2018-2019学年山西省晋中市高二上学期期末调研测试数学（理）试题 解析版 20页

绝密★启用前 山西省晋中市2018-2019学年高二上学期期末调研测试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　‎ A． B．‎ C． D．或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据曲线表示椭圆列出不等式组，解出即可得的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由题设可得，解得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 对于曲线，‎ ‎（1）如果该曲线为椭圆，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的椭圆，则有；如果表示焦点在的椭圆，则；‎ ‎（2）如果该曲线为双曲线，则，更一步地，如果表示焦点在轴上的双曲线，则有；如果表示焦点在的双曲线，则．‎ ‎2．下列说法错误的是　　‎ A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C．用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形 D．将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B ‎；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D．‎ ‎【详解】‎ 由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；‎ 所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误；‎ 用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；‎ 由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间几何的性质，属于基本题．‎ ‎3．已知直线的方程为，直线的方程为，若，则　　‎ A．或 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得的值后检验即可得到的值．‎ ‎【详解】‎ 因为，故，整理得到，‎ 解得或．‎ 当时，，，两直线重合，舎；‎ 当时，，，两直线平行，符合；‎ 故，选C．‎ ‎【点睛】‎ 如果，，‎ ‎（1）平行或重合等价于；‎ ‎（2）垂直等价于．‎ ‎4．已知圆，圆 ‎，则两圆的位置关系为（ ）．‎ A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 ‎【答案】D ‎【解析】由于圆，‎ 即，表示以为圆心，‎ 半径等于的圆．‎ 圆，‎ 表示以为圆心，半径等于的圆．‎ 由于两圆的圆心距等于．‎ 故两个圆相内切．‎ 故选： ．‎ ‎5．某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是　　‎ A．三棱柱 B．三棱锥 C．四棱柱 D．四棱锥 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图知该几何体是一个立放的四棱锥．‎ ‎【详解】‎ 根据三视图知，该几何体是一个立放的四棱锥，如图所示；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，属于基础题．‎ ‎6．下列命题中，真命题的个数是（　　）‎ ‎①若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题；‎ ‎②“∀a∈（0，+∞），函数y=在定义域内单调递增”的否定；‎ ‎③l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；‎ ‎④“∀x∈R，≥0”的否定为“∃∉R，＜0”．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复合命题的真假判断①的正误；利用指数函数的单调性判断②的正误；直线与平面垂直关系判断③的正误；根据全称命题的否定的写法判断④的正误；‎ ‎【详解】‎ ‎①若“p∨q”为真命题，可知两个命题至少一个是真命题，判断为“p∧q”有可能是假命题，不正确；‎ ‎②“∀a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内单调递增”的否定：“∃a∈（0，+∞），函数y=ax在定义域内不是单调递增的”；例如a=，在定义域内单调递减；所以②正确；‎ ‎③l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α；也可能l⊂α，所以③不正确；‎ ‎④“∀x∈R，x2≥0”的否定的正确写法为“，使得＜0”．故选项不满足命题的否定形式，所以④不正确；‎ 只有②是真命题；‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，涉及复合命题的真假，指数函数的单调性，命题的否定直线与平面的位置关系的应用，是基本知识的考查．‎ ‎7．已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，M是的中点，若，则是　　‎ A．10 B．8 C．6 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形中位线性质，求出，利用双曲线定义，求出．‎ ‎【详解】‎ 因为是的中点，是的中点，‎ 所以，因为，所以，‎ 因为在右支上，故，故，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，圆锥曲线中与焦点有关的数学问题可以考虑用圆锥曲线的几何性质.圆锥曲线的几何性质包括第一定义和第二定义，前者可将与一个焦点有关的问题转化为与另一个焦点相关的数学问题，后者可将数学问题转化与相应准线的距离问题．‎ ‎8．在正四面体P-ABC中，M是棱PA的中点，则异面直线MB与AC所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取PC中点N，连结MB，MC，则MC∥AC，∠BMC是异面直线MB与AC所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线MB与AC所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 取PC中点N，连结MB，MC，‎ 设正四面体的棱长为2，‎ 则BM＝BC＝MC＝1，且MC∥AC，‎ ‎∴∠BMC是异面直线MB与AC所成角（或所成角的补角），‎ 故异面直线MB与AC所成角的余弦值为：‎ cos∠BMC 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎9．对于直线m，n和平面，，则的一个充分条件是　　‎ A．，，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A，B，D三个选项下的相交时，也满足每个选项的条件，所以由A，B，D中的条件得不出，而选项C可以得到平面同时和一条直线垂直，所以，所以C中的条件是的充分条件．‎ ‎【详解】‎ A这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可；‎ B这种情况下，可能相交，让都和交线平行即可；‎ C因为，又，因同时和一直线垂直的两平面平行，故；‎ D.如果，也存在，且．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 面面平行的判定可以由线面平行得到，但两条直线必须是一个平面中的两条相交直线．