西藏自治区昌都市第一高级中学2020届高三下学期入学考试数学（理）试卷 23页

理科数学 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合 ， ，则 （ ） A．∅ B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 可以求出集合 M，然后进行交集的运算即可． 【详解】 由 M 中不等式得 ，解得 ，即 ， ，故选 B． 【点睛】 考查描述法、列举法的定义，以及一元二次不等式的解法，交集的运算． 2．设复数 z 满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（ ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 的表达式，然后对其化简，求出复数的模即可. 【详解】 { }2| 2 0M x x x= − < { 2, 1,0,1,2}N = − − M N = { }1 {0 }1， { 1 01}− ，， ( )2 0x x − < 0 2x< < (0,2)M = { }1M N∴ ∩ = 1 2 2 2 2 z 由题意， ，所以 . 故选：C. 【点睛】 本题考查复数的四则运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3．《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座楼阁到处挂满 了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀 2 个小灯，另一种是大灯下缀 4 个小 灯，大灯共 360 个，小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取一个灯球，则这个灯球 是大灯下缀 4 个小灯的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 设大灯下缀 2 个小灯为 个，大灯下缀 4 个小灯有 个，根据题意求得 ，再 由古典概型及其概率的公式，即可求解． 【详解】 设大灯下缀 2 个小灯为 个，大灯下缀 4 个小灯有 个， 根据题意可得 ，解得 ， 则灯球的总数为 个， 故这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 ，故选 B． 【点睛】 本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中根据题意列出方程组，求得两种灯球 的数量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 4． 的展开式中， 的系数为（ ） A．120 B．160 C．100 D．80 【答案】A ( ) ( )( ) 2i 1 i2i 1 i1 i 1 i 1 iz −= = = ++ + − 2z = 1 3 2 3 1 4 3 4 x y 120, 240x y= = x y 360 2 4 1200 x y x y + =  + = 120, 240x y= = 360x y+ = 240 2 360 3 = ( )51 1 2x xx  + +   3x 【解析】 ， 的展开式中含 的项为 的展开式中含 的项为 的系数为 ，故选 A. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问 题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题： （1）考查二项展开式的通项公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系 数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 5．已知各项为正数的等比数列{an}中，a2＝1，a3a7＝64，则公比 q＝（　 　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】 【分析】 利用等比中项，得到 ，求得 ，再结合 即得解. 【详解】 在各项为正数的等比数列{an}中， 又 故选：A 【点睛】 本题考查了等比数列的通项及性质，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属 于基础题. 6．曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积（ ） A． B． C． D． 【答案】D ( ) ( ) ( )5 5 51 11 2 1 2 1 2x x x x xx x  + + = + + +   ( )51 2x x + 3x ( ) ( )2 52 3 5 12 40 , 1 2x C x x xx ⋅ = + 3x ( )41 3 3 5 1 2 80 ,C x x xx ⋅ = ∴ 40 80 120+ = 1 Cr n r r r nT a b− + = 2 3 7 5a a a= 5 8a = 3 5 2a a q= 2 3 7 5 64a a a= = 5 50 8a a> ∴ = 3 3 5 2 8 2a a q q q∴ = = = ∴ = xy e= 2(2, )e 29 4 e 22a 2e 2 2 e 【解析】 试题分析： ，故选 D. 