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- 2021-06-17 发布
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【高考地位】
反证法是高中数学的一种重要的证明方法,在不等式和立体几何的证明中经常用到,在高考题中也经常出现。它是数学学习中一种很重要的证题方法. 反证法证题的步骤大致分为三步:(1)反设:作出与求证的结论相反的假设;(2)归谬:由反设出发,导出矛盾结果;(3)作出结论:证明了反设不能成立,从而证明了所求证的结论成立.其中,导出矛盾是关键,通常有以下几种途径:与已知矛盾,与公理、定理矛盾,与假设矛盾,自相矛盾等.
【方法点评】
类型一 证明“至多”或“至少”问题
使用情景:证明“至多”或“至少”问题.
解题模板:第一步 首先假设命题不成立;
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾;
第三步 最后得出结论.
例1. 若{正整数},且。求证:或中至少有一个成立。
【答案】详见解析.
【变式演练1】(1)已知中至少有一个小于2。
(2)已知,求证:.
类型二 证明“不可能”问题
使用情景:证明“不可能”问题.
解题模板:第一步 首先假设命题不成立;
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾;
第三步 最后得出结论.
例2.给定实数,且,设函数,求证:经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析:要证明经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于轴,可以考虑假设函数图象上存在两点,使得直线平行于轴.然后得出矛盾。
证明:假设函数图象上存在两点,使得直线平行于轴.设且.由,得,解得.与已知矛盾.故经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴.
【点评】在证明不可能问题上,必须按“反设——归谬——结论”的步骤进行,反证法的难点在于如何从假设中推出矛盾,从而说明假设不成立。本题从假设中推出的结论是与已知相矛盾。
【变式演练2】(Ⅰ)求证:当时, ;
(Ⅱ)证明: 不可能是同一个等差数列中的三项.
类型三 证明“存在性”或“唯一性”问题
使用情景:证明“存在性”或“唯一性”问题.
解题模板:第一步 首先假设命题不成立;
第二步 然后根据已知或者规律推导出矛盾;
第三步 最后得出结论.
例3.求证:方程的解是唯一的.
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析:可以假设方程的解有两个,然后得出矛盾。
证明:由对数的定义易得,是这个方程的一个解.假设这个方程的解不是唯一的,它还有解,则.,则,即.①由假设,得,从而:当时,有;②当时,有.③
显然,②,③与①都矛盾,这说明假设不成立.所以原方程的解是唯一的.
【点评】有关存在性与唯一性命题的证明问题,可考虑用反证法.“存在”就是“至少有一个”,其反面是“一个没有”,“惟一”就是“有且只有一个”,其反面是“至少有两个”.有时问题的结论是以否定形式出现的否定性命题,也可考虑应用反证法.
【变式演练3】用反证法证明数学命题时,首先应该做出与命题结论相反的假设.否定“自然数中恰有一个偶数”时正确的假设为()
A.自然数都是奇数
B.自然数都是偶数
C.自然数中至少有两个偶数
D.自然数中至少有两个偶数或都是奇数
【答案】D
考点:反证法.
【高考再现】
1. 【2017课标II,理7】甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩
【答案】D
【解析】
试题分析:由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好,则甲、丁两人一人优秀一人良好,
乙看到丙的结果则知道自己的结果与丙的结果相反,
丁看到甲的结果则知道自己的结果与甲的结果相反,
即乙、丁可以知道自己的成绩
故选D。
【考点】合情推理
【名师点睛】合情推理主要包括归纳推理和类比推理。数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向。合情推理仅是“合乎情理”的推理,它得到的结论不一定正确。而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)。
2. 【2016高考山东文数】观察下列等式:
;
;
;
;
……
照此规律,_________.
【答案】
3. 【2015高考广东,理8】若空间中个不同的点两两距离都相等,则正整数的取值( )
A.大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3
【答案】.
4.【2014山东.理4】 用反证法证明命题“设为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A. 方程没有实根 B.方程至多有一个实根
C.方程至多有两个实根 D.方程恰好有两个实根
【答案】
【名师点睛】本题考查反证法.解答本题关键是理解反证法的含义,明确至少有一个的反面是一个也没有.本题属于基础题,难度较小.
5. 【2015高考北京,理20】已知数列满足:,,且.
记集合.
(Ⅰ)若,写出集合的所有元素;
(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.
【答案】(1),(2)证明见解析,(3)8
(Ⅲ)由于中的元素都不超过36,由,易得,类似可得,其次中的元素个数最多除了前面两个数外,都是4的倍数,因为第二个数必定为偶数,由的定义可知,第三个数及后面的数必定是4的倍数,另外,M中的数除以9的余数,由定义可知, 和除以9的余数一样,
①若中有3的倍数,由(2)知:所有的都是3的倍数,所以都是3的倍数,所以除以9的余数为为3,6,3,6,...... ,或6,3,6,3......,或0,0,0,...... ,而除以9余3且是4的倍数只有12,除以9余6且是4的倍数只有24,除以9余0且是4的倍数只有36,则M中的数从第三项起最多2项,加上前面两项,最多4项.
