2，即x＝2或x＝4时，f(x)max＝0.‎ ‎19．(12分)(2017·咸宁模拟)设函数f(x)＝(ax＋b)ex，g(x)＝－x2＋cx＋d，若函数f(x)和g(x)的图象都过点P(0,1)，且在点P处有相同的切线y＝2x＋1.‎ ‎(1)求a，b，c，d的值．‎ ‎(2)当x∈[0，＋∞)时，判断函数h(x)＝f(x)－g(x)的单调性．‎ ‎[解]　(1)f′(x)＝(ax＋a＋b)ex，‎ 所以所以a＝b＝1，‎ g′(x)＝－2x＋c，所以 所以c＝2，d＝1.‎ ‎(2)由(1)可知h(x)＝f(x)－g(x)＝(x＋1)ex－(－x2＋2x＋1)＝(x＋1)ex＋x2－2x－1，‎ 所以h′(x)＝(x＋2)ex＋2x－2＝(x＋2)ex＋2x＋4－6＝(x＋2)(ex＋2)－6≥2×3－6＝0，所以h(x)在[0，＋∞)上为增函数．‎ ‎20．(12分)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数．‎ ‎(1)求k的值．‎ ‎(2)若f(1)＜0，试判断函数的单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0恒成立的t的取值范围．‎ ‎(3)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．‎ ‎[解]　(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0，所以k＝2.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝ax－a－x(a＞0且a≠1)．‎ 因为f(1)＜0，所以a－＜0，‎ 又a＞0且a≠1，所以0＜a＜1，‎ 所以y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，‎ 故f(x)＝ax－a－x在R上单调递减．‎ 不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)＜0可化为f(x2＋tx)＜f(x－4)，所以x2＋tx＞x－4，‎ 所以x2＋(t－1)x＋4＞0恒成立，‎ 所以Δ＝(t－1)2－16＜0，解得－3＜t＜5.‎ ‎(3)因为f(1)＝，所以a－＝，‎ 即2a2－3a－2＝0，‎ 所以a＝2或a＝－(舍去)．‎ 所以g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.‎ 令n＝f(x)＝2x－2－x，‎ 因为f(x)＝2x－2－x为增函数，x≥1，‎ 所以n≥k(1)＝.‎ 令h(n)＝n2－2mn＋2＝(n－m)2＋2－m2.‎ 若m≥时，则当n＝m时，h(n)min＝2－m2＝－2，所以m＝2.‎ 若m＜，则当n＝时，h(n)min＝－3m＝－2，所以m＝＞(舍去)．‎ 综上可知，m＝2.‎ ‎21．(12分)(2017·大同模拟)已知函数f(x)＝x－(a＋1)ln x－(a∈R)，g(x)＝x2＋ex－xex.‎ ‎(1)当x∈[1，e]时，求f(x)的最小值．‎ ‎(2)当a＜1时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[－2,0]，f(x1)＜g(x2)恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.‎ ‎①当a≤1时，x∈[1，e]时，f′(x)≥0，‎ f(x)为增函数，f(x)min＝f(1)＝1－A．‎ ‎②当1＜a＜e时，‎ x∈[1，a]时，f′(x)≤0，f(x)为减函数；‎ x∈(a，e]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数．‎ 所以x∈[1，e]时，f(x)min＝f(a)＝a－(a＋1)·ln a－1.‎ ‎③当a≥e时，x∈[1，e]时，f′(x)≤0，‎ f(x)在[1，e]上为减函数．‎ f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－.‎ 综上，在x∈[1，e]上，当a≤1时，f(x)min＝1－a；‎ 当1＜a＜e时，f(x)min＝a－(a＋1)ln a－1；‎ 当a≥e时，f(x)min＝e－(a＋1)－.‎ ‎(2)由题意知，当a＜1时，f(x)(x∈[e，e2])的最小值小于g(x)(x∈[－2,0])的最小值．由(1)可知，当a＜1时，f(x)在[e，e2]上单调递增，‎ 则f(x)min＝f(e)＝e－(a＋1)－，‎ 又g′(x)＝(1－ex)x，‎ 当x∈[－2,0]时，g′(x)≤0，g(x)为减函数，g(x)min＝g(0)＝1，‎ 所以e－(a＋1)－＜1，即a＞，‎ 所以a的取值范围为.‎ ‎22．(12分)(2017·石家庄模拟)设函数f(x)＝x2＋aln(x＋1)(a为常数)．‎ ‎(1)若函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递增函数，求实数a的取值范围．‎ ‎(2)若函数y＝f(x)有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，求证：0＜＜－＋ln 2. 【导学号：00090389】‎ ‎[解]　(1)根据题意知：f′(x)＝≥0在[1，＋∞)上恒成立．‎ 即a≥－2x2－2x在区间[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝－2x2－2x，‎ 因为g(x)＝－2x2－2x在区间[1，＋∞)上的最大值为－4，所以a≥－4.‎ 经检验：当a＝－4时，f′(x)＝＝≥0，x∈[1，＋∞)．‎ 所以a的取值范围是[－4，＋∞)．‎ ‎(2)f′(x)＝＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根，‎ 即方程2x2＋2x＋a＝0在区间(－1，＋∞)上有两个不相等的实数根．‎ 记g(x)＝2x2＋2x＋a，‎ 则有解得0＜a＜.‎ 所以x1＋x2＝－1,2x＋2x2＋a＝0，‎ x2＝－＋，－＜x2＜0.‎ 所以＝.‎ 令k(x)＝，x∈.‎ k′(x)＝＋2ln(x＋1)，‎ 记p(x)＝＋2ln(x＋1)．‎ 所以p′(x)＝，‎ p′＝－4，p′(0)＝2.‎ 所以存在x0∈使得p′(x0)＝0.‎ 当x∈时，p′(x)＜0；‎ 当x∈(x0,0)时，p′(x)＞0.‎ 所以k′(x)在上单调递减，在(x0,0)上单调递增，‎ 因为k′＝1－2ln 2＜0，k′(0)＝0.‎ 所以当x∈时，k′(x)＜0，‎ 所以k(x)在上单调递减，‎ 即0＜＜－＋ln 2.‎