如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面是平行的．‎ ‎10．已知直线：3x-4y-6=0，直线：y=-2，抛物线上的动点P到直线与直线距离之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义进行转化，结合图象利用点到直线的距离公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，‎ 过P作PB垂直直线y＝﹣2角y＝﹣2于A，交y＝﹣1于B，‎ 由抛物线的定义得|PB|＝|PF|，|PB|＝|PA|﹣1‎ 则点P到直线l1与直线l2距离之和|PC|+|PA|＝|PB|+1+|PC|＝|PF|+|PC|+1≥|FD|+1，‎ 此时最小值为F到直线3x﹣4y﹣6＝0的距离d＝|FD|＝‎ 则抛物线x2＝4y上的动点P到直线l1与直线l2距离之和的最小值是d+1＝2+1＝3，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用图象，转化为点到直线的距离问题是解决本题的关键．利用数形结合是解决本题的关键．一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。‎ ‎11．实数xy满足x=，则的最小值是（　　）‎ A． B． C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ x⇒x2+y2＝1（x≥0）表示半圆；1，转化为求的最小值，即求过P（﹣1，﹣2）的圆的切线的斜率．‎ ‎【详解】‎ x⇒x2+y2＝1（x≥0）表示半圆，如图：‎ ‎1 ‎ 设t，表示点和点构成的直线的斜率，‎ 根据图像得到当tx﹣y+t﹣2＝0与圆x2+y2＝1相切时t取最小值，‎ 由1得t，‎ 所以原式的最小值为1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式及其应用，圆的切线，数形结合思想，属中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ ‎12．如图，表面积为12π的球内切于正方体，则平面截球的截面面积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积．‎ ‎【详解】‎ 设球的半径为r，由球O得表面积为12π，‎ 得4πr2＝12π，则r，即正方体棱长为，‎ 根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，‎ 且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，‎ 故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，‎ 则由图得，△ACD1内切圆的半径是tan30°，‎ 则所求的截面圆的面积是π2π．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，是中档题．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知直线的方向向量为=（3，2，1），直线的方向向量为=（0，m，-4），且，则实数m的值为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线方向向量的概念及l1⊥l2即可得出，从而得出，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵l1⊥l2；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴m＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 考查直线方向向量的概念，向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算．‎ ‎14．已知命题“∈[1，2]， ”是真命题，则实数a的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得2a＜x0在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a的范围．‎ ‎【详解】‎ 命题“∃x0∈[1，2]，x02﹣2ax0+1＞0”是真命题，‎ 即有2a＜x0在[1，2]的最大值，‎ 由x0在[1，2]递增，可得x0＝2取得最大值，‎ 则2a，可得a，‎ 则实数a的取值范围为（﹣∞，）．‎ 故答案为：（﹣∞，）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎15．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，P，Q为双曲线上关于原点对称的两点，若=0，且∠POF＜，则该双曲线的离心率的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用三角函数的定义可得|PF|＝2csin∠PQF，|QF|＝2ccos∠PQF，取左焦点F'，连接PF'，QF'，可得四边形PFQF'为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得，由离心率公式，即可得到所求值．‎ ‎【详解】‎ ‎0，可得PF⊥QF，在Rt△PQF中，|OF|＝c，∴|PQ|＝2c，在直角三角形PQF中，∠POF，0＜∠PQF，可得|PF|＝2csin∠PQF，|QF|＝2ccos∠PQF，取左焦点F'，连接PF'，QF'，可得四边形PFQF'为矩形，∴||QF|﹣|PF||＝|PF'|﹣|PF|＝﹣2csin∠PQF+2ccos∠PQF＝2a，∴e ‎∈（1，）．‎ 故答案为：（1，）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．‎ ‎16．直线的倾斜角为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设直线的倾斜角为．‎ 由直线化为，故，‎ 又，故，故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果直线方程的一般式为，那么直线的斜率为，且，其中为直线的倾斜角，注意它的范围是．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知p：，q：，且p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的解法求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行转化进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由，‎ 得，由得，即，‎ 也就是或者，‎ 因为是的充分不必要条件，‎ 所以是的真子集，‎ 所以或，解得或 所以的取值范围是或．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；‎ ‎（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；‎ ‎（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．‎ ‎18．如图，已知点E是正方形ABCD边AD的中点，现将△ABE沿BE所在直线翻折成到△A'BE，使AC=BC，并连接A'C，A'D．‎ ‎（1）求证：DE∥平面A'BC；‎ ‎（2）求证：A'E⊥平面A'BC．