2020届高考数学（理）二轮复习综合检测二（全国卷）（Word版附答案） 17页

2021 届高考二轮复习综合检测二(全国卷) 数 学（理科） 考生注意： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 4页． 2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应 位置上． 3．本次考试时间 120分钟，满分 150分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整． 第Ⅰ卷(选择题 共 60分) 一、选择题(本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．已知集合 A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|log2x≤2}，则 A∩B等于( ) A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(2,4] C．(0,2) D．(－1,4] 2．复数 z＝2－i 1＋i 对应的点在复平面内位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角 形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若 在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( ) A. 9 32 B. 5 16 C.3 8 D. 7 16 4．在△ABC中，内角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若 a2－b2＝ 3bc，sin C＝2 3sin B， 则 A等于( ) A.π 6 B.π 3 C.2π 3 D.5π 6 5．(2019·河南省郑州市第一中学适应性考试)已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (0) ＝0，当 x<0时，f (x)单调递增．若实数 a满足 f (3－|a＋1|)>f － 3 3 ，则 a的取值范围是( ) A. － 3 2 ，－ 1 2 B. －∞，－ 3 2 ∪ － 1 2 ，＋∞ C. － 4 3 ，－ 2 3 D. －∞，－ 4 3 ∪ － 2 3 ，＋∞ 6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( ) A.6＋π 3 6 B.8＋π 3 6 C.8＋2π 3 6 D.9＋2π 3 6 7．已知函数 f (x)＝Acos(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的图象如图所示，若函数 h(x)＝f (x)＋1的 两个不同零点分别为 x1，x2，则|x1－x2|的最小值为( ) A.2π 3 B.π 2 C.4π 3 D．π 8．(2019·上海市吴淞中学期末)函数 f (x)＝ a－x2 |x＋1|－1 为奇函数的充要条件是( ) A．01 C．00)的焦点为 F，已知点 A和 B分别为抛物线上的两个动点．且满足∠AFB ＝120°，过弦 AB的中点 M作抛物线准线的垂线 MN，垂足为 N，则 |MN| |AB|的最大值为( ) A. 3 B．1 C.2 3 3 D. 3 3 10．(2019·上海市曹杨中学期末)设定义域为 R 的函数 f (x)＝ |lg|x－1||x≠1， 0x＝1， 则关于 x的 方程 f2(x)＋bf (x)＋c＝0有 7个不同实数根的充要条件是( ) A．b<0且 c>0 B．b<0且 c<0 C．b<0且 c＝0 D．b≥0且 c＝0 11．(2020·哈尔滨市师范大学附属中学月考)已知 O为△ABC的外接圆的圆心，且 3OA→＋4OB→ ＝－5OC→，则 C的值为( ) A.π 4 B.π 2 C.π 6 D. π 12 12．已知函数 f (x)＝ln x＋x－t2 x ，t∈R，若对任意的 x∈[1,2]，f (x)>－x·f′(x)恒成立，则实 数 t的取值范围是( ) A．(－∞， 2) B. －∞， 3 2 C．(－∞，3) D. －∞， 9 4 第Ⅱ卷(非选择题 共 90分) 二、填空题(本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．把答案填在题中横线上) 13．已知定义在 R 上的奇函数，当 x>0时，f (x)＝log2x－3x，则 f (－1)＝________. 14．若(x－1)5－2x4＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋a4(x－2)4＋a5(x－2)5，则 a2＝ ________. 15．设 f′(x)和 g′(x)分别是 f (x)和 g(x)的导函数，若 f′(x)·g′(x)<0 在区间 I上恒成立，则 称 f (x)和 g(x)在区间 I上单调性相反．若函数 f (x)＝1 3 x3－2ax(a∈R)与 g(x)＝x2＋2bx(b∈R)在 区间(a，b)上单调性相反(a>0)，则 b－a的最大值为__________． 16．已知圆 O：x2＋y2＝1与 x轴负半轴的交点为 A，P为直线 3x＋4y－a＝0上一点，过 P作 圆 O的切线，切点为 T，若|PA|＝2|PT|，则 a的最大值为________． 