高考理科数学专题复习练习9.4直线与圆、圆与圆的位置关系 4页

第九章解析几何 ‎9.4直线与圆、圆与圆的位置关系 专题1‎ 直线与圆的位置关系 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,直线与圆的位置关系,解答题,理19)已知圆S经过点A(7,8)和点B(8,7),圆心S在直线2x-y-4=0上.‎ ‎(1)求圆S的方程;‎ ‎(2)若直线x+y-m=0与圆S相交于C,D两点,若∠COD为钝角(O为坐标原点),求实数m的取值范围.‎ 解:(1)线段AB的中垂线方程:y=x,‎ 联立‎2x-y-4=0,‎y=x,‎得S(4,4),‎ ‎∵A(7,8),‎ ‎∴圆S的半径|SA|=‎(7-4‎)‎‎2‎+(8-4‎‎)‎‎2‎=5.‎ ‎∴圆S的方程为(x-4)2+(y-4)2=25.‎ ‎(2)由x+y-m=0,变形得y=-x+m,‎ 代入圆S的方程,得2x2-2mx+m2-8m+7=0,‎ 令Δ=(2m)2-8(m2-8m+7)>0,‎ 得8-5‎2‎|F2P|,a=b=1,c=‎2‎;|F1P|-|F2P|=2,|F1P|2+|F2P|2=8;‎ 故(|F1P|+|F2P|)2=2(|F1P|2+|F2P|2)-(|F1P|-|F2P|)2=2×8-4=12;‎ 故|F1P|+|F2P|=2‎3‎;则|F1P|=‎3‎+1,|F2P|=‎3‎-1;‎ 故sin∠PF1F2的所有可能取值之和为‎3‎‎+1‎‎2‎‎2‎‎+‎3‎‎-1‎‎2‎‎2‎=‎3‎‎2‎=‎‎6‎‎2‎.故选D.‎ 答案:D ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,双曲线的几何性质,选择题,理10)设双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,A是双曲线渐近线上的一点,AF2⊥F1F2,原点O到直线AF1的距离为‎1‎‎3‎|OF1|,则渐近线的斜率为(　　)‎ A.‎5‎或-‎5‎ B.‎2‎或-‎‎2‎ C.1或-1 D.‎2‎‎2‎或-‎‎2‎‎2‎ 解析:双曲线的渐近线方程为y=±bax,不妨设A在第一象限,则Ac,‎bca,‎ ‎∴直线AF1的方程为y-bca‎=‎bca‎2c(x-c),‎ 即b‎2ax-y+bc‎2a=0.‎ ‎∴原点O到直线AF1的距离为bc‎2ab‎2‎‎4‎a‎2‎‎+1‎.‎ ‎∵原点O到直线AF1的距离为‎1‎‎3‎|OF1|,‎ ‎∴bc‎2ab‎2‎‎4‎a‎2‎‎+1‎‎=‎‎1‎‎3‎c.∴a=‎2‎b,∴ba‎=‎‎2‎‎2‎.故选D.‎ 答案:D ‎9.8直线与圆锥曲线 专题1‎ 轨迹与轨迹方程 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,轨迹与轨迹方程,选择题,理12)在平面直角坐标系中,点P是直线l:x=-‎1‎‎2‎上一动点,点F‎1‎‎2‎‎,0‎,点Q为PF的中点,点M满足MQ⊥PF,且MP=λOF(λ∈R).过点M作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别为S,T,则|ST|的最小值为(　　)‎ A.‎2‎‎30‎‎5‎ B.‎‎30‎‎5‎ C.‎7‎‎2‎ D.‎‎5‎‎2‎ 解析:设M坐标为M(x,y),由MP⊥l知P‎-‎1‎‎2‎,y;由“点Q为PF的中点”知Q‎0,‎y‎2‎;‎ 又因为QM⊥PF,QM,PF斜率乘积为-1,‎ 即y-‎y‎2‎x=-‎-‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎y,‎ 解得y2=2x,‎ 所以M的轨迹是抛物线,‎ 设M(y2,‎2‎y),到圆心(3,0)的距离为d,d2=(y2-3)2+2y2=y4-4y2+9=(y2-2)2+5,‎ ‎∴y2=2时,dmin =‎5‎,此时的切线长为‎(‎5‎‎)‎‎2‎-(‎‎2‎‎)‎‎2‎‎=‎‎3‎,所以切点距离为2×‎3‎‎×‎‎2‎‎5‎‎=‎‎2‎‎30‎‎5‎;‎ ‎∴|ST|的最小值为‎2‎‎30‎‎5‎;故选A.