考点：1、导数的几何意义；2、三角形的面积. 7．函数 的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 8．已知直线 ，平面 ， ，以下的真命题是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】 若 ，则应有 或 ；若 ，则应有 或 ；若 ， 则应有 或 与 相交或 与 异面；根据直线与平面平行的性质得， 2 2 2 2 2 2 2' | ( 2) (1,0), (0, )x xy e y e y e e x y e x e A B e== ⇒ = ⇒ − = − ⇒ = − ⇒ − 2 21 12 2 eS e⇒ = × × = ( ) ·lnxf x e x= ,a b α β / / ,a b b α⊂ / /a α // , //a b a α / /b α / / , / /a bα α / /a b , / / ,a a bβ α β α⊂ ∩ = / /a b / / ,a b b α⊂ / /a α a α⊂ // , //a b a α / /b α b α⊂ / /a α / /b α / /a b a b a b 成立.故得解. 【详解】 对于 A，若 ，则应有 或 ，所以 A 不正确； 对于 B，若 ，则应有 或 ，因此 B 不正确； 对于 C，若 ， 则应有 或 与 相交或 与 异面，因此 C 不正确； 对于 D，根据直线与平面平行的性质得， 成立. 故选：D 【点睛】 本题考查了空间中的平行关系概念辨析，考查了学生概念理解，综合分析，逻辑推理的能力， 属于中档题. 9．执行如图所示的程序框图，则输出的 值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据程序框图列出算法循环的每一步，结合判断条件得出输出的 的值. 【详解】 执行如图所示的程序框图如下： / /a α / / ,a b b α⊂ / /a α a α⊂ // , //a b a α / /b α b α⊂ / /a α / /b α / /a b a b a b / /a α n 5 7 9 11 n 不成立， ， ； 不成立， ， ； 不成立， ， ； 不成立， ， . 成立，跳出循环体，输出 的值为 ，故选 C. 【点睛】 本题考查利用程序框图计算输出结果，对于这类问题，通常利用框图列出算法的每一步，考 查计算能力，属于中等题. 10．已知点 在椭圆 上， 是椭圆的焦点，且满足 ，则 的面积为 A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】 【分析】 因为 ，由勾股定理结合椭圆的定义可解得 ；进而可得 的 面积． 【详解】 因为 ，所以 ，所以 ；由题意得 ，即 ，即 ，解得 ；所以 的面积 ．故选 A． 【点睛】 本题考查椭圆中焦点三角形的面积，属于基础题． 40 9S = ≥ 1 1S 1 3 3 = =× 1 2 3n = + = 1 4 3 9S = ≥ 1 1 2 3 3 5 5S = + =× 3 2 5n = + = 2 4 5 9S = ≥ 2 1 3 5 5 7 7S = + =× 5 2 7n = + = 3 4 7 9S = ≥ 3 1 4 7 7 9 9S = + =× 7 2 9n = + = 4 4 9 9S = ≥ n 9 M 2 2 14 x y+ = 1 2,F F 1 2· 0MF MF =  1 2MF F△ 3 1 2MF MF ⊥ 1 2 2MF MF = 1 2MF F 1 2· 0MF MF =  1 2MF MF ⊥ 2 2 2 1 2 1 2| | | | 12MF MF F F+ = = 1 2 4MF MF+ = 2 2 1 2 1 2| | 2 16MF MF MF MF+ + = 1 212 2 16MF MF+ = 1 2 2MF MF = 1 2MF F 1 2 1 12S MF MF= = 11．已知偶函数 在区间 上单调递增，设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据偶函数的性质可知函数 在 上单调递减，由已知条件得 ， ， ，然后利用函数 在 上的单调性可得出 、 、 三个数的大小关系. 【详解】 由题意知函数 是偶函数，在 上单调递增，在 上单调递减， ， ， ， 因此， . 故选：B. 【点睛】 本题考查利用函数的奇偶性与单调性来比较函数值的大小关系，考查推理能力，属于基础题. 12．