三、解答题(本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)在锐角△ABC中， a，b，c为内角 A，B，C的对边，且满足(2c－a)cos B－bcos A ＝0. (1)求角 B的大小； (2)已知 c＝2，AC边上的高 BD＝3 21 7 ，求△ABC的面积 S的值． 18．(12分)如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝1，底面 ABCD的周长为 4，E为 BA1 的中点． (1)判断两直线 EC1与 AD的位置关系，并给予证明； (2)当长方体 ABCD－A1B1C1D1的体积最大时，求直线 BA1与平面 A1CD所成的角θ. 19.(12分)已知椭圆 C1： x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)和椭圆 C2： x2 2 ＋y2＝1 的离心率相同，且点( 2，1) 在椭圆 C1上． (1)求椭圆 C1的方程； (2)设 P为椭圆 C2上一点，过点 P作直线交椭圆 C1于 A，C两点，且 P恰为弦 AC的中点， 则当点 P变化时，试问△AOC的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由． 20．(12分)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．目前，国家教育主管部 门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育 指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求．为激发学生加强体育活 动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者 得 1分，负者得 0分，比赛进行到有一人比对方多 2分或打满 8局时停止．设甲在每局中获 胜的概率为 p p>1 2 ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 5 9 . (1)求 p的值； (2)设 X表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X的分布列和均值 E(X)． 21.(12分)函数 f (x)＝ln x＋1－x ax (a∈R 且 a≠0)，g(x)＝(b－1)x－xex－1 x (b∈R)． (1)讨论函数 f (x)的单调性； (2)当 a＝1时，若关于 x的不等式 f (x)＋g(x)≤－2恒成立，求实数 b的取值范围． 请在第 22～23题中任选一题作答． 22．(10分)在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点 O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标 系，已知曲线 C的极坐标方程为ρ＝ 4cos θ 1－cos2θ ，直线 l的参数方程是 x＝2＋tcos α， y＝2＋tsin α (t为参 数，0≤α<π)． (1)求曲线 C的直角坐标方程； (2)设直线 l与曲线 C交于 A，B两点，且线段 AB的中点为 M(2,2)，求α. 23．(10分)已知函数 f (x)＝m－|x＋4|(m>0)，且 f (x－2)≥0的解集为[－3，－1]． (1)求 m的值； (2)若 a，b，c都是正实数，且 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝m，求证：a＋2b＋3c≥9. 答案精析 1．B [∵集合 A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或 x>2}， B＝{x|log2x≤2}＝{x|0f － 3 3 ， ∴f (3－|a＋1|)>f 3 3 ＝f (3 1 2  )， 又 f (x)为偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x)在(0，＋∞)上单调递减，∴|a＋1|>1 2 ， 解得 a∈ －∞，－ 3 2 ∪ － 1 2 ，＋∞ .] 6．B [几何体为一个四棱锥与一个半圆锥的组合体，四棱锥的高为 3，底面为边长为 2 的 正方形；半圆锥高为 3，底面为半径为 1 的半圆，因此体积为 1 3 × 3×22＋1 3 × 3×π·12 2 ＝ 8＋π 3 6 ，故选 B.] 7．A [由图象可知，A＝2，T 4 ＝ 2π 3 － π 6 ＝ π 2 ， ∴T＝2π，ω＝1，∴f (x)＝2cos(x＋φ)， ∵f π 6 ＝2cos π 6 ＋φ ＝2，且|φ|<π 2 ， ∴φ＝－ π 6 ，f (x)＝2cos x－π 6 ， 令 h(x)＝f (x)＋1＝2cos x－π 6 ＋1＝0， 可得 cos x－π 6 ＝－ 1 2 ， 解得 x－π 6 ＝ 2π 3 ＋2kπ，k∈Z 或 x－π 6 ＝ 4π 3 ＋2kπ，k∈Z， x＝5π 6 ＋2kπ，k∈Z 或 x＝3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 则|x1－x2|的最小值为 3π 2 － 5π 6 ＝ 2π 3 .] 8．C [f (x)＝ a－x2 |x＋1|－1 ，f (－x)＝ a－x2 |－x＋1|－1 ， f (x)为奇函数， a－x2 |x＋1|－1 ＝－ a－x2 |－x＋1|－1 ， ∴|x＋1|＋|x－1|＝2，∴－1≤x≤1， 考虑定义域 a－x2≥0，即－ a≤x≤ a(a>0)且 x≠0， 满足 a≤1，∴00，所以 c＝0，t2＝－b>0即 b<0， 故选 C.] 11．