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- 2021-06-17 发布
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文科数学试题卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、单项选择题:每题均有四个选项,其中只有一个正确的,本大题共12小题,每小题5分,共60分。
【1】已知全集,,,则( )
(A) (B) (C) (D)
【2】已知是虚数单位,复数满足,则( )
(A) (B) (C) (D)
【3】南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法,已知,程序框图设计的是求的值,在处应填的执行语句是( )
(A) (B) (C) (D)
【4】已知双曲线的离心率为,则它的一条渐近线被圆截得的线段长为( )
(A) (B) (C) (D)
【5】将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图,由图可知以下结论正确的是( )
(A)甲队平均得分高于乙队的平均得分 (B)甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数
(C)甲队得分的方差大于乙队得分的方差 (D)甲乙两队得分的极差相等
【6】将函数的图象向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得到的图象,下面四个结论正确的是( )
(A)函数在区间上为增函数
(B)将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称
(C)点是函数图象的一个对称中心
(D)函数在上的最大值为
【7】高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数。例如:,,已知函数,则函数的值域为( )
(A) (B) (C) (D)
【8】某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为( )
(A) (B) (C) (D)
【9】已知抛物线:,过原点作两条互相垂直的直线分别交于两点(均不与坐标原点重合),则抛物线的焦点到直线距离的最大值为( )
(A) (B) (C) (D)
【10】已知平面向量满足,,,若对于任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
(A) (B) (C) (D)
【11】在长方体中,,,分别是棱的中点,是底面内一动点,若直线与平面没有公共点,则三角形面积的最小值为( )
(A) (B) (C) (D)
【12】函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若
且,则不等式的解集为( )
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
【13】已知为坐标原点,向量,,若,则 。
【14】设实数满足,则的取值范围为 。
【15】在中,角所对的边分别为,且,,,,则 。
【16已知函数,若函数有两个极值点,且,则实数的取值范围是 。
三、解答题:本大题共70分,请写出解答的详细过程。
【17】(本小题满分12分)数列满足:,。
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,数列的前项和为,求满足的最小正整数。
【18】(本小题满分12分)四棱锥中,底面是边长为的菱形,,是等边三角形,为的中点,。
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)若在线段上,且,能否在棱上找到一点,使平面平面?若存在,求四面体的体积。
【19】(本小题满分12分)为推动更多人阅读,联合国教科文组织确定每年的月日为“世界读书日”。设立目的是希望居住在世界各地的人,无论你是年老还是年轻,无论你是贫穷还是富裕,都能享受阅读的乐趣,都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们,都能保护知识产权。为了解不同年龄段居民的主要阅读方式,某校兴趣小组在全市随机调查了名居民,经统计这人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为。将这人按年龄分组,其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示。
(Ⅰ)求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄;
(Ⅱ)把年龄在第组的居民称为青少年组,年龄在第组的居民称为中老年组,若选出的人中通过纸质阅读的中老年有人,请完成上面列联表,则是否有%的把握认为阅读方式与年龄有关?
【20】(本小题满分12分)椭圆:的左、右焦点分别为,为椭圆上一动点(异于左、右顶点),若的周长为,且面积的最大值为。
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上两动点,线段的中点为,的斜率分别为为坐标原点,且,求的取值范围。
【21】(本小题满分12分)已知函数。
(Ⅰ)曲线在点处的切线方程为,求的值;
(Ⅱ)若,时,,都有,求的取值范围。
【22】(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的参数方程为为参数。直线与曲线分别交于两点。
(Ⅰ)若点的极坐标为,求的值;
(Ⅱ)求曲线的内接矩形周长的最大值。
【23】(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲
设函数,。
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)已知恒成立,求的取值范围。
文科数学参考答案