下列关于函数 的叙述中，其中正确的有（ ） ①若 ，则 (其中 )； ②函数 在区间 上的最大值为 ； ③函数 的图象关于点 成中心对称； ( )f x ( ),0−∞ sin 6a f π =    sin 2b f π =    5cos 6c f π =    a b c> > a c b> > b a c> > c b a> > ( )y f x= ( )0,+∞ 1 2a f  =    ( )1b f= 3 3 2 2c f f    = − =          ( )y f x= ( )0,+∞ a b c ( )y f x= ( ),0−∞ ( )0,+∞ 1sin 6 2a f f π   = =       ( )sin 12b f f π = =   5 3 3cos 6 2 2c f f f π     = = − =              a c b> > ( ) sin 2 3 πf x x = −   ( ) ( )f fα β= kβ α π= + k Z∈ ( )f x 0, 2 π     1 ( )y f x= ,012 π     ④将 的图象向右平移 个单位后得到 的图象. A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】 【分析】 ①由已知得 ，可得 或 ，化简计算即可； ②求出 的范围，进而可得 的最值； ③代入 验证计算即可； ④将 的图象向右平移 个单位后化简整理. 【详解】 解：①若 ，则 ， 则 或 ， 即 或 ，故①错误； ②当 时， ，此时 ，故②正确； ③当 时， ，故③错误； ④将 的图象向右平移 个单位后 得 ，故④正确. 故选：C. 【点睛】 本题考查三角函数的图像和性质，考查函数图像的平移，是基础题. cos2y x= 5 12 π ( )y f x= sin 2 sin 23 3 π πα β   − = −       1 12 2 2 ,3 3 k k Z π πβ α π− = − + ∈ 2 22 2 2 ,3 3 k k Z π πα β π π− + − = + ∈ 2 3x π− ( )f x 12x π= cos2y x= 5 12 π ( ) ( )f fα β= sin 2 sin 23 3 π πα β   − = −       1 12 2 2 ,3 3 k k Z π πβ α π− = − + ∈ 2 22 2 2 ,3 3 k k Z π πα β π π− + − = + ∈ 1 1,k k Zβ α π= + ∈ 2 2 5 ,6 k k Z πα β π+ = + ∈ 0, 2x π ∈   22 ,3 3 3x π π π − ∈ −   ( ) 1f x ≤ 12x π= 1sin 2 012 12 3 2f π π π = × − = − ≠        cos2y x= 5 12 π 5 5 5sin sin12 6 6 2cos 2 cos 2 2 32y x x x x π π π π π        = = + =               = −  −  −  − 13．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据图像特征，先判断 的奇偶性，再用特殊值验证. 【详解】 因为 ， 所以 是偶函数，故排除 A，B 又因为 ， 所以 ，排除 C， 故选：D 【点睛】 本题主要考查函数的图象及其变换和函数的单调性，还考查理解辨析的能力，属于中档题. 14．函数 的大致图象为（　　） A． B． ( ) cos sin 2 x xf x = ( )f x ( ) ( ) coscos sin sin ( )22 xx x xf x f x− −− = = = ( )f x ( )0.x π∈ cossin 0,2 0xx > > ( ) 0f x > ( ) ·lnxf x e x= C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可 【详解】 解：函数 ， ， ， ，则函数 为非奇非偶函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C，D，当 ，排除 B， 故选：A 【点睛】 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键 第 II 卷（非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 15．已知单位向量 ， 满足 ，则向量 与向量 的夹角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算，结合单位向量模长为 1，代值计算即可. 【详解】 因为 ， 均是单位向量，故可得 ， 故可得 ， 即 ，解得 ， ( ) ·lnxf x e x= ( ) -- ·ln -xf x e x= ( ) ( )f x f x≠ − ( ) ( )f x f x− ≠ − ( )f x ( ),x f x→ +∞ → +∞ a b ( )2 2a a b⋅ + =  a b 3 π a b 1, 1a b= = ( ) 22 2 , 2a a b a a b cos a b⋅ + = + =       2 , 1cos a b = 1, 2cos a b = 又因为向量夹角的范围为 ， 故 的夹角为 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查向量数量积的运算，属基础题. 16．已知在等差数列 中， ， ，前 n 项和为 ，则 ________. 【答案】39 【解析】 【分析】 设等差数列公差为 d,首项为 ,再利用基本量法列式求解公差与首项,进而求得 即可. 