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- 2021-06-17 发布
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专题09+对数与对数函数
1．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．b1，b＝0＝1，c＝log30.4<0，故c1，且>0，得10且a≠1)满足对任意的x1，x2，当x10，则实数a的取值范围为 ( )．
A．(0,1)∪(1,3) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,2) D．(1,2)
【解析】 “对任意的x1，x2，当x10”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“f(x)有意义”．事实上由于g(x)＝x2－ax＋3在x≤时递减，从而由此得a的取值范围为(1,2)．故选D.
【答案】 D
6．已知函数f(x)＝|lgx|，若01，解得a<1或a>2.
所以a的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．
12．若函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M.当x∈M时，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相应的x的值．
解 y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2＞0，
解得x＜1或x＞3，∴M＝{x|x＜1，或x＞3}，
f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.
令2x＝t，∵x＜1或x＞3，∴t＞8或0＜t＜2.
∴f(t)＝4t－3t2＝－32＋(t＞8或0＜t＜2)．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f(t)∈，
当t＞8时，f(t)∈(－∞，－160)，
当2x＝t＝，即x＝log2时，f(x)max＝.
综上可知：当x＝log2时，f(x)取到最大值为，无最小值．
13．已知函数f(x)＝loga(a＞0，b＞0，a≠1)．
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的奇偶性；
(3)讨论f(x)的单调性；
14．已知函数f(x)＝loga，(a>0，且a≠1)．
(1)求函数的定义域，并证明：f(x)＝loga在定义域上是奇函数；
(2)对于x∈[2,4]，f(x)＝loga>loga恒成立，求m的取值范围．
解 (1)由>0，解得x<－1或x>1，
∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f(－x)＝loga＝loga＝loga－1＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)＝loga在定义域上是奇函数．
(2)由x∈[2,4]时，f(x)＝loga>loga恒成立，
①当a>1时，
∴0loga恒成立，
∴<对x∈[2,4]恒成立．
∴m>(x＋1)(x－1)(7－x)在x∈[2,4]恒成立．
设g(x)＝(x＋1)(x－1)(7－x)，x∈[2,4]，
由①可知y＝g(x)在区间[2,4]上是增函数，
g(x)max＝g(4)＝45，∴m>45.
∴m的取值范围是(0,15)∪(45，＋∞).
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