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  • 2021-06-17 发布

高中数学必修2同步练习:空间中直线与直线之间的位置关系

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必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 一、选择题 ‎1、如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列结论正确的是(  )‎ A.MN≥(AC+BD)‎ B.MN≤(AC+BD)‎ C.MN=(AC+BD)‎ D.MN<(AC+BD)‎ ‎2、给出下列四个命题:‎ ‎①垂直于同一直线的两条直线互相平行;‎ ‎②平行于同一直线的两直线平行;‎ ‎③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;‎ ‎④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.‎ 其中假命题的个数是(  )‎ A.1 B.‎2 C.3 D.4‎ ‎3、空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是(  )‎ A.空间四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 ‎4、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是(  )‎ A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 ‎5、若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是(  )‎ A.异面或平行 B.异面或相交 C.异面 D.相交、平行或异面 ‎6、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(  )‎ A.异面 B.平行 C.相交 D.以上都有可能 二、填空题 ‎7、如图所示,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填序号).‎ ‎8、一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:‎ ‎①AB⊥EF;‎ ‎②AB与CM所成的角为60°;‎ ‎③EF与MN是异面直线;‎ ‎④MN∥CD.‎ 以上结论中正确结论的序号为________.‎ ‎9、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中:‎ ‎(1)BC′与CD′所成的角为________;‎ ‎(2)AD与BC′所成的角为________.‎ ‎10、空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°,则β为________.‎ 三、解答题 ‎11、正方体AC1中,E、F分别是面A1B‎1C1D1和AA1DD1的中心,则EF和CD所成的角是(  )‎ A.60° B.45° C.30° D.90°‎ ‎12、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B‎1C1D1中,M,N分别是棱CD、AD的中点.‎ 求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;‎ ‎(2)∠DNM=∠D‎1A1C1.‎ ‎13、空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D ‎ [如图所示,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME=AC,‎ NE=BD,‎ 所以ME+NE=(AC+BD).‎ 在△MNE中,有ME+NE>MN,‎ 所以MN<(AC+BD).]‎ ‎2、B [①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.‎ ‎④如图甲时,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面,一定不会平行;‎ 当点A在直线a上运动(其余三点不动),会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.‎ ‎]‎ ‎3、B [‎ 易证四边形EFGH为平行四边形.‎ 又∵E,F分别为AB,BC的中点,‎ ‎∴EF∥AC,‎ 又FG∥BD,‎ ‎∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.‎ 而AC与BD所成的角为90°,‎ ‎∴∠EFG=90°,‎ 故四边形EFGH为矩形.]‎ ‎4、D ‎5、D [异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a、b异面,直线c的位置可如图所示.]‎ ‎6、D 二、填空题 ‎7、②④‎ 解析 ①中HG∥MN.③中GM∥HN且GM≠HN,‎ ‎∴HG、MN必相交.‎ ‎8、①③‎ 解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.‎ ‎9、(1)60° (2)45°‎ 解析 ‎ 连接BA′,则BA′∥CD′,连接A′C′,则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.‎ 由△A′BC′为正三角形,‎ 知∠A′BC′=60°,‎ 由AD∥BC,知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.‎ 易知∠C′BC=45°.‎ ‎10、60°或120°‎ 三、解答题 ‎11、B [‎ 连接B1D1,则E为B1D1中点,‎ 连接AB1,EF∥AB1,‎ 又CD∥AB,∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B1AB=45°.]‎ ‎12、证明 (1)如图,连接AC,‎ 在△ACD中,‎ ‎∵M、N分别是CD、AD的中点,‎ ‎∴MN是三角形的中位线,‎ ‎∴MN∥AC,MN=AC.‎ 由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1.‎ ‎∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,‎ ‎∴四边形MNA1C1是梯形.‎ ‎(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,‎ ‎∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.‎ 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,‎ ‎∴∠DNM=∠D1A1C1.‎ ‎13、解 取AC的中点G,‎ 连接EG、FG,‎ 则EG∥AB,GF∥CD,‎ 且由AB=CD知EG=FG,‎ ‎∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.‎ ‎∵AB与CD所成的角为30°,‎ ‎∴∠EGF=30°或150°.‎ 由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;‎ 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.‎ 故EF与AB所成的角为15°或75°.‎

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