【详解】 设等差数列公差为 d,首项为 ,根据题意可得 ,解得 ,所以 . 故答案为：39 【点睛】 本题考查等差数列的基本量计算以及前 n 项和的公式,属于基础题. 17．设 为双曲线 ： 的右焦点， 为坐标原点，以 为直径的 圆与圆 交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意画图，先求出 ，再由 列式求双曲线 的离心率. 【详解】 [ ]0,π ,a b 3 π 3 π { }na 7 17a = 1 3 5 15a a a+ + = nS 6S = 1a 6S 1a 7 1 1 1 1 6 17 2 4 15 a a d a a d a d = + =  + + + + = 1 1 3 a d = −  = 6 11 6 6 5 3 392S = − × + × × × = F C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > O OF 2 2 2x y a+ = P Q PQ OF= C 2 PQ PQ OF= C 由题意，把 代入 ， 得 ，再由 ， 得 ，即 ， ，解得 . 故答案为： 【点睛】 本题考查了双曲线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题. 18．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__ 【答案】 【解析】 【分析】 通过分析三视图,得出该几何体是圆柱，挖去一部分，然后结合图中数据,代入圆柱的体积公式 求解即可. 【详解】 根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱，挖去一部分，如图: 2x c= 2 2 2x y a+ = 2 22 2 cPQ a  = −   PQ OF= 2 22 2 ca c − =   2 22a c= 2 2 2c a ∴ = 2ce a = = 2 14π 结合图中数据知,该几何体的体积 . 故答案为： 【点睛】 本题考查三视图还原几何体及求几何体的体积;根据三视图正确还原几何体是求解本题的关键; 重点考查学生的空间想象能力属于中档题、常考题型. 三、解答题 19．某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作 的满意程度，若市民满意指数不低于 0.8（注:满意指数 ），“创卫”工作按原 方案继续实施，否则需进一步整改.为此该部门随机调查了 100 位市民，根据这 100 位市民给“创 卫”工作的满意程度评分，按以下区间: ， ， ， ， ， 分为六组，得到如图频率分布直方图: （1）为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于 60 分的市民中随机 选取 2 人进行座谈，求这 2 人所给的评分恰好都在 的概率； （2）根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由. 【答案】（1） ；（2）该市“创卫”工作不需要进一步整改 【解析】 2 212 4 2 4 148V π π π= × × − × × × = 14π = 满意程度平均分 100 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] [50,60) 3 10 【分析】 （1）由频率分布直方图分别求得评分在 和 的市民人数，根据古典概型可求 得结果； （2）由频率分布直方图估计平均数的方法计算得到满意程度平均分，从而求得满意指数，得 到判断结果. 【详解】 （1）由频率分布直方图知：评分在 的市民人数为 人；评分在 的市民人数为 人 从评分低于 分的市民中选取 人， 人所给评分都在 的概率 （2）由频率分布直方图可得满意程度平均分为： 满意指数 该市“创卫”工作不需要进一步整改 【点睛】 本题考查频率分布直方图中频率、频数的求解、古典概型概率问题的求解、利用频率分布直 方图估计平均数的问题；关键是熟练掌握利用频率分布直方图估计平均数的方法，即每个矩 形横坐标中点与对应矩形面积乘积的总和. 20．已知 是 的内角， 分别是角 的对边.若 ， （1）求角 的大小； （2）若 ，求 面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）先由正弦定理将角化边： ，再由余弦定理求得角 ； [ )40,50 [ )50,60 [ )40,50 100 0.002 10 2× × = [ )50,60 100 0.003 10 3× × = ∴ 60 2 2 [ )50,60 2 3 2 5 3 10 Cp C = = ( )45 0.002 55 0.003 65 0.015 75 0.024 85 0.03 95 0.026 10 80.5× + × + × + × + × + × × = ∴ 80.5 0.805 0.8100 = = > ∴ , ,A B C ABC , ,a b c , ,A B C 2 2 2sin sin sin sin sinA B A B C+ + = C 2c = ABC 2 3 π 3 3 2 2 2a b c ab+ − = − C （2）由余弦定理及基本不等式变形求出 的最大值，利用三角形面积公式表示出 ，代入 的最大值即可求三角形的面积最大值. 