数学理卷·2017届湖南省衡阳市高三下学期第一次联考（2017 17页

‎2017届高三毕业班联考（一）‎ 理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.‎ ‎1.若集合，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.为虚数单位，复平面内表示复数的点在 ‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 ‎3.已知，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎4.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如右图所示，则该“堑堵”的表面积为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设，把的图象向右平移个单位后，恰好得到函数的图象，则的值可以为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.2017年1月我市某校高三年级1600名学生参加了2017届全市高三期末联考，已知数学考试成绩（试卷满分150分）.统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次期末联考中成绩不低于120分的学生人数约为 ‎ A. 120 B. 160 C. 200 D. 240‎ ‎8.执行如右图所示的程序框图，则输出的值为（参考数据：‎ ‎）‎ ‎ A. 24 B. 48 C. 36 D. 60‎ ‎9.我国古代数学名著《数学九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆地直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸；台体的体积公式为）.‎ ‎ A.2寸 B. 3寸 C. 4寸 D.5寸 ‎10.已知，若，则的值为 ‎ A. B. 0 C. 1 D.‎ ‎11.抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限内的点，若在点处的切线平行于的一条渐近线，则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.在中，分别是边的中点，分别是线段的的中点，, 分别是线段的中点.设数列满足：向量，有下列四个命题，其中假命题是：‎ ‎ A.数列是等比数列 ‎ B.数列有最小值，无最大值 ‎ C.数列是单调递增数列，数列是单调递减数列 ‎ ‎ D.若中，,则取最小值时，有 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在中，分别是角的对边，已知，且有，则实数 .‎ ‎14.某单位为了了解用电量度与气温之间的关系，随机统计了某四天的用电量与当天气温，列表如下：‎ 由表中数据得到回归直线方程为，据此预测当气温为时，用电量为 （单位：度）.‎ ‎15.在平面区域内取点，过点作曲线的切线，切点分别为，设，则角取得最小值时，的值为 .‎ ‎16. 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”.下列有关说法中：‎ ‎①对于圆的所有非常熟函数的太极函数中，一定不能为偶函数；②函数是圆的一个太极函数；③存在圆O，使得是圆O的太极函数；④直线所对应的函数一定是圆的太极函数；‎ ‎⑤若函数是圆的太极函数，则所有正确的是 .‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.‎ ‎17.（本题满分10分）‎ 已知数列的前项和为，且对任意正整数都有成立.‎ ‎（Ⅰ）记，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，设为的中点 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐角的余弦值．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 我市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ 组别 PM2.5(微克/立方米)‎ 频数(天)‎ 频率 第一组 ‎( 0，15]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎(15，30]‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎(30，45]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第四组 ‎(45，60]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第五组 ‎(60，75]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第六组 ‎(75，90)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；‎ ‎（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；‎ ‎（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）试探究的值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数，，的图象与轴交于点（异于原点），在处的切线为，的图象与轴交于点，且在该点处的切线为，并且与平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知实数，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。‎ ‎22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆与直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（1） 求与交点的极坐标;‎ ‎（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为为参数) ，求的值.‎ ‎23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．‎ ‎2017届高中毕业班联考（一）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1-6:BCDADD 7-12:CABACB 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.‎ ‎13． 14．68 15． 16．②④⑤‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和为，且对任意正整数都有成立.‎ ‎（Ⅰ）记，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列的前项和.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）在中，令得. 因为对任意正整数，都有成立，所以，‎ ‎----------------2分 两式相减得，所以， ‎ ‎----------------4分 又，所以为等比数列，所以，所以.‎ ‎----------------6分 ‎（Ⅱ），‎ ‎----------------8分 所以 ‎----------------10分 ‎----------------12分 ‎18．(本小题满分12分)‎ 已知四棱柱的底面是边长为的菱形，且，平面，，设为的中点 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）点在线段上，且平面，求平面和平面所成锐角的余弦值．