2018届二轮复习（文）　导数与函数的单调性、极值、最值问题学案（全国通用） 16页

第4讲　导数与函数的单调性、极值、最值问题 高考定位　利用导数研究函数的性质，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.‎ 真 题 感 悟 ‎ 1.(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为(　　)‎ A.－1 B.－2e－3 ‎ C.5e－3 D.1‎ 解析　f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，‎ 则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0⇒a＝－1，‎ 则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，‎ 令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，‎ 当x<－2或x>1时，f′(x)>0，‎ 当－20.‎ 故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.‎ ‎(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.‎ ‎②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，‎ 故当且仅当a2≥0，‎ 即a≥－2e时，f(x)≥0.‎ 综上，a的取值范围是[－2e，0].‎ 考 点 整 合 ‎1.导数的几何意义 函数f(x) 在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).‎ 易错提醒　求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.‎ ‎2.四个易误导数公式 ‎(1)(sin x)′＝cos x；‎ ‎(2)(cos x)′＝－sin x；‎ ‎(3)(ax)′＝axln a(a>0，且a≠1)；‎ ‎(4)(logax)′＝(a>0，且a≠1，x>0).‎ ‎3.利用导数研究函数的单调性 ‎(1)导数与函数单调性的关系.‎ ‎①f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.‎ ‎②f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数函数.‎ ‎(2)利用导数研究函数单调性的方法.‎ ‎①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.‎ ‎②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解.‎ ‎4.利用导数研究函数的极值、最值 ‎(1)若在x0附近左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.‎ ‎(2)设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.‎ 易错提醒　若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要而不充分条件.‎ 热点一　导数的几何意义 ‎【例1】 (1)(2017·鹰潭一模)已知曲线f(x)＝2x2＋1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为－8，则点M的坐标为________.‎ ‎(2)(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程是________.‎ 解析　(1)∵f(x)＝2x2＋1，∴f′(x)＝4x，‎ 令4x0＝－8，则x0＝－2，∴f(x0)＝9，‎ ‎∴点M的坐标是(－2，9).‎ ‎(2)因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.‎ 所以f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2.‎ 所以f(x)在点(1，2)处的切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.‎ 答案　(1)(－2，9)　(2)2x－y＝0‎ 探究提高　1.(1)利用导数的几何意义解题主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来转化，其中关键是求出切点的坐标.‎ ‎(2)以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则根据平行、垂直与斜率之间的关系和导数联系起来求解.‎ ‎2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·湖北百所重点高中联考)已知函数f(x＋1)＝，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为(　　)‎ A.1 B.－1 ‎ C.2 D.－2‎ ‎(2)(2017·长郡中学调研)设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝____________.‎ 解析　(1)由f(x＋1)＝，知f(x)＝＝2－.‎ ‎∴f′(x)＝，且f′(1)＝1.‎ 由导数的几何意义，所求切线的斜率k＝1.‎ ‎(2)y′＝ ‎＝，‎ 则曲线y＝在点处的切线的斜率为k1＝1.‎ 因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，‎ 又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，‎ 所以k1k2＝－1，解得a＝1.