名师解读高考真题系列－高中数学（理数）：专题15+不等式 14页

一、选择题 ‎1. 【线性规划】【2016，浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）‎ A．2 B．4 C．3 D．‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎2. 【线性规划】【2016，北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎3. 【不等式的性质】【2016，浙江理数】已知实数a，b，c（ ）‎ A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100‎ B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100‎ C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100‎ D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎4. 【线性规划，充要条件】【2016，四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎ ‎【答案】A ‎5. 【线性规划】【2016，山东理数】若变量x，y满足则的最大值是（ ）‎ A.4 B.9 C.10 D.12‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎6. 【线性规划】【2016，天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）‎ A. B.6 C.10 D.17‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎7. 【线性规划】【2015，北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎8. 【线性规划】【2015，广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）‎ ‎ A． B. 6 C. D. 4‎ ‎ ‎ ‎【答案】C．‎ ‎9. 【含绝对值的不等式的解法】【2015，山东，理5】不等式的解集是（ ）‎ A.（-‎∞‎，4） B.（-‎∞‎，1） C.（1，4） D.（1，5）‎ ‎ ‎ ‎【答案】A ‎10. 【线性规划】【2015，山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）‎ A.3 B.2 C.-2 D.-3‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎11. 【基本不等式，基本初等函数的单调性】【2015，陕西，理9】设，若 ‎，，，则下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ ‎ ‎【答案】C ‎12. 【线性规划】【2015，陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 甲 乙 原料限额 ‎（吨）‎ ‎（吨）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D ‎13. 【函数的值域，不等式的性质】【2015，湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在 实数，使得，，…， 同时成立，则正整数的最大值是（ ）‎ ‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎ ‎ ‎【答案】B 二、非选择题 ‎14. 【线性规划的应用】【2016，新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ ‎ ‎ ‎【答案】21600‎ ‎15. 【】【2016，江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎16. 【线性规划的运用，分类讨论的数学思想，直线与圆的位置关系】【2015，浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】.‎ ‎17. 【线性规划】【2015，新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎ ‎ ‎【答案】3‎ ‎18. 【解指数不等式与一元二次不等式】【2015，江苏，7】不等式的解集为________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎2017年真题 ‎1. 【应用线性规划求最值】【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：绘制不等式组表示的可行域，‎ 目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，‎ 数形结合可得目标函数在点 处取得最小值 ，故选A。‎ ‎2. 【线性规划】【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A. B.1 C. D.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】目标函数为四边形ABCD及其内部，其中，所以直线过点B时取最大值3，选D.‎ ‎【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.‎ ‎3. 【】【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是（ ）‎ A.0 B. 2 C. 5 D.6‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由画出可行域及直线如图所示，平移发现，‎ 当其经过直线与的交点时，最大为，选C.‎ ‎4. 【指数函数与对数函数的性质，基本不等式.】【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，且，所以 ‎ ，所以选B.‎ ‎5. 【等差数列求和公式，等差数列基本量的计算】【2017课标3，理9】等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为 A． B． C．3 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 故选A.‎ ‎【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.‎ ‎6. 【线性规划】【2017北京，理4】若x，y满足 则x + 2y的最大值为（ ）‎ A.1 B.3 C.5 D.9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，画出可行域，‎ 表示斜率为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选D.‎ ‎7. 【线性规划】【2017浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A．[0，6] B．[0，4] C．[6， D．[4，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值4，无最大值，选D．‎ ‎8. 【不等式恒成立问题】【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】不等式为(*)，‎ 当时，(*)式即为，，‎ 又（时取等号），‎ ‎（时取等号），‎ 所以，‎ 当时，(*)式为，，‎ 又（当时取等号），‎ ‎（当时取等号），‎ 所以，‎ 综上．故选A．‎ ‎9. 【应用线性规划求最值】【2017课标3，理13】若，满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：绘制不等式组表示的可行域，‎ 目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 倍，‎ 截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值.‎ ‎【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎10. 【均值不等式】【2017天津，理12】若，，则的最小值为___________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎11. 【线性规划】【2017课标1，理13】设x，y满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，‎ 易求得，‎ 由得在轴上的截距越大，就越小 所以，当直线直线过点时，取得最小值 所以取得最小值为 ‎12. 【基本不等式求最值[】【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.‎ ‎ ‎