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：由已知该四棱柱为直四棱柱，且为等边三角形， 所以平面，而平面，故 ‎----------------2分 因为的三边长分别为，故为等腰直角三角形 所以，结合且可知：平面 ‎----------------4分 ‎（2）解：取中点，则由为等边三角形 知，从而 以为坐标轴，建立如图所示的坐标系 此时,，设 ‎----------------6分 由上面的讨论知平面的法向量为 由于平面，故平面 故，故 ‎----------------8分 设平面的法向量为， 由知，取，故 ‎----------------10分 设平面和平面所成锐角为，则 即平面和平面所成锐角的余弦值为 ‎----------------12分 ‎19．(本小题满分12分)‎ 根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 我市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：‎ 组别 PM2.5(微克/立方米)‎ 频数(天)‎ 频率 第一组 ‎( 0，15]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第二组 ‎(15，30]‎ ‎12‎ ‎0.3‎ 第三组 ‎(30，45]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第四组 ‎(45，60]‎ ‎8‎ ‎0.2‎ 第五组 ‎(60，75]‎ ‎4‎ ‎0.1‎ 第六组 ‎(75，90)‎ ‎4‎ ‎0.1‎ ‎（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；‎ ‎（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；‎ ‎（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为，求的分布列及数学期望和方差.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． ‎ ‎----------------2分 ‎（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为 （微克/立方米）．‎ ‎----------------4分 因为，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，故该居民区的环境需要改进． ‎ ‎----------------6分 ‎（3）记事件表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，‎ 则.随机变量的可能取值为0,1,2.且.‎ ‎----------------8分 所以， 所以变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎----------------10分 （天） (另解：（天）)‎ ‎----------------12分 ‎20．(本小题满分12分)‎ 已知动圆与圆相切，且与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线；设为曲线上的一个不在轴上的动点，为坐标原点，过点作的平行线交曲线于两个不同的点．‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）试探究的值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；‎ ‎（3）记的面积为，的面积为，令，求的最大值．‎ ‎【解析】‎ 解：（1）设圆心的坐标为，半径为，‎ 由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切 ‎∴ ‎∴圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，‎ ‎∴ 故圆心的轨迹．‎ ‎----------------3分 ‎（2）设，直线，则直线，‎ 由可得：，∴，‎ ‎∴ ‎----------------5分 由可得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴ ．‎ ‎----------------7分 ‎∴∴的值为一个常数，这个常数为．‎ ‎----------------8分 ‎（3）∵，∴的面积的面积，∴，‎ ‎∵到直线的距离，‎ ‎∴．‎ ‎----------------10分 令，则，，‎ ‎∵（当且仅当，即，亦即时取等号）‎ ‎∴当时，取最大值．‎ ‎----------------12分 ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数，，的图象与轴交于点（异于原点），在处的切线为，的图象与轴交于点，且在该点处的切线为，并且与平行.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）已知实数，求函数的最小值；‎ ‎（Ⅲ）令，给定，对于两个大于1的正数，存在实数满足：，，并且使得不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）图象与轴异于原点的交点，‎ 图象与轴的交点，‎ 由题意可得，即， ‎ ‎∴，‎ ‎----------------3分 ‎（II）=‎ 令，在 时，，‎ ‎∴在单调递增，‎ 图象的对称轴，抛物线开口向上 ‎①当即时，‎ ‎②当即时，‎ ‎③当即时，‎ ‎----------------6分 综上：当时， ；‎ 当；‎ 当时，‎ ‎----------------7分 ‎（III）‎ , 所以在区间上单调递增 ‎ ‎∴时，‎ ‎----------------8分 ‎①当时，有，‎ ‎，‎ 得，同理， ‎ ‎∴ 由的单调性知 、‎ 从而有，符合题设. ‎ ‎----------------9分 ‎②当时，，‎ ‎，‎ 由的单调性知 ，‎ ‎∴，与题设不符 ‎ ‎----------------10分 ‎③当时，同理可得，‎ 得，与题设不符. ‎ ‎----------------11分 ‎∴综合①、②、③得 ‎----------------12分 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 圆与直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（1） 求与交点的极坐标;‎ ‎（2）设为的圆心，为与交点连线的中点，已知直线的参数方程为为参数) ，求的值.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）圆的直角坐标方程为,直线的直角坐标方程为,联立得 ，得所以与交点的极坐标为.‎ ‎----------------5分 ‎（2）由（1）可得,的直角坐标为,故的直角坐标方程为，由参数方程可得，所以，解得.‎ ‎----------------10分 ‎23．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若方程有三个不同的解，求的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）时， ‎∴当时，不合题意；‎ 当时，，解得；‎ 当时，符合题意．‎ 综上，的解集为．‎ ‎----------------5分 ‎（2）设，的图象和的图象如图，‎ 易知的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位）与的图象始终有3个交点，从而．‎ ‎----------------10分 x y