数学理·吉林省吉林市2017届高考数学二模试卷（理科）+Word版含解析 28页

‎2017年吉林省吉林市高考数学二模试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．‎ ‎1．已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（　　）‎ A．{x|2≤x≤3} B．{x|2＜x≤3}‎ C．{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D．{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}‎ ‎2．如果复数z=，则（　　）‎ A．|z|=2 B．z的实部为1‎ C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i ‎3．下列关于命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”‎ B．“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件 C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则﹣P：∀n∈N，2n≤1000‎ D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题 ‎4．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=3，c=2，则∠A=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎5．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　）‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（　　）‎ A．﹣2 B． C．﹣1 D．2‎ ‎7．设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（　　）‎ A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5‎ ‎8．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．4π B．π C．π D．20π ‎9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．‎ ‎10．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：，若∠ACD=60°，则t的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（　　）‎ A．32 B．16 C．8 D．4‎ ‎12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是　　．‎ ‎14．已知||=2，||=2，与的夹角为45°，且λ﹣与垂直，则实数λ=　　．‎ ‎15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是　　．‎ ‎16．艾萨克•牛顿（1643年1月4日﹣1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log2，且{bn}为递增数列，若cn=，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．‎ ‎19．（12分）某车间20名工人年龄数据如表：‎ 年龄（岁）‎ ‎19‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎40‎ 合计 工人数（人）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ） 求这20名工人年龄的众数与平均数；‎ ‎（Ⅱ） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（Ⅲ） 从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率．‎ ‎20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥EF；‎ ‎（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．‎ ‎21．（12分）如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且 ‎（Ⅰ） 求椭圆E的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（12分）设函数f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+﹣x（a≠1），已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若对任意x≥1，都有g（x）＞，求a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年吉林省吉林市高考数学二模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．‎ ‎1．已知U=R，M={x|﹣l≤x≤2}，N={x|x≤3}，则（∁UM）∩N=（　　）‎ A．{x|2≤x≤3} B．{x|2＜x≤3}‎ C．{x|x≤﹣1，或2≤x≤3} D．{x|x＜﹣1，或2＜x≤3}‎ ‎【考点】补集及其运算；交集及其运算．‎ ‎【分析】利用补集的定义求出集合M的补集；借助数轴求出（CuM）∩N ‎【解答】解：∵M={x|﹣l≤x≤2}，‎ ‎∴CuM={x|x＜﹣1或x＞2}‎ ‎∵N={x|x≤3}，‎ ‎∴（CuM）∩N={x|x＜﹣1，或2＜x≤3}‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查利用数轴求集合间的交集、并集、补集运算．‎ ‎　‎ ‎2．如果复数z=，则（　　）‎ A．|z|=2 B．z的实部为1‎ C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i ‎【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．‎ ‎【分析】直接利用复数的除法运算化简，求出复数的模，然后逐一核对选项即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由z==，‎ 所以，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1，‎ z的共轭复数为﹣1+i，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．下列关于命题的说法错误的是（　　）‎ A．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”‎ B．“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件 C．若命题P：∃n∈N，2n＞1000，则﹣P：∀n∈N，2n≤1000‎ D．命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”是真命题 ‎【考点】特称命题；全称命题．‎ ‎【分析】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；‎ 选项B看由a=2能否得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；‎ 选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．‎ ‎【解答】解：因为命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，所以A正确；‎ 由a=2能得到函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=logax在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；‎ 命题P：∃n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：∀n∈N，2n≤1000，所以选项C正确；‎ 因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“∃x∈（﹣∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了特称命题的否定，特称命题的否定为全称命题，注意命题格式的书写，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=3，c=2，则∠A=（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】根据题意和余弦定理求出cosA的值，由A的范围求出角A的值．