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出DE∥BC，由此能证明DE∥平面A′BC；（2）设正方形ABCD的边长为a，连接EC．推导出A′E⊥A′C，A′E⊥A′B，由此能证明A'E⊥平面A'BC．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵正方形ABCD中，DE∥BC，‎ 又DE⊄平面A′BC，BC⊂平面A′BC，‎ ‎∴DE∥平面A′BC． ‎ ‎（2）不妨设正方形ABCD的边长为a，连接EC．‎ 在△A′CE中，，EC=，A′C=a，‎ 满足A′E2+A′C2=EC2，∴A′E⊥A′C，‎ 又A′E⊥A′B，且A′B∩A′C=A′，A′B⊂平面A′BC，‎ A′C⊂平面A′BC，∴A'E⊥平面A'BC．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19．已知物线C：过点 求抛物线C的方程；‎ 设F为抛物线C的焦点，直线l：与抛物线C交于A，B两点，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）12‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将点的坐标代入抛物线，进行求解即可．‎ ‎（2）联立方程组，利用根与系数之间的关系结合三角形的面积公式进行求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为抛物线：过点，‎ 所以，解得，所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）由抛物线的方程可知，直线与轴交于点，‎ 联立直线与抛物线方程，消去可得，‎ 所以，所以，‎ 所以的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 直线与抛物线 的位置关系，可通过联立直线方程和抛物线方程消去（或）得到关于（或）的方程，再利用韦达定理简化目标代数式，也可以直接求出相应的根，再考虑与交点有关的数学问题．‎ ‎20．已知动直：x+my-2m=0与动直线：mx-y-4m+2=0相交于点M，记动点M的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）过点P（-1，0）作曲线C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）动直线l1：过定点E（0，2），动直线l2：过定点F（4，2）．由方程可得l1⊥l2，因此点M在以EF为直径的圆上（不包含点F），即可得出方程；（2）由题可知：|PA|2=|PB|2=|PC|2-r2=9，可得点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆上，将两圆方程相减可得直线AB的方程．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）动直线l1：过定点E（0，2），‎ 动直线l2：过定点F（4，2）．‎ 又l1⊥l2，∴点M在以EF为直径的圆上（不包含点F），‎ 圆心为C（2，2），半径r=2，‎ 所以动点M的轨迹方程为：．‎ ‎（2）由题可知：，‎ 所以点A与点B均在圆心为P，半径为3的圆上，‎ 将两圆方程相减可得直线AB的方程为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的定义标准方程及其性质、直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。‎ ‎21．如图，在四棱锥P-ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAB；‎ ‎（2）若PB与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角P-AE-B的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用AB∥平面PCD，可得AB∥EF，即可证明；（2）取AD中点O，连结OP，以O为原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AE-B的余弦值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）矩形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，‎ ‎∴AB∥平面PCD， ‎ 又AB⊄平面ABE，‎ 平面PCD∩平面ABE=EF，‎ ‎∴AB∥EF， ‎ ‎∵EF⊄面PAB，AB⊂平面PAB，‎ ‎∴EF∥平面PAB． ‎ ‎（2）取AD中点O，连结OP，‎ ‎∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥底面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影，‎ ‎∴∠PBO为PB与平面ABCD所成角，根据题意知sin∠PBO=，‎ ‎∴tan∠PBO=，由题OB=，∴PO=2‎ 取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，OA为x轴，在平面ABCD中，过O作AB的平行线为y轴，以OP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ B（1，4，0），设P（0，0，2），C=（-1，4，0），E（-，2，1）‎ ‎，‎ 设平面PAE的法向量为，‎ 于是，‎ 令x=2，则y=1，z=1‎ ‎∴平面PAE的一个法向量=（2，1，1），‎ 同理平面ABE的一个法向量为=（2，0，3），‎ ‎∴cos= ‎ 可知二面角P-AE-B为钝二面角 所以二面角P-AE-B的余弦值为-．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，是中档题．‎ ‎22．已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（2，0），且过点（2，）．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设直线l：y=kx（k＞0）与椭圆在第一象限的交点为M，过点F且斜率为-1的直线与l交于点N，若sin∠FON（O为坐标原点），求k的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列出有关a2、b2的方程组，求出这两个数的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）设点M的坐标为（x1，y1），点N的坐标（x2，y2），利用已知条件sin∠FON，得出，然后将直线l的方程分别与椭圆方程和直线NF的方程联立，求出点M、N的坐标，结合条件可求出k的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，解得a2＝16，b2＝12（负值舍去），‎ 所以椭圆方程为；‎ ‎（2）设点M的坐标为，点N的坐标，‎ 由题可知，故，‎ 因为，而，所以，‎ 由，可得，‎ 所以，‎ 由，消去x，可得，‎ 易知直线NF的方程为，‎ 由，消去x，可得，‎ 所以，整理得52k2﹣96k+27＝0，‎ 解得或．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的综合问题，考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆综合问题的求解，解决本题的关键在于求出一些关键的点和直线方程，考查计算能力，属于中等题．‎