‎ 答案　(1)A　(2)1‎ 热点二　利用导数研究函数的单调性 命题角度1　确定函数的单调性(区间)‎ ‎【例2－1】 已知函数f(x)＝ln x＋，其中常数k>0，‎ ‎(1)讨论f(x)在(0，2)上的单调性；‎ ‎(2)若k∈[4，＋∞)，曲线y＝f(x)上总存在相异两点M(x1，y1)，N(x2，y2)使得曲线y＝f(x)在M，N两点处切线互相平行，求x1＋x2的取值范围.‎ 解　(1)因为f′(x)＝－－1‎ ‎＝＝－(x>0，k>0).‎ ‎①当0k>0，且>2，‎ 所以x∈(0，k)时，f′(x)<0，x∈(k，2)时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在(0，k)上是减函数，在(k，2)上是增函数；‎ ‎②当k＝2时，＝k＝2，f′(x)<0在(0，2)上恒成立，‎ 所以f(x)在(0，2)上是减函数，‎ ‎③当k>2时，0<<2，k>，‎ 所以x∈时，f′(x)<0，x∈时，f′(x)>0，‎ 所以函数f(x)在上是减函数，在上是增函数.‎ ‎(2)由题意，可得f′(x1)＝f′(x2)(x1，x2>0，且x1≠x2)，‎ 则－－1＝－－1，‎ 化简得4(x1＋x2)＝x1x2，‎ 又x1x2<，‎ ‎∴4(x1＋x2)<，‎ 即x1＋x2>对k∈[4，＋∞)恒成立，‎ 令g(k)＝k＋，则g′(k)＝1－>0.‎ ‎∴g(k)＝k＋在[4，＋∞)上是增函数，‎ 所以g(k)≥g(4)＝5，所以≤，所以x1＋x2>，‎ 故x1＋x2的取值范围为.‎ 探究提高　1.求函数的单调区间，只需在函数的定义域内解(证)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.‎ ‎2.解答本例容易出现以下错误：‎ ‎(1)忽略函数的定义域，在函数解析式中含有对数必须满足x>0.‎ ‎(2)对k分类讨论不全，题目中已知k>0，对k分类讨论时容易对标准划分不准确，讨论不全面.‎ ‎【迁移探究1】 若将本例中的条件“k>0”变为“k<0”，其他条件不变，f(x)在(0，2)上的单调性如何？‎ 解　由例2－1解析知f′(x)＝－在(0，2)上f′(x)<0，故f(x)在(0，2)上为减函数.‎ ‎【迁移探究2】 在本例(1)中，将“(0，2)”改为(0，＋∞)，其他条件不变，求函数f(x)的单调区间.‎ 解　由例题知f′(x)＝－.‎ ‎①当02时，k>，f(x)的单调减区间为和(k，＋∞)，增区间为.‎ 命题角度2　根据函数的单调性求参数的取值范围 ‎【例2－2】 (2017·兰州二模)已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x.‎ ‎(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)是否存在实数a，使函数g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.‎ 解　(1)当a＝－1时，f(x)＝x2＋2ln x－3x，‎ 则f′(x)＝x＋－3＝＝.‎ 当02时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当10时恒成立，‎ ‎∴a≤(x2－2x)＝(x－1)2－恒成立.‎ 又φ(x)＝(x－1)2－，x∈(0，＋∞)的最小值为－.‎ ‎∴当a≤－时，g′(x)≥0恒成立.‎ 又当a＝－，g′(x)＝当且仅当x＝1时，g′(x)＝0.‎ 故当a∈时，g(x)＝f(x)－ax在(0，＋∞)上单调递增.‎ 探究提高　1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.‎ ‎2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.‎ ‎【训练2】 已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数).‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围；‎ 解　(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)·ex，‎ 所以f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex ‎＝(－x2＋2)ex.‎ 令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，‎ 因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(－，).‎ ‎(2)因为函数f(x)在(－1，1)上单调递增，‎ 所以f′(x)≥0对x∈(－1，1)都成立.‎ 因为f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，‎ 所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1，1)都成立.‎ 因为ex＞0，所以－x2＋(a－2)x＋a≥0，‎ 则a≥＝＝(x＋1)－对x∈(－1，1)都成立.‎ 令g(x)＝(x＋1)－，则g′(x)＝1＋＞0.‎ 所以g(x)＝(x＋1)－在(－1，1)上单调递增.‎ 所以g(x)＜g(1)＝(1＋1)－＝.‎ 所以a的取值范围是.‎ 热点三　利用导数研究函数的极值和最值 命题角度1　求函数的极值、最值 ‎【例3－1】 (2017·北京卷)已知函数f(x)＝excos x－x.‎ ‎(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；‎ ‎(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.‎ 解　(1)∵f(x)＝ex·cos x－x，∴f(0)＝1，‎ f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，∴f′(0)＝0，[来源:学科网]‎ ‎∴y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1.