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- 2021-06-17 发布
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必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题
1、如图所示,已知三棱锥A-BCD中,M、N分别为AB、CD的中点,则下列结论正确的是( )
A.MN≥(AC+BD)
B.MN≤(AC+BD)
C.MN=(AC+BD)
D.MN<(AC+BD)
2、给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行;
②平行于同一直线的两直线平行;
③若直线a,b,c满足a∥b,b⊥c,则a⊥c;
④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3、空间四边形的两条对角线相互垂直,顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A.空间四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
4、分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A.一定平行 B.一定相交
C.一定异面 D.相交或异面
5、若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行 B.异面或相交
C.异面 D.相交、平行或异面
6、分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
二、填空题
7、如图所示,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填序号).
8、一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________.
9、已知正方体ABCD—A′B′C′D′中:
(1)BC′与CD′所成的角为________;
(2)AD与BC′所成的角为________.
10、空间两个角α、β,且α与β的两边对应平行且α=60°,则β为________.
三、解答题
11、正方体AC1中,E、F分别是面A1B1C1D1和AA1DD1的中心,则EF和CD所成的角是( )
A.60° B.45° C.30° D.90°
12、已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD、AD的中点.
求证:(1)四边形MNA1C1是梯形;
(2)∠DNM=∠D1A1C1.
13、空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为30°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.
以下是答案
一、选择题
1、D
[如图所示,取BC的中点E,连接ME、NE,则ME=AC,
NE=BD,
所以ME+NE=(AC+BD).
在△MNE中,有ME+NE>MN,
所以MN<(AC+BD).]
2、B [①④均为假命题.①可举反例,如a、b、c三线两两垂直.
④如图甲时,c、d与异面直线l1、l2交于四个点,此时c、d异面,一定不会平行;
当点A在直线a上运动(其余三点不动),会出现点A与B重合的情形,如图乙所示,此时c、d共面相交.
]
3、B [
易证四边形EFGH为平行四边形.
又∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF∥AC,
又FG∥BD,
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角.
而AC与BD所成的角为90°,
∴∠EFG=90°,
故四边形EFGH为矩形.]
4、D
5、D [异面直线不具有传递性,可以以长方体为载体加以说明a、b异面,直线c的位置可如图所示.]
6、D
二、填空题
7、②④
解析 ①中HG∥MN.③中GM∥HN且GM≠HN,
∴HG、MN必相交.
8、①③
解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.
9、(1)60° (2)45°
解析
连接BA′,则BA′∥CD′,连接A′C′,则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角.
由△A′BC′为正三角形,
知∠A′BC′=60°,
由AD∥BC,知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.
易知∠C′BC=45°.
10、60°或120°
三、解答题
11、B [
连接B1D1,则E为B1D1中点,
连接AB1,EF∥AB1,
又CD∥AB,∴∠B1AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B1AB=45°.]
12、证明 (1)如图,连接AC,
在△ACD中,
∵M、N分别是CD、AD的中点,
∴MN是三角形的中位线,
∴MN∥AC,MN=AC.
由正方体的性质得:AC∥A1C1,AC=A1C1.
∴MN∥A1C1,且MN=A1C1,即MN≠A1C1,
∴四边形MNA1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1,
∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补.
而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角,
∴∠DNM=∠D1A1C1.
13、解 取AC的中点G,
连接EG、FG,
则EG∥AB,GF∥CD,
且由AB=CD知EG=FG,
∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,
∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.