‎ ‎【解答】解：∵a=，b=3，c=2，‎ ‎∴由余弦定理得，cosA===，‎ 又由A∈（0°，180°），得A=60°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了余弦定理的应用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．函数f（x）=+ln|x|的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】当x＜0时，函数f（x）=，由函数的单调性，排除CD；‎ 当x＞0时，函数f（x）=，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，‎ ‎【解答】解：当x＜0时，函数f（x）=，由函数y=、y=ln（﹣x ‎）递减知函数f（x）=递减，排除CD；‎ 当x＞0时，函数f（x）=，此时，f（1）==1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力．‎ ‎　‎ ‎6．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（　　）‎ A．﹣2 B． C．﹣1 D．2‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序，可得：‎ i=0，A=2‎ 执行循环体，i=1，A=，‎ 不满足条件i＞2016，执行循环体，i=2，A=﹣1；‎ 不满足条件i＞2016，执行循环体，i=3，A=2；‎ 不满足条件i＞2016，执行循环体，i=4，A=，‎ ‎…‎ 循环下去，而20116=3×672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．设{an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（　　）‎ A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d（d≠0），‎ 由，得，‎ 整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0，‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．‎ ‎　‎ ‎8．某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（　　）‎ A．4π B．π C．π D．20π ‎【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积．‎ ‎【解答】解：由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，侧棱长是2，‎ 三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，‎ r==，球的表面积4πr2=4π×=π．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图求三棱柱的外接球的表面积，利用棱柱的几何特征求外接球的半径是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．已知f（x）=sinxcosx﹣sin2x，把f（x）的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+）+g（）=（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．‎ ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】由条件利用三角函数的恒等变换求得g（x）的解析式，再根据题意可得g（x）的图象关于直线x=α对称，再根据正弦函数的图象的对称性求得α 的值，可得g（α+）+g（）的值．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=sinxcosx﹣sin2x=sin2x﹣=sin（2x+）﹣，‎ 把f（x）的图象向右平移个单位，可得函数y=sin[2（x﹣）+]﹣=sin2x﹣的图象；‎ 再把所得图象向上平移2个单位，得到y=g（x）=sin2x﹣+2=sin2x+的图象．‎ 若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（x）的图象关于直线x=α对称，‎ ‎∴2α=kπ+，求得α=+，k∈z，故可取α=，‎ ‎∴g（α+）+g（）=sin（+）++sin+=4，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．在等腰直角△ABC中，AC=BC，D在AB边上且满足：，若∠ACD=60°，则t的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】易知A，B，D三点共线，从而建立坐标系，从而利用坐标运算求解即可．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴A，B，D三点共线，‎ ‎∴由题意建立如图所示坐标系，‎ 设AC=BC=1，‎ 则C（0，0），A（1，0），B（0，1），‎ 直线AB的方程为x+y=1，‎ 直线CD的方程为y=x，‎ 故联立解得，x=，y=，‎ 故D（，），‎ 故=（，），=（1，0），=（0，1），‎ 故t+（1﹣t）=（t，1﹣t），‎ 故（，）=（t，1﹣t），‎ 故t=，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量坐标运算的应用，考查平面向量基本定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．已知双曲线，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C2的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若，且双曲线C1，C2的离心率相同，则双曲线C2的实轴长是（　　）‎ A．32 B．16 C．8 D．4‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得双曲线C1的离心率，求得双曲线C2一条渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和三角形的面积公式，化简整理解方程可得a=8，进而得到双曲线的实轴长．‎ ‎【解答】解：双曲线的离心率为，‎ 设F2（c，0），双曲线C2一条渐近线方程为y=x，‎ 可得|F2M|==b，‎ 即有|OM|==a，‎ 由，可得ab=16，‎ 即ab=32，又a2+b2=c2，且=，‎ 解得a=8，b=4，c=4，‎ 即有双曲线的实轴长为16．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，注意运用点到直线的距离公式和离心率公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数，若关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．‎ ‎【考点】根的存在性及根的个数判断．‎ ‎【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断f（x）的范围，然后利用二次函数的性质求解a的范围．‎ ‎【解答】解：函数，的图象如图：‎ 关于x的方程f2（x）﹣3f（x）+a=0（a∈R）有8个不等的实数根，f（x）必须有两个不相等的实数根，由函数f（x）图象 可知f（x）∈（1，2）．令t=f（x），‎ 方程f2（x）﹣3f（x）+a=0化为：a=﹣t2+3t，t∈（1，2），‎ a=﹣t2+3t，开口向下，对称轴为：t=，‎ 可知：a的最大值为：﹣（）2+3×=，‎ a的最小值为：2．‎ a∈（2，]．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎13．已知O是坐标原点，点A（﹣1，1）．若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的取值范围是　[0，2]　．‎ ‎【考点】简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．