②中没有3的倍数,则都不是3的倍数,对于除以9的余数只能是1,4,7,2,5,8中的一个,从起,除以9的余数是1,2,4,8,7,5,1,2,4,8,...... ,不断的6项循环(可能从2,4,8,7或5开始),而除以9的余数是1,2,4,8,5且是4的倍数(不大于36),只有28,20,4,8,16,32,所以M中的项加上前两项最多8项,则时,,项数为8,所以集合的元素个数的最大值为8.
考点定位:1.分段函数形数列通项公式求值;2.归纳法证明;3.数列元素分析.
【名师点睛】本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法,即考查了数列(分段形函数)求值,又考查了归纳法证明和对数据的分析研究,考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力,本题属于拔高难题,特别是第二、三两步难度较大,适合选拔优秀学生.
【反馈练习】
1.【2018陕西名校五校联考】某次夏令营中途休息期间,3位同学根据胡老师的口音对她是哪个地方的人进行了判断:
甲说胡老师不是上海人,是福州人;
乙说胡老师不是福州人,是南昌人;
丙说胡老师不是福州人,也不是广州人.
听完以上3人的判断后,胡老师笑着说,你们3人中有1人说的全对,有1人说对了一半,另1人说的全不对,由此可推测胡老师( )
A. 一定是南昌人 B. 一定是广州人 C. 一定是福州人 D. 可能是上海人
【答案】D
【解析】若胡老师是南昌人,则甲对一半,乙全对,丙全对;若胡老师是广州人,则甲全不对,乙全不对; 若胡老师是福州人,则甲全对,乙全错,丙全错;若胡老师是上海人,则甲全错,乙对一半,丙全对;故选择D.
2.【2018广西南宁摸底联考】甲、乙、丙三人中,一人是工人,一人是农民,一人是知识分子.已知:丙的年龄比知识分子大;甲的年龄和农民不同;农民的年龄比乙小.根据以上情况,下列判断正确的是( )
A. 甲是工人,乙是知识分子,丙是农民 B. 甲是知识分子,乙是农民,丙是工人
C. 甲是知识分子,乙是工人,丙是农民 D. 甲是农民,乙是知识分子,丙是工人
【答案】C
3.用反证法证明命题:“,若可被整除,那么中至少有一个能被整除.”时,假设的内容应该是
A. 都能被5整除 B. 都不能被5整除
C. 不都能被5整除 D. 能被5整除
【答案】B
【解析】由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.
命题“,如果可被整除,那么至少有1个能被5整除.”的否定是“都不能被5整除”,故选B.
4.【2018河北邢台市模拟】①已知,求证,用反证法证明时,可假设;②设为实数, ,求证与中至少有一个不小于,用反证法证明时可假设,且,以下说法正确的是( )
A. ①与②的假设都错误 B. ①与②的假设都正确
C. ①的假设正确,②的假设错误 D. ①的假设错误,②的假设正确
【答案】C
【解析】根据反证法的格式知,①正确;②错误,②应该是与都小于,故选C.
5.设大于0,则3个数的值
A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于1
C. 至少有一个不大于1 D. 都小于1
【答案】C
6. 已知二次函数的图象与轴有两个不同的交点,若,且时,.
(1)证明:是的一个根;
(2)试比较与的大小;
(3)证明:.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)由的图象与轴有两个不同的交点,∴有两个不等实根,得出是的根,在根据根与系数的关系,即可证明是的一个根;(2)利用反证法,假设假设,又,得出,得出矛盾,即可得出;(3)由,得,
(3)证明:由,得,∴,
又,∴.
二次函数的图象的对称轴方程为,
即,又,∴,∴.
考点:二次函数的性质及不等式关系的判定.
7.【2018吉林乾安第七中学模拟】(1)用分析法证明:当, 时, ;
(2)证明:对任意, , , 这个值至少有一个不小于.
【解析】(1)要证不等式成立,只需证成立,
即证: 成立,
即证: 成立,
即证: 成立,
因为所以,所以原不等式成立.
(2)假设这3个值没有一个不小于0,
即
则,(*)
而.
这与(*)矛盾,所以假设不成立,即原命题成立.
8.设, ,且.证明: 与不可能同时成立.
9. 已知是互不相等的实数,求证:
由确定的三条抛物线至少有一条与轴有两个不同的交点.
【解析】假设三条抛物线都与轴有一个交点或无交点
则,将上述三个式子相加得
配方得,
当且仅当时等号成立,又不全相等
,这与矛盾
假设不成立,三条抛物线至少有一条与有两个不同的交点 .