2020届二轮复习第一课时等差数列的概念与通项公式课件（25张）（全国通用） 25页

课标要求 : 1. 通过实例 , 理解等差数列和等差中项的概念 , 深化认识并能运用 .2. 会推导等差数列的通项公式 , 能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题 .3. 体会等差数列与一次函数的关系 . 自主学习 知识探究 1. 等差数列的定义 (1) 一般地 , 如果一个数列从第 项起 , 每一项与它的 的差等于同一个常数 , 那么这个数列就叫做等差数列 . 这个常数叫做等差数列的 , 公差通常用字母 d 表示 . (2) 由等差数列的定义知 , 等差数列 {a n } 满足 a 2 -a 1 =a 3 -a 2 = … =a n -a n-1 = … =d, 其中 d 是与 n 无关的常数 . 因此 , 等差数列的定义可用数学符号语言描述为 a n -a n-1 =d 对任意的 n≥2,n∈ N * 均成立 , 故 a n+1 -a n =d 对任意的 n∈ N * 均成立 , 上述两式通常作为判断数列是否为等差数列的依据 . 2 前一项 公差 2.对等差数列定义的理解 (1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”. (2)一个数列从第2项起,每一项与它前一项的差即使等于常数,这个数列也不一定是等差数列,因为当这些常数不同时,该数列不是等差数列,因此定义中强调“同一个常数”,注意不要漏掉这一条件. (3)求公差d时,可以用d=a n -a n-1 来求,也可以用d=a n+1 -a n 来求.注意公差是每一项与其前一项的差,且用a n -a n-1 求公差时,要求n≥2,n∈ N * . 4.等差数列的通项公式 以a 1 为首项,d为公差的等差数列{a n }的通项公式为a n = . 5.等差数列通项公式的推导 通项公式的推导,教材是根据等差数列的定义,通过归纳的方式得出的,还可以采用以下的推导方法: 法一 (累加法)　因为{a n }是等差数列,所以 a n -a n-1 =d, a n-1 -a n-2 =d, a n-2 -a n-3 =d, … a 2 -a 1 =d, 两边分别相加得a n -a 1 =(n-1)d,所以a n =a 1 +(n-1)d. a 1 +(n-1)d 法二 ( 迭代法 ) 　 {a n } 是等差数列 , 则有 a n =a n-1 +d=a n-2 +d+d=a n-2 +2d=a n-3 +d+ 2d=a n-3 +3d=…=a 1 +(n-1)d. 法三 ( 逐差法 ) 　 {a n } 是等差数列 , 则 a n =a n -a n-1 +a n-1 =(a n -a n-1 )+(a n-1 -a n-2 )+ a n-2 =…=(a n -a n-1 )+(a n-1 -a n-2 )+…+(a 2 -a 1 )+a 1 =a 1 +(n-1)d. 自我检测 1. 下列说法中正确的是 ( 　 　 ) (A) 一个数列的每一项与它的前一项的差都等于常数 , 这个数列就叫等差数列 (B) 一个数列的每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 , 这个数列就叫等差数列 (C) 一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的和都等于常数 , 这个数列就叫等差数列 (D) 一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 , 这个数列就叫等差数列 D 解析 : 由等差数列的定义知强调两个方面 :① 从第 2 项起 ; ② 差为同一个常数 , 故选 D. A 3. 我国古代数学著作 《 九章算术 》 有如下问题 :“ 今有金箠 , 长五尺 , 斩本一尺 , 重四斤 , 斩末一尺 , 重二斤 , 问次一尺各重几何 ?” 意思是 :“ 现有一根金箠 , 长五尺 , 一头粗 , 一头细 , 在粗的一端截下 1 尺 , 重 4 斤 ; 在细的一端截下 1 尺 , 重 2 斤 ; 问依次每一尺各重多少斤 ?” 根据上题的已知条件 , 若金箠由粗到细是均匀变化的 , 问第二尺与第四尺的重量之和为 ( 　 　 ) (A)6 斤 (B)9 斤 (C)9.5 斤 (D)12 斤 A 解析 : 由题意 , 金箠的每一尺的重量依次成等差数列 , 从细的一端开始 , 第一段重 2 斤 , 第五段重 4 斤 , 由等差中项知 , 第三段重 3 斤 , 第二段加第四段重 3×2=6 斤 . 故选 A. 4.等差数列{a n }中,a 2 =2,a 4 =8,则通项公式a n = 　　　　 .   5. 已知 {a n } 为等差数列 ,a 1 +a 3 +a 5 =105,a 2 +a 4 +a 6 =99, 则 a 20 = 　　　　 .   答案 : 1 题型一 等差数列的通项公式 课堂探究 【 例1 】 已知{a n }为等差数列,a 15 =8,a 60 =20,求a 75 . 方法技巧 求等差数列的通项公式的两种思路 (1)设出基本量a 1 与d,利用条件构建方程组,求出a 1 与d,即可写出数列的通项公式. (2)已知等差数列中的两项时,利用a n =a m +(n-m)d求出公差d就可绕过求首项a 1 ,直接写出等差数列的通项公式. 注意:对于等差数列的通项公式,最终结果一般写成关于n的一次函数的 形式. 即时训练 1 - 1: 在等差数列 {a n } 中 , 若 a 3 +a 8 +a 13 =12,a 3 a 8 a 13 =28. 求数列 {a n } 的通项公式 . 题型二 等差数列的判定与证明 (2) 求数列 {a n } 的通项公式 . 方法技巧 判断或证明一个数列 {a n } 为等差数列的常用方法 : (1) 定义法 : 若 a n -a n-1 =d(d 是常数 ,n≥2 且 n∈ N * ), 则数列 {a n } 是等差数列 . (2) 等差中项法 : 若任意连续三项 a n-1 ,a n ,a n+1 都有 :2a n =a n-1 +a n+1 (n≥2 且 n∈ N * ), 则数列 {a n } 是等差数列 . (3) 通项公式法 : 若 a n =kn+b(k,b 为常数 ,n∈ N * ), 则数列 {a n } 是等差数列 . (2) 求 a n . 题型三 等差中项的应用 【 例 3】 一个等差数列由三个数组成 , 三个数的和为 9, 三个数的平方和为 35, 求这个数列 . 方法技巧 三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时, 法一:可设出首项a 1 和公差d,列方程组求解. 法二:采用对称的设法,三个数时,设为a-d,a,a+d;四个数时,可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d.