‎ ‎【分析】先画出满足约束条件的平面区域，求出平面区域的角点后，逐一代入分析比较后，即可得到的取值范围．‎ ‎【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：‎ 将平面区域的三个顶点坐标分别代入平面向量数量积公式 当x=1，y=1时， =﹣1×1+1×1=0‎ 当x=1，y=2时， =﹣1×1+1×2=1‎ 当x=0，y=2时， =﹣1×0+1×2=2‎ 故和取值范围为[0，2]‎ 故答案为：[0，2]．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是线性规划的简单应用，其中画出满足条件的平面区域，并将三个角点的坐标分别代入平面向量数量积公式，进而判断出结果是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．已知||=2，||=2，与的夹角为45°，且λ﹣与垂直，则实数λ=　　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量λ﹣与向量垂直⇔（λ﹣）•=0再结合两向量数量积的定义即可求解．‎ ‎【解答】解：解：∵向量λ﹣与向量垂直，‎ ‎∴（λ﹣）•=0‎ ‎∴λ•﹣•=0‎ ‎∵||=2，||=2，与的夹角为45°‎ ‎∴λ•2•2•cos45°﹣22=0‎ ‎∴λ=‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考察了平面向量的垂直的判定，属常考题，较易．解题的关键是熟记两向量垂直的等价条件⊥⇔•=0和向量数量积的定义．‎ ‎　‎ ‎15．过抛物线C：y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是　　．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C方程为y2=4x，可得它的焦点为F（1，0），‎ ‎∴设直线l方程为y=k（x﹣1），‎ 由，消去x得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．‎ ‎∵|AF|=3|BF|，‎ ‎∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，‎ 消去y2得k2=3，解之得k=±．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎16．艾萨克•牛顿（1643年1月4日﹣1727年3月31日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f（x）零点时给出一个数列{xn}：满足，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{xn}为牛顿数列，设，已知a1=2，xn＞2，则{an}的通项公式an=　2n　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】由已知得到a，b，c的关系，可得f（x）=ax2﹣3ax+2a，求导后代入 ‎，整理可得，两边取对数，可得是以2为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求导答案．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，‎ ‎∴，解得：．‎ ‎∴f（x）=ax2﹣3ax+2a．‎ 则f′（x）=2ax﹣3a．‎ 则==，‎ ‎∴，‎ 则是以2为公比的等比数列，‎ ‎∵，且a1=2，‎ ‎∴数列{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，‎ 则，‎ 故答案为：2n．‎ ‎【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，属中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）（2017•吉林二模）已知函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求的取值范围．‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】（1）根据图象求出A，ω 和φ，即可求函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）利用正弦定理化简，求出B，根据三角内角定理可得A的范围，利用函数解析式之间的关系即可得到结论 ‎【解答】解：（1）由图象知A=1，，∴ω=2，‎ ‎∴f（x）=sin（2x+φ）‎ ‎∵图象过（），将点代入解析式得，‎ ‎∵，‎ ‎∴‎ 故得函数．‎ ‎（2）由（2a﹣c）cosB=bcosC，‎ 根据正弦定理，得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC ‎∴2sinAcosB=sin（B+C），‎ ‎∴2sinAcosB=sinA．‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴sinA≠0，‎ ‎∴cosB=，即B=‎ ‎∴A+C=，即 那么：，‎ 故得．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键．同时考查了正弦定理的运用化简．利用三角函数的有界限求范围，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2017•吉林二模）已知数列{an}是等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，且a3=3，S3=9‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn=log2，且{bn}为递增数列，若cn=，求证：c1+c2+c3+…+cn＜1．‎ ‎【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，从而可得3（1++）=9，从而解得；‎ ‎（Ⅱ）讨论可知a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，从而可得bn=log2=2n，利用裂项求和法求和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，‎ 则3（1++）=9，‎ 解得，q=1或q=﹣；‎ 故an=3，或an=3•（﹣）n﹣3；‎ ‎（Ⅱ）证明：若an=3，则bn=0，与题意不符；‎ 故a2n+3=3•（﹣）2n=3•（）2n，‎ 故bn=log2=2n，‎ 故cn==﹣，‎ 故c1+c2+c3+…+cn=1﹣+﹣+…+﹣‎ ‎=1﹣＜1．‎ ‎【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了方程的思想应用及裂项求和法的应用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2017•吉林二模）某车间20名工人年龄数据如表：‎ 年龄（岁）‎ ‎19‎ ‎24‎ ‎26‎ ‎30‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎40‎ 合计 工人数（人）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎20‎ ‎（Ⅰ） 求这20名工人年龄的众数与平均数；‎ ‎（Ⅱ） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；‎ ‎（Ⅲ） 从年龄在24和26的工人中随机抽取2人，求这2人均是24岁的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用车间20名工人年龄数据表能求出这20名工人年龄的众数和平均数．‎ ‎（Ⅱ）利用车间20名工人年龄数据表能作出茎叶图．‎ ‎（Ⅲ） 记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，利用列举法能求出这2人均是24岁的概率．‎ ‎【解答】（本小题满分12分）‎ 解　（Ⅰ） 由题意可知，这20名工人年龄的众数是30，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 这20名工人年龄的平均数为=（19+3×28+3×29+5×30+4×31+3×32+40）=30，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（Ⅱ） 这20名工人年龄的茎叶图如图所示：‎ ‎﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）‎ ‎（Ⅲ） 记年龄为24岁的三个人为A1，A2，A3；年龄为26岁的三个人为B1，B2，B3，‎ 则从这6人中随机抽取2人的所有可能为 ‎{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，‎ ‎{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B，3}，{A3，B1}，‎ ‎{A3，B2}，{A，3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}共15种．