A [由题意可得，|OA→ |＝|OB→ |＝|OC→ |， 且OC→＝－ 1 5 (3OA→＋4OB→ )， ∴OC→ ·OC→＝|OC→ |2＝ 1 25 (3OA→＋4OB→ )2 ＝ 9 25 |OA→ |2＋24 25 OA→ ·OB→＋ 16 25 |OB→ |2 ＝|OC→ |2＋24 25 OA→ ·OB→， ∴ 24 25 OA→ ·OB→＝0，∴∠AOB＝90°. 如图所示，建立平面直角坐标系， 设 A(0,1)，B(1,0)， 由 3OA→＋4OB→＝(4,3)＝－5OC→， 可知 C － 4 5 ，－ 3 5 ， 则CA→＝ 4 5 ， 8 5 ，CB→＝ 9 5 ， 3 5 ， cos C＝ CA→ ·CB→ |CA→ |×|CB→ | ＝ 36 25 ＋ 24 25 4 5 5 × 3 10 5 ＝ 2 2 ， 则 C＝π 4 .] 12．B [∵f′(x)＝x2－ln x＋1－t2 x2 ， 又对任意的 x∈[1,2]，f′(x)·x＋f (x)＞0恒成立， ∴对任意的 x∈[1,2]，2x2－2tx＋1 x ＞0恒成立， 即对任意的 x∈[1,2]，2x2－2tx＋1＞0恒成立， 则 t＜2x2＋1 2x ＝x＋ 1 2x ＝x＋ 1 2 x 恒成立， 令 g(x)＝x＋ 1 2 x ，又 g(x)＝x＋ 1 2 x 在[1,2]上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝3 2 ，∴t＜3 2 .] 13．3 解析 因为 f (1)＝log21－3＝－3， 又 f (x)为定义在 R 上的奇函数， 所以 f (－1)＝－f (1)＝3. 14．－38 解析 令 x－2＝t，则 x＝t＋2.由条件可得(t＋1)5－2(t＋2)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5， 故 t2的系数为 C35－2C24×22＝－38，即 a2＝－38. 15.1 2 解析 由题意知 f′(x)＝x2－2a，g′(x)＝2x＋2b， 函数 f (x)与 g(x)在区间(a，b)上单调性相反， 则(x2－2a)(2x＋2b)<0在 x∈(a，b)上恒成立， 又 00， 于是 x2－2a<0在 x∈(a，b)上恒成立． 易知 x2－2a<0的解集为(－ 2a， 2a)， 所以(a，b)⊆(－ 2a， 2a)， 所以 b－a≤ 2a－a＝－ a－ 1 2 2＋ 1 2 ， 当 a＝1 2 ，b＝1时，b－a取得最大值 1 2 . 16.23 3 解析 易知 A(－1,0)，设 P(x，y)， 由|PA|＝2|PT|，可得(x＋1)2＋y2＝4(x2＋y2－1)， 化简得 x－1 3 2＋y2＝16 9 ， 可转化为直线 3x＋4y－a＝0与圆 x－1 3 2＋y2＝16 9 有公共点， 所以 d＝|1－a| 5 ≤ 4 3 ， 解得－ 17 3 ≤a≤23 3 . 故 a的最大值为 23 3 . 17．解 (1)∵(2c－a)cos B－bcos A＝0， 由正弦定理得(2sin C－sin A)cos B－sin Bcos A＝0， ∴(2sin C－sin A)cos B＝sin Bcos A， 2sin Ccos B－sin(A＋B)＝0， ∵A＋B＝π－C且 sin C≠0，∴cos B＝1 2 ， ∵B∈(0，π)，∴B＝π 3 . (2)∵S△ABC＝ 1 2 acsin B＝1 2 BD·b， 代入 c＝2，BD＝3 21 7 ，sin B＝ 3 2 ，得 b＝ 7 3 a， 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4－2a， 代入 b＝ 7 3 a，得 a2－9a＋18＝0， 解得 a＝3， b＝ 7 或 a＝6， b＝2 7， 又∵三角形为锐角三角形， ∴a20)， 当 a<0时，f′(x)>0，∴f (x)在(0，＋∞)上单调递增， 当 a>0时，由 f′(x)>0 得 x>1 a ； 由 f′(x)<0得 00 时，f (x)在 0，1 a 上单调递减，在 1 a ，＋∞ 上单调递增． (2)由题意，当 a＝1时，不等式 f (x)＋g(x)≤－2， 即 ln x＋1 x －1＋(b－1)x－xex－1 x ≤－2， 即 b－1≤ex－ln x x － 1 x 在(0，＋∞)上恒成立， 令 h(x)＝ex－ln x x － 1 x ， 则 h′(x)＝ex－1－ln x x2 ＋ 1 x2 ＝ x2ex＋ln x x2 ， 令 u(x)＝x2ex＋ln x，则 u′(x)＝(x2＋2x)ex＋1 x >0， ∴u(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又 u(1)＝e>0，u 1 2 ＝ e 4 －ln 2<0， ∴u(x)有唯一零点 x0 1 2 0，即 h′(x)>0，h(x)单调递增， ∴h(x0)为 h(x)在定义域内的最小值． 令 k(x)＝xex 1 2 0)， ∴a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) 1 a ＋ 1 2b ＋ 1 3c ＝3＋ a 2b ＋ 2b a ＋ a 3c ＋ 3c a ＋ 2b 3c ＋ 3c 2b ≥9， 当且仅当 a＝2b＝3c，即 a＝3，b＝3 2 ，c＝1时取等号．