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- 2021-06-17 发布
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吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共23小题,共150分,考试时间120分钟。
注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内;
2.选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚;
3.请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合,则
A. B. C. D.
2. 复数(是虚数单位),则复数的虚部为
A. B. C. D.
3. 已知角终边过点,且, 则
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是
A. 命题“”的否定是“”
B. , “”是“成等比数列”的充要条件
C. 命题“已知若,则或”是真命题
D. 命题“若,则函数只有一个零点”的逆命题为真命题
5. 右边程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中
的“辗转相除法”,执行该程序框图(图中“MOD”
表示除以的余数),若输入的,分别为485,135
, 则输出的
A.
B.
C.
D.
6. 随机将5位教师全部分到四所学校任教,每所学校至少分到1名教师,则
甲,乙二人都分到校任教的概率为
A. B.
C. D.
7. 某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.
B.
C.
D.
8. 已知,则
A. B.
C. D.
9. 已知函数的最小正周期为,且其图像向左平
移个单位后得到函数的图像,则函数的图像
A.关于直线对称 B.关于直线对称
C.关于点对称 D.关于点对称
10. 函数对有,当时,
,若,则的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 抛物线的焦点为,其准线与轴的交点为,过点做直线与此抛物
线交于两点,若,则
A. B. C. D.
12. 不等式对任意恒成立,则实数
的最大值为
A. B. 2 C . D. 3
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13. 已知向量,且,则实数 .
14. 的展开式中的系数是 .
15. 已知实数的满足,若目标函数的最大值为6,
则实数的值为 .
16. 三棱锥中,为边长等于的正三角形,,二面角
等于,则此三棱锥外接球的表面积等于 .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分)
已知等差数列满足的前项和为.
(Ⅰ)求及;
(Ⅱ)设,为数列的前项和,求证:.
18.(本小题满分12分)
某市毕业班调研考试数学成绩统计数据显示:全市10000名理科生数学成绩服从正态分布,现从该市某校理科毕业生中,随机抽取50名同学的数学成绩,进行调研时发现,他们成绩全部介于80分到140分之间,将成绩按如下方式分成六组:第一组,第二组,,第六组,按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)试估计该校理科毕业生数学平均分;
(Ⅱ)求被抽取的50名同学中,成绩在120分(含120分)以上的人数;
(Ⅲ)从这50名同学成绩在120分(含120分)以上的人中任意抽取2人,该2人
中成绩在全市前230名的人数记为,求的数学期望.
附:若,
则
=
=
19. (本小题满分12分)
如图,四棱锥的底面为平行四边形,.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若, 求二面角的正弦
值.
20. (本小题满分12分)
已知分别是椭圆的左,右焦点,分别是椭圆的上顶点和右顶点,且,离心率 .
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设经过的直线与椭圆相交于两点,求的最小值.
21. (本小题满分12分)
已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在正整数,使函数在上单调递增,若存在,求出正整数
的所有值,若不存在,说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22. (本小题满分10分)
以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线的极坐标方程为
,直线的参数方程为(为参数),设直线与曲线
相交于两点.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(Ⅱ)设点的极坐标为,问:点是否在直线上,若在,求的
值; 若不在,说明理由.
23. (本小题满分10分)
设函数.
(Ⅰ)解不等式;
(Ⅱ)若实数满足,求的最小值.
命题、校对: 王有富 刘彦学 赵玉楠 孙长青
吉林市普通中学2016—2017学年度高中毕业班第四次调研测试
数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
C
D
C
B
D
B
D
C
A
B
B
12题解答:恒成立,左端为点与点
距离平方,因为分别在曲线及直线上,由
得,故与平行且与相切的切点为(1,0)所以最小值
,所以,解得。故选.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡的相应位置.
13:4 ; 14:3 ; 15. ; 16.
三、解答题
17解答:
(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,因为,
所以有,解得, ---------------------------------------------4分
所以; ---------------------------------------------5分
。 ---------------------------------------------6分
(Ⅱ)由(1)知, ----------------------------------------------9分
所以
----------------------------------------------11分
----------------------------------------------12分
18解答:
(Ⅰ)由直方图,抽取的50名学生的数学平均成绩为:
,
所以,该校理科毕业生的数学平均成绩约为:107.8 -----------------------------3分
(Ⅱ)由直方图知,后两组频率之和为0.2,后两组人数之和为。即这50名理科生中成绩
在120分以上(含120分)的有10人。 -----------------------------6分
(Ⅲ),
,所 以全市前230名理科生数学成绩在130分以上,这50人中,成绩在130分以上的人数有
人,随机变量可以取0,1,2. -----------------------------8分
,, -----------------10分
---------------------------------12分
19解答:
(Ⅰ)证明:取中点,连, -----------2分
,,
面,
又面
---------------5分
(Ⅱ),
是等腰三角形,是等边三角形
,
以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,-------------------------------------7分
则,,
从而得,, ----9分
设平面的法向量,则,即,
令,得,,
设平面的法向量,由,得,
令,得, --------------------------10分
, ---------------------------11分
设二面角为,。----------------------12分
注:因为两平面法向量选取不同,得到,
仍然正确
20解答
(Ⅰ)依题意得 ,---------------------------------------------------------------------3分
解得, 故所求椭圆方程为 ----------------------------------------------------5分
(Ⅱ)由(1)知,设,的方程为,代入椭圆的方程,
整理得,, --------------------------------------8分
,,,
, ------------------------------------------11分
当且仅当时上式取等号. 的最小值为。 ----------------------------------------12分
21解答
(Ⅰ)证明:由已知得, ---------------------------------------1分
得. --------------------------------------------------2分
在处的切线方程为即 ---------------------------4分
(Ⅱ)法一:
令,依题意在上恒成立, ------------------6分
. -------------------------------------------------------7分
①当时, ,在上单调递增,
故符合题意 -------------------------------------------------------------------------9分
②当时,由得. 取值变化情况如下表,
-
0
+
减
极小值
增
依题意即. -------------------------------------------------------------10分
令,则,在上单调递减,
由,知时,,故此时只有符合题意.
综上,所求正整数的值有1,2,3. -------------------------------------------------------------12分
法二:
由在上恒成立,得在上恒成立。---------------------------6分
令,则, ---------------------------7分
令,得在上恒成立, ----------------------------8分
又,
从而,使,即。 -----------------------------------------10分
进而知取值变化情况如下表,
-
0
+
减
极小值
增
故符合题意的正整数K为1,2,3. -----------12分
22.解答
(Ⅰ)由的极坐标方程得,即;-----------2分
将的参数方程消去参数,得的普通方程为。 --------------------------4分
(Ⅱ)由点极坐标得点的直角坐标为,满足的方程,故在上,------------------5分
所以的参数方程亦为, ------------------------------------------6分
代入曲线的直角坐标方程,整理得,
, --------------------------------------------------8分
。------------------------------10分
23. 解答
(Ⅰ)原不等式可化为, --------------------------------------------2分
解(1)得;解(2)得。
所以,原不等式的解为或。 --------------------------------------------------------------------4分
(Ⅱ).
当同号或至少有一项为零时取等号 --------------------------------------------------------6分
由柯西不等式得:,
,, -------------------------------------------------------------------9分
当时取等号,又,且满足同正
的最小值为 -------------------------------------------------------------------------------10分