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）‎ 满足题意的有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}3种，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）‎ 故所求的概率为P=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查众数、平均数、概率的求法，考查茎叶图的作法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•吉林二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（Ⅰ）求证：AB∥EF；‎ ‎（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．‎ ‎（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD，‎ 又∵AB⊄面PCD，CD⊂面PCD，∴AB∥面PCD…（2分）‎ 又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，‎ ‎∴AB∥EF…（4分）‎ 解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，∵PA=PD，∴PG⊥AD，‎ 又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴PG⊥平面ABCD…‎ ‎∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，‎ 如图，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz…（6分）‎ 由PA=PD=AD=2得，G（0，0，0），A（1，0，0），‎ ‎，，D（﹣1，0，0），…（7分）‎ 又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，‎ ‎∴，，，‎ 设平面AFE的法向量为，‎ 则有，∴，‎ 不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为，…（9分）‎ ‎∵BG⊥平面PAD，∴是平面PAF的一个法向量，…（10分）‎ ‎，…（11分）‎ ‎∴平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值为：‎ ‎．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线与直线平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2017•吉林二模）如图，椭圆E：，点P（0，1）在短轴CD上，且 ‎（Ⅰ） 求椭圆E的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ） 设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点．是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知可得点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．结合•=﹣2列式求得b，则椭圆方程可求，进一步求出c可得椭圆的离心率；‎ ‎（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积•+λ•，可知当λ=2时， •+λ•=﹣7为定值．当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，仍有•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，点C，D的坐标分别为（0，﹣b），（0，b）．‎ 又点P的坐标为（0，1），且•=﹣2，即1﹣b2=﹣2，‎ 解得b2=3．‎ ‎∴椭圆E方程为．‎ ‎∵c==1，∴离心率e=；‎ ‎（Ⅱ）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+1，A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）．‎ 联立，得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0．‎ 其判别式△＞0，‎ x1+x2=，x1x2=．‎ 从而， •+λ•=x1x2+y1y2+λ[x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）]‎ ‎=（1+λ）（1+k2）x1x2+k（x1+x2）+1‎ ‎==﹣2λ﹣3，‎ 当λ=2时，﹣2λ﹣3=﹣7，‎ 即•+λ•=﹣7为定值．‎ 当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，‎ 此时•+λ•=•+2•=﹣3﹣4=﹣7，‎ 故存在常数λ=2，使得•+λ•为定值﹣7．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2017•吉林二模）设函数f（x）=（x+b）lnx，g（x）=alnx+﹣x（a≠1），已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+2y=0垂直．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若对任意x≥1，都有g（x）＞，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求出函数导数，由两直线垂直斜率之积为﹣1，解方程可得b；‎ ‎（2）求出导数，对a讨论，①若a≤，则≤1，②若＜a＜1，则＞1，③若a＞1，分别求出单调区间，可得最小值，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：（1）直线x+2y=0的斜率为﹣，‎ 可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，所以f′（1）=2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 又f′（x）=lnx++1，即ln1+b+1=2，所以b=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ ‎（2）g（x）的定义域为（0，+∞），‎ g′（x）=+（1﹣a）x﹣1=（x﹣1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎①若a≤，则≤1，故当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上单调递增．‎ 所以，对任意x≥1，都有g（x）＞的充要条件为g（1）＞，即﹣1＞，‎ 解得a＜﹣﹣1或﹣1＜a≤﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ ‎②若＜a＜1，则＞1，故当x∈（1，）时，g′（x）＜0；‎ 当x∈（0，1），（，+∞）时，g′（x）＞0．‎ f（x）在（1，）上单调递减，在（0，1），（，+∞）上单调递增．‎ 所以，对任意x≥1，都有g（x）＞的充要条件为g（x）＞．‎ 而g（x）=aln++＞在＜a＜1上恒成立，‎ 所以＜a＜1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎③若a＞1，g（x）在[1，+∞）上递减，不合题意．‎ 综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣﹣1）∪（﹣1，1）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）‎ ‎【点评】本题考查导数的运用：求切线斜率和单调区间，考查不等式恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想方法，考查化简整理运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