‎ ‎(2)f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，令g(x)＝f′(x)，‎ 则g′(x)＝－2sin x·ex≤0在上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，‎ ‎∴g(x)在上单调递减，‎ ‎∴g(x)≤g(0)＝0，∴f′(x)≤0且仅在x＝0处等号成立，‎ ‎∴f(x)在上单调递减，‎ ‎∴f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f＝－.‎ 命题角度2　与函数极值点个数有关问题 ‎【例3－2】 (2017·衡水中学月考)已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).‎ ‎(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；‎ ‎(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值.‎ 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－＝.‎ 当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.‎ ‎∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.‎ 当a>0时，由f′(x)<0，得00，得x>，‎ ‎∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，故f(x)在x＝处有极小值.‎ 综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；‎ 当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点.‎ ‎(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，‎ ‎∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x.‎ 因此f(x)≥bx－2⇒1＋－≥b，‎ 令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，‎ 令g′(x)＝0，得x＝e2，‎ 则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－.‎ 故实数b的最大值是1－.‎ 探究提高　1.求函数f(x)的极值，则先求方程f′(x)＝0的根，再检查f′(x)在方程根的左右附近函数值的符号.‎ ‎2.若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x)＝0根的大小或存在情况来求解.‎ ‎3.求函数f(x)在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.‎ ‎【训练3】　(2017·郴州二模选编)已知函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x.‎ ‎(1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)当a<0时，求函数f(x)在上的最小值.‎ 解　(1)由函数f(x)＝ax2＋(1－2a)x－ln x，‎ 可得f′(x)＝2ax＋(1－2a)－＝，‎ 令f′(x)>0，因为a>0，x>0，‎ ‎∴>0，∴x－1>0，得x>1，‎ ‎∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞).‎ ‎(2)由(1)可得f′(x)＝，因为a<0，令f′(x)＝0，得x1＝－，x2＝1，‎ ‎①当－>1，即－0，因此f(x)在上是增函数，‎ ‎∴f(x)的最小值为f＝－a＋ln 2.‎ 综上，函数f(x)在区间上的最小值为：‎ f(x)min＝ ‎1.如果一个函数具有相同单调性的区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用逗号或“和”字隔开.‎ ‎2.可导函数在闭区间[a，b]上的最值，就是函数在该区间上的极值及端点值中的最大值与最小值.‎ ‎3.可导函数极值的理解 ‎(1)函数在定义域上的极大值与极小值的大小关系不确定，也有可能极小值大于极大值；‎ ‎(2)对于可导函数f(x)，“f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)＝0”是“f(x)在x＝x0‎ 处取得极值”的必要不充分条件；‎ ‎(3)注意导函数的图象与原函数图象的关系，导函数由正变负的零点是原函数的极大值点，导函数由负变正的零点是原函数的极小值点.‎ ‎4.求函数的单调区间时，若函数的导函数中含有带参数的有理因式，因式根的个数、大小、根是否在定义域内可能都与参数有关，则需对参数进行分类讨论.‎ ‎5.求函数的极值、最值问题，一般需要求导，借助函数的单调性，转化为方程或不等式问题来解决，有正向思维——直接求函数的极值或最值；也有逆向思维——已知函数的极值或最值，求参数的值或范围，常常用到分类讨论、数形结合的思想.‎ 一、选择题 ‎1.曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为(　　)‎ A.y＝x＋1 B.y＝x－1‎ C.y＝3x＋1 D.y＝－x＋1‎ 解析　求导函数y′＝ex＋2，当x＝0时，y′＝e0＋2＝3，所以曲线y＝ex＋2x在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.‎ 答案　C ‎2.