‎ 答案:A ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,轨迹与轨迹方程,解答题,理20)已知F(c,0)是椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的右焦点,圆F:(x-c)2+y2=a2与x轴交于E,D两点,B是椭圆C与圆F的一个交点,且|BD|=‎3‎|BE|.‎ ‎(1)求椭圆C的离心率;‎ ‎(2)过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A,且△ABD的面积等于‎24‎6‎c‎13‎,求椭圆C的方程.‎ 解:(1)如图,∵EF=BF=DF=a,|BD|=‎3‎×|BE|,‎ ‎△BED是直角三角形,‎ ‎∴∠1=60°,△BEF是等边三角形,‎ ‎∴BF=2OF.‎ ‎∵OF=c,BF=a,‎ ‎∴e=ca‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎(2)∵过点B与圆F相切的直线l与C的另一交点为A,‎ ‎∴BF⊥BG,∴在Rt△BFG中,∠3=30°,‎ ‎∵B(0,‎3‎c),kBG=‎3‎‎3‎,‎ ‎∴直线BG为:y=‎3‎‎3‎x+‎3‎c,‎ ‎∴‎x‎2‎‎4‎c‎2‎‎+y‎2‎‎3‎c‎2‎=1,‎y=‎3‎‎3‎x+‎3‎c,‎ 解得yA=‎5‎‎3‎‎13‎c,‎ ‎∵FD=a=2c,∴OD=OG=3c,∴GD=6c,‎ ‎∵S△ABD=S△BDG-S△ADG,‎ ‎24‎‎6‎‎13‎c=‎1‎‎2‎GD(BO-yA)=‎1‎‎2‎×6c‎3‎c-‎5‎‎3‎‎13‎c,‎ ‎∴c=‎2‎,∴a2=8,b2=6,‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎8‎‎+‎y‎2‎‎6‎=1.‎ 专题2‎ 圆锥曲线中的范围、最值问题 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,解答题,理21)已知过点Mp‎2‎‎,0‎的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,且OA‎·‎OB=-3,其中O为坐标原点.‎ ‎(1)求p的值;‎ ‎(2)当|AM|+4|BM|最小时,求直线l的方程.‎ 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:x=my+p‎2‎,‎ 代入抛物线方程,消去x,得,y2-2pmy-p2=0,‎ y1+y2=2pm,y1y2=-p2,‎ 由于OA‎·‎OB=-3,即x1x2+y1y2=-3,‎ x1x2=y‎1‎‎2‎‎2p‎·y‎2‎‎2‎‎2p=‎p‎2‎‎4‎,‎ 即有p‎2‎‎4‎-p2=-3,解得p=2.‎ ‎(2)由抛物线的定义,可得|AM|=x1+1,|BM|=x2+1,‎ 则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2‎4‎x‎1‎x‎2‎+5=9,‎ 当且仅当x1=4x2时取得最小值9.‎ 由于x1x2=1,则解得x2=‎1‎‎2‎(负的舍去),‎ 代入抛物线方程y2=4x,‎ 解得y2=±‎2‎,‎ 即有B‎1‎‎2‎‎,±‎‎2‎,‎ 将B的坐标代入直线x=my+1,得m=±‎2‎‎4‎.‎ 则直线l:x=±‎2‎‎4‎y+1,即有4x+‎2‎y-4=0或4x-‎2‎y-4=0.‎