人教版高中数学选修1-1课件：2_3_1《抛物线及其标准方程》 18页

复习： 椭圆、双曲线的第二定义： 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比 是常数 e 的点的轨迹，当 0 ＜ e ＜ 1 时，是椭圆 · M F l 0 ＜ e ＜ 1 l F · M e ＞ 1 · F M l · e=1 当 e ＞ 1 时，是双曲线 当 e=1 时，它又是 什么曲线 ？ 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做 抛物线 。 定点 F 叫做抛物线的 焦点 。 定直线 l 叫做抛物线的 准线 。 一、定义 即 : ︳ ︳ ︳ ︳ · · F M l N 二、标准方程 · · F M l N 如何建立直角 坐标系？ 想一想？？ y x o y=ax 2 +bx+c y=ax 2 +c y=ax 2 二、标准方程 x y o · · F M l N K 设 ︱KF︱= p 则 F （ ， 0 ）， l ： x = - p 2 p 2 设点 M 的坐标为（ x ， y ）， 由定义可知， 化简得 y 2 = 2px （ p ＞ 0 ） 2 方程 y 2 = 2px （ p ＞ 0 ） 叫做 抛物线的标准方程 其中 p 为正常数，它的几何意义是 : 焦 点 到 准 线 的 距 离 或是 “ 通径的一半 ” 则 F （ ， 0 ）， l ： x = - p 2 p 2 一条抛物线，由于它在坐标平面内的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准方程还有其它形式， 表示抛物线的焦点在 X 轴的正半轴上 方程 y 2 = 2px （ p ＞ 0 ） y x o ﹒ ﹒ y x o y x o ﹒ y x o ﹒ 图 形 焦 点 准 线 标准方程 椭圆，双曲线，抛物线各有几条准线 ？ 问题： 第一：一次项的变量如为 X （或 Y ） 则 X 轴（或 Y 轴）为抛物线的对称轴，焦点就在对称轴上呀！！！ 第二：一次项的系数决定了开口方向 根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标，准线方程对应关系如何判断抛物线的焦点位置，开口方向 ？？ 例 1 、 （ 1 ）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6x ， 求它的焦点坐标和准线方程； （ 2 ）已知抛物线的方程是 y = － 6x 2 ， 求它的焦点坐标和准线方程； （ 3 ）已知抛物线的焦点坐标是 F （ 0 ， -2 ）， 求它的标准方程。 例 3 、 求过点 A （ -3 ， 2 ）的抛物线的 标准方程。 ． A O y x 解：当抛物线的焦点在 y 轴 的正半轴上时，把 A （ -3 ， 2 ） 代入 x 2 =2py ，得 p= 当焦点在 x 轴的负半轴上时， 把 A （ -3 ， 2 ）代入 y 2 = - 2px ， 得 p= ∴ 抛物线的标准方程为 x 2 = y 或 y 2 = x 。 例 4 、 M 是抛物线 y 2 = 2 px （ P ＞ 0 ）上一点，若点 M 的横坐标为 X 0 ，则点 M 到焦点的距离是 — ——————————— X 0 + — 2 p O y x ． F M ． 这就是抛物线的焦半径公式 ! 练习： 1 、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （ 1 ）焦点是 F （ 3 ， 0 ）； （ 2 ）准线方程 是 x = ； （ 3 ）焦点到准线的距离是 2 。 y 2 =12x y 2 =x y 2 =4x 、 y 2 = -4x 、 x 2 =4y 或 x 2 = -4y 2 、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （ 1 ） y 2 = 20x （ 2 ） x 2 = y （ 3 ） 2y 2 +5x =0 （ 4 ） x 2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 （ 1) （ 2) （ 3) （ 4) （ 5 ， 0 ） x= -5 （ 0 ， — ） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （ - — ， 0 ） 5 8 （ 0 ， -2 ） y=2 讨论题： 1 若抛物线 y 2 =8x 上一点 M 到原点的距离 等于点 M 到准线的距离则点 M 的坐标是 2 已知定点 A(3,2) 和抛物线 y 2 =2x, F 是抛物线 焦点，试在抛物线上求一点 P, 使 PA 与 PF 的 距离之和最小，并求出这个最小值。 小 结 ： 1 、抛物线的定义 , 标准方程类型与图象的 对应 关系 以及 判断方法 2 、抛物线的 定义 、 标准方程 和它 的焦点、准线、方程 3 、注重 数形结合 的思想。 准线方程 焦点坐标 标准方程 焦点位置 图 形 3. 不同位置的抛物线 x 轴的 正方向 x 轴的 负方向 y 轴的 正方向 y 轴的 负方向 y 2 =2 px y 2 =-2 px x 2 =2 py x 2 =-2 py F (- - - -