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)‎ 解析　利用导数与函数的单调性进行验证.f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合.‎ 答案　D ‎3.函数f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是(　　)‎ A.0 B.1‎ C.2 D.无数 解析　函数定义域为(0，＋∞)，‎ 且f′(x)＝6x＋－2＝，‎ 由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，‎ 所以g(x)>0恒成立，故f′(x)>0恒成立，‎ 即f(x)在定义域上单调递增，无极值点.‎ 答案　A ‎4.(2017·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(1，2] B.[4，＋∞)‎ C.(－∞，2] D.(0，3]‎ 解析　易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.‎ 由f′(x)＝x－<0，解得00，则－x<0，f(－x)＝ln x－3x，‎ 又f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)，‎ ‎∴f(x)＝ln x－3x(x>0)，则f′(x)＝－3(x>0).‎ ‎∴f′(1)＝－2，‎ ‎∴在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.‎ 答案　2x＋y＋1＝0‎ ‎8.(2017·郴州三模)已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为________.‎ 解析　当x>0时，f(x)＝－1，f′(x)＝，‎ ‎∴当x∈(0，1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；‎ 当x>1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增.‎ ‎∴x＝1时，f(x)取到极小值e－1，即f(x)的最小值e－1.‎ 又f(x)为奇函数，且x<0时，f(x)＝h(x)，‎ ‎∴h(x)的最大值为－(e－1)＝1－e.‎ 答案　1－e[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ 三、解答题 ‎9.(2017·新乡调研)已知函数f(x)＝ex－x2＋2ax.‎ ‎(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；‎ ‎(2)若f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)∵f′(x)＝ex－2x＋2，∴f′(1)＝e，‎ 又f(1)＝e＋1，‎ ‎∴所求切线方程为y－(e＋1)＝e(x－1)，‎ 即ex－y＋1＝0.‎ ‎(2)f′(x)＝ex－2x＋2a，‎ ‎∵f(x)在R上单调递增，∴f′(x)≥0在R上恒成立，‎ ‎∴a≥x－在R上恒成立，令g(x)＝x－，‎ 则g′(x)＝1－，令g′(x)＝0，则x＝ln 2，‎ 在(－∞，ln 2)上，g′(x)>0；‎ 在(ln 2，＋∞)上，g′(x)<0，‎ ‎∴g(x)在(－∞，ln 2)上单调递增，在(ln 2，＋∞)上单调递减，‎ ‎∴g(x)max＝g(ln 2)＝ln 2－1，∴a≥ln 2－1，‎ ‎∴实数a的取值范围为[ln 2－1，＋∞).‎ ‎10.已知f(x)＝ln x＋.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间和极值；‎ ‎(2)若对任意x>0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，求正数a的取值范围.‎ 解　(1)f′(x)＝－＝，x∈(0，＋∞).‎ ‎①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值.‎ ‎②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，f(x)在(0，a)为减函数；‎ x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(a，＋∞)为增函数，‎ f(x)在(0，＋∞)有极小值，无极大值，‎ f(x)的极小值f(a)＝ln a＋1.‎ ‎(2)若对任意x>0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，即对任意x>0，均有2ln a≤＋ln x恒成立，‎ 由(1)可知f(x)的最小值为ln a＋1，问题转化为2ln a≤ln a＋1，即ln a≤1，故00时，h(x)>0；当x<0时，h(x)<0.‎ ‎①当a＝0时，g′(x)＝x(x－sin x)，‎ 当x∈(－∞，＋∞)时，g′(x)≥0，g(x)单调递增；‎ 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，g(x)无极大值也无极小值.‎ ‎②当a>0时，g′(x)＝(x－a)(x－sin x)，‎ 当x∈(－∞，0)时，x－a<0，g′(x)>0，g(x)单调递增；‎ 当x∈(0，a)时，x－a<0，g′(x)<0，g(x)单调递减；‎ 当x∈(a，＋∞)时，x－a>0，g′(x)>0，g(x)单调递增.‎ 所以，当x＝0时，g(x)取到极大值，极大值是g(0)＝－a；‎ 当x＝a时g(x)取到极小值，极小值是g(a)＝－a3－sin a.‎ 综上所述：当a＝0时，函数g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，无极值；‎ 当a>0时，函数g(x)在(－∞，0)和(a，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是g(0)＝－a，极小值是g(a)＝－a3－‎ sin a.‎