【详解】 （1）由正弦定理及 得 ，由余弦定 理 ，又 ， ； （2）由（1）得 ，又 ， ∴由 得 ， 又 可得 ， ，当且仅当“ ”时取 “=”，所以的 面积最大值为 . 【点睛】 本题主要考查了正余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式的运用，是基础题.已知一边及 此边的对角求周长或面积的范围是常见题型，解决此类问题的方法有两种：一是余弦定理加 均值定理变形；二是用正弦定理转化为三角函数求值域. 21．如图，在三棱柱 中， ， ， . （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）若平面 平面 ，且直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 ab 1 sin2ABCS ab C=  ab 2 2 2sin sin sin sin sinA B C A B+ − = − 2 2 2a b c ab+ − = − 2 2 2 1cos 2 2 2 a b c abC ab ab + − −= = = − 0 C π< < 2 3C π∴ = 2 3C π= 2c = 2 2 2a b c ab+ − = − 2 2 4a b ab+ − = − 2 2 2a b ab+ ≥ 4 3ab ≤ 1 3 3sin2 4 3ABCS ab C ab∴ = =   a b= ABC 3 3 1 1 1ABC A B C− CA CB= 1AB AA= 1 60A AB∠ = ° 1AB AC⊥ ABC ⊥ 1 1AA B B 1AC ABC 60° 1 1C A B B− − 21 7 − （Ⅰ）取 中点 ，连结 ， ,则 ,由线面垂直的判定定理可得, 平面 ,由线面垂直的性质即可得证; （Ⅱ）由平面 平面 及 可得, ，从而 ,设 ,则 ,易证 两两互相垂直,建立空间直角坐标系 如图,利用法向量求出二面角 的余弦值即可. 【详解】 （Ⅰ） 证明:如图:取 中点 ，连结 ， ， ， ， ， ， 为正三角形， ， ， 由线面垂直的判定定理知, 平面 ， 又 平面 ， ． （Ⅱ）因为 ， 所以 为等边三角形, 所以 ，因为平面 平面 , 由面面垂直的性质知, 平面 , 所以 即为直线 与平面 所成角, 即 ，即 ， 设 ，则 ， ， AB O OC 1OA 1,AB CO AB OA⊥ ⊥ AB ⊥ 1OAC ABC ⊥ 1 1AA B B 1AB OA⊥ 1 60AOC∠ = ° 1 3OA OC= 2AB = 1 3, 1OA OC= = 1, ,OA OA OC O xyz− 1 1C A B B− − AB O OC 1OA CA CB= AB CO∴ ⊥ 1AA AB= 1 60A AB∠ = ° 1ABA∴∆ 1AB OA∴ ⊥ 1CO OA O=  AB ⊥ 1OAC 1AC ⊂ 1OAC 1AB AC∴ ⊥ 1AB AA= 1 60A AB∠ = ° 1AA B∆ 1AO AB⊥ ABC ⊥ 1 1AA B B 1AO ⊥ ABC 1AOC∠ 1AC ABC 1 60ACO∠ =  1 3OA OC= 2AB = 1 3OA = 1OC = 由 平面 知, 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系 如图所示: 则 ，0， ， ， ，0， ， 所以 ， ， ， ，0， ， 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，令 ,则 , 所以平面 的一个法向量为 ， 因为平面 的法向量为 ，0， ， 所以 ， 二面角 的平面角为钝角， 二面角 的余弦值为 ． 【点睛】 本题考查线面垂直的判定与性质、面面垂直的性质以及利用空间向量求二面角;考查学生的空 间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；属于中档题、常考题型. 22．已知椭圆 上的点 到左，右两焦点为 ， 的距离之和为 ， 离心率为 . （1）求椭圆的标准方程； 1AO ⊥ ABC 1, ,OA OA OC O xyz− (0C 1) 1(0, 3,0)A ( 1B − 0) 1 (0CA = 3 1)− (1BC = 1) 1A BC ( ), ,n x y z= 3 0 0 y z x z  − = + = 1y = 3, 3z x= = − 1A BC ( 3,1, 3)n = − 1 1A BB (0OC = 1) 3 21cos , 77 1 n OCn OC OC n ⋅= = = ×⋅       1 1C A B B− − ∴ 1 1C A B B− − 21 7 − 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > P 1F 2F 2 2 2 2 （2）过右焦点 的直线 交椭圆于 两点，若 轴上一点 满足 ，求直线 的斜率 的值. 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）根据 与离心率可求得 a，b，c 的值，从而就得到椭圆的方 程；（2）设出直线的方程 ，并与椭圆方程联立消去 y 可得到关于 x 的一元二次 方程，然后利用中点坐标公式与分类讨论的思想进行解决． 试题解析：（1） ，∴ ， ，∴ ，∴ ， 椭圆的标准方程为 ． （2）已知 ,设直线的方程为 ， -， 联立直线与椭圆的方程 ，化简得： ， ∴ ， ， ∴ 的中点坐标为 ． ①当 时， 的中垂线方程为 ， ∵ ，∴点 在 的中垂线上，将点 的坐标代入直线方程得： ，即 ， 解得 或 ． 2F l ,A B y 30, 7M       | | | |MA MB= l k 2 2 12 x y+ = 30 3 6 ， ， 1 22a PF PF= + ( 1)y k x= − 1 2| | 2 2 2PF PF a+ = = 2a = 2 2 ce a = = 2 2 12c = × = 2 2 2 2 1 1b a c= − = − = 2 2 12 x y+ = 2 (1,0)F ( 1)y k x= − 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y 2 2 ( 1) { 12 y k x x y = − + = 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k+ − + − = 2 1 2 2 4 1 2 kx x k + = + 1 2 1 2 2 2( ) 2 1 2 ky y k x x k k −+ = + − = + AB 2 2 2 2( , )1 2 1 2 k k k k − + + 0k ≠ AB MA MB= M AB M 2 2 3 2 7 1 2 1 2 k k k k + =+ + 22 3 7 3 0k k− + = 3k = 3 6k = ②当 时， 的中垂线方程为 ，满足题意， ∴斜率 的取值为 . 考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系． 23．已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）设函数 ，当 时， 对任意的 恒成立， 求满足条件的 最小的整数值． 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）用导数讨论单调性，注意函数的定义域；（2）写出 的具体形式，然后分离参数， 进而讨论函数最值的范围，得出整数参量 的取值范围. 【详解】 解：（1）．由题意，函数的定义域为 ， 当 时， ， 单调增区间为： 当 时，令 ， 由 ，得 ， ， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为： （2）．由 ， 因为 对任意的 恒成立 0k = AB 0x = k 30 3 6 ， ， ( ) ln 1f x x ax= − + ( )f x ( ) ( ) ( )2 1xg x x e f x b= − + − − 1a ≥ ( ) 0g x ≤ 1 ,13x  ∈   b 3− ( )g x b ( )0, ∞+ ( ) 1'f x ax = − 0a ≤ ( ) 1' 0f x ax = − > ( )f x ( )0, ∞+ 0a > ( ) 1' 0f x ax = − = 1x a = ( )' 0f x > 10,x a  ∈   ( )' 0f x < 1 ,x a  ∈ +∞   ( )f x 10, a      ( )f x 1 ,a  +∞   ( ) ( )2 lnxg x x e x ax b= − + − − ( ) 0g x ≤ 1 ,13x  ∈   当 时对任意的 恒成立， ， 只需 对任意的 恒成立即可． 构造函数 ， 且 单调递增， ， 一定存在唯一的 ，使得 即 ， . 单调递增区间 ，单调递减区间 ． 的最小的整数值为 【点睛】 本题考查用导数讨论函数单调性和函数的最值问题，其中用构造函数，属于函数导数不等式 的综合题，难度较大． 24．坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，以原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系，已知点 的极坐标为 ，直线 的极坐标方程为 ，且 点 在直线 上 （Ⅰ）求 的值和直线 的直角坐标方程及 的参数方程； ( )2 lnxb x e x ax≥ − + − 1a ≥ 1 ,13x  ∈   1a ≥ 0x > ( ) ( )2 ln 2 lnx xx e x ax x e x x∴ − + − ≤ − + − ( )2 lnxb x e x x≥ − + − 1 ,13x  ∈   ( ) ( )2 lnxh x x e x x= − + − ( ) ( ) ( )1 1' 1 1 1x xh x x e x ex x  = − + − = − −   1,13x  ∈   1 0x∴ − < ( ) 1xt x e x = − 1 21 2 02t e  = − <   ( )1 1 0t e= − > ∴ 0 1 ,12x  ∈   ( )0 0t x = 0 0 1xe x = 0 0lnx x= − ( )h x∴ 0 1,3 x     ( )0 ,1x ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0max 0 12 ln 1 2 4, 3xh x h x x e x x x x  ∴ = = − + − = − + ∈ − −    b∴ 3− O x A 2, 4 π     l cos 4 a πρ θ − =   A l a l l （Ⅱ）已知曲线 的参数方程为 ，（ 为参数），直线 与 交于 两点， 求 的值 【答案】（Ⅰ） ， 的直角坐标方程为 ， 的参数方程为： （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）将点 的极坐标方程代入直线 的极坐标方程可求出 的值，然后将直线 方程化为普 通方程，确定直线 的倾斜角，即可将直线 的方程表示为参数方程的形式； （Ⅱ）将曲线 的参数方程表示普通方程，然后将（Ⅰ）中直线 的参数方程与曲线 的普 通方程联立，得到关于 的一元二次方程，并列出韦达定理，根据 的几何意义计算出 和 ，于是可得出 的值． 【详解】 解：（Ⅰ）因为点 ，所以 ； 由 得 于是 的直角坐标方程为 ； 的参数方程为： （t 为参数） （Ⅱ）由 ： ， C 4 5cos 3 5sin x y α α = +  = + α l C ,M N 1 1+ AM AN 2a = l : 2 0+ − =l x y l 21 2 21 2 x t y t  = −  = + 5 2 12 A l a l l l C l C t t 1 2AM AN t t⋅ = ( )2 1 2 1 2 1 2 1 24AM AN t t t t t t t t+ = + = − = + − 1 1 AM AN AM AN AM AN ++ = ⋅ ∈A l 2 cos( ) 24 4 π π= − =a cos( )4 πρ θ − = a 2 ( cos sin ) 22 ρ θ ρ θ+ = l : 2 0+ − =l x y l 21 2 21 2 x t y t  = −  = + C 4 5cos 3 5sin x y α α = +  = + ⇒ 2 2( 4) ( 3) 25− + − =x y 将 的参数方程代入 得 ，设该方程的两根为 ，由直线 的参数 的几何意义及曲线 知， ， 所以 ． 【点睛】 本题考查曲线的极坐标、参数方程与普通方程之间的转化，考查直线参数方程的几何意义， 对于这类问题的处理，一般就是将直线的参数方程与普通方程联立，借助韦达定理求解，考 查计算能力，属于中等题． 25．已知 都是正数，求证： （1） ； （2） . 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）因为 ，同理可得， ，三个式子相加，即可 得到本题答案； （2）因为 ，同理可得， ， ，三个式子相加，即可得到本题答案. 【详解】 （1）∵ ，∴ ，当且仅当 时等号成立， l 2 2( 4) ( 3) 25− + − =x y 2 2 12 0+ − =t t 1 2,t t l t C 1 2 1 2 12⋅ = ⋅ = =AM AN t t t t 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 4 5 2+ = + = − = + − =AM AN t t t t t t t t 1 1 5 2 12 ++ = =⋅ AM AN AM AN AM AN , ,a b c 2 2 2a b c a b cb c a + + + + 1 1 1 1 1 1 2 2 2a b c a c c a a b + + + ++ + + 2 2 2 2a ab b ab b + ⋅ = 2 2 2 , 2b cc b a cc a + +  1 1 1 1 1 2 2 2 2a b a bab  +  +   1 1 1 1 2 2 2b c b c  +  +  1 1 1 1 2 2 2c a c a  +  +  0, 0, 0a b c> > > 2 2 2 2a ab b ab b + ⋅ = a b= 同理可得， ， ∴ ，即 ； （2）因为 ，所以 ， 当且仅当 时等号成立， 同理可得 ， ， ∴ ， 即 . 【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 2 2 2 , 2b cc b a cc a + +  2 2 2 2 2 2a b cb c a a b cb c a + + + + + + + 2 2 2a b c a b cb c a + + + + 0, 0, 0a b c> > > 1 1 1 1 1 2 2 2 2a b a bab  +  +   a b= 1 1 1 1 2 2 2b c b c  +  +  1 1 1 1 2 2 2c a c a  +  +  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2a b b c c a a b b c c a      + + + + + + +      + + +      1 1 1 1 1 1 2 2 2a